Đến nội dung

Hình ảnh

CMR với mọi x ,y,z>0 ta có: $\frac{x^{2}-xy}{x+y}+\frac{y^{2}-yz}{y+z}+\frac{z^{2}-zx}{z+x}\geq 0$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
rainy_o0o_sunny1

rainy_o0o_sunny1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết
CMR với mọi x ,y,z>0 ta có:
$\frac{x^{2}-xy}{x+y}+\frac{y^{2}-yz}{y+z}+\frac{z^{2}-zx}{z+x}\geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGOCTIEN_A1_DQH: 28-08-2012 - 17:19


#2
chrome98

chrome98

    Mãi Mãi Việt Nam

  • Thành viên
  • 258 Bài viết
Giải: $\Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{x^2}{x+y}\geq \sum_{cyc} \frac{xy}{x+y}$
Ta có: $\frac{xy}{x+y}+\frac{yz}{y+z}+\frac{zx}{z+x}\leq \frac{x+y}{4}+\frac{y+z}{4}+\frac{x+z}{4}=\frac{x+y+z}{2}$ và $LHS\geq \frac{x+y+z}{2}$
Vậy ta có $đpcm$, $đt\leftrightarrow x=y=z>0$.

#3
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết

CMR với mọi x ,y,z>0 ta có:
$\frac{x^{2}-xy}{x+y}+\frac{y^{2}-yz}{y+z}+\frac{z^{2}-zx}{z+x}\geq 0$

Bài này có nhiều cách, cách ngắn nhất là dùng UCT:
Ta có $\frac{x^{2}-xy}{x+y}-\frac{x-y}{2}=\frac{(x-y)^2}{2(x+y)} \geq 0$
Suy ra $\frac{x^{2}-xy}{x+y} \geq \frac{x-y}{2}$
Suy ra $\frac{x^{2}-xy}{x+y}+\frac{y^{2}-yz}{y+z}+\frac{z^{2}-zx}{z+x} \geq \frac{x-y+y-z+z-x}{2}=0$

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#4
NS2T

NS2T

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết
Như này cũng được :

$\sum \frac{x^2}{x+y}=\sum \frac{y^2}{x+y} \Rightarrow 2\sum \frac{x^2}{x+y}=\sum \frac{x^2+y^2}{x+y}\geq \sum \frac{2xy}{x+y}$

Ok rùi




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh