Chủ đề này có 1 trả lời

[Hoa Hồng Lắm Gai]

Cho a,b,c là 3 số đôi một khác nhau và khác 0 , thỏa mãn : $a + \frac{1}{b} = b+ \frac{1}{c} = c + \frac{1}{a}$
CMR: $abc=1$ hoặc $abc= -1$

[C a c t u s]

Cho a,b,c là 3 số đôi một khác nhau và khác 0 , thỏa mãn : $a + \frac{1}{b} = b+ \frac{1}{c} = c + \frac{1}{a}$
CMR: $abc=1$ hoặc $abc= -1$

Ta có:
$a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c} \rightarrow a-b=\frac{b-c}{bc}$ (1)
$b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a} \rightarrow b-c=\frac{c-a}{bc}$ (2)
$c+\frac{1}{a}=a+\frac{1}{b} \rightarrow c-a=\frac{a-b}{ab}$ (3)
Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow (a-b)(b-c)(c-a)=\frac{b-c}{bc}.\frac{c-a}{bc}.\frac{a-b}{ab}$
$\Rightarrow (a-b)(b-c)(c-a)=\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{a^2b^2c^2}$
$\Rightarrow a^2b^2c^2.(a-b)(b-c)(c-a)=(a-b)(b-c)(c-a)$
$\Rightarrow (a-b)(b-c)(c-a)(a^2b^2c^2-1)=0$
$\Rightarrow (a-b)(b-c)(c-a)=0$ hoặc $a^2b^2c^2-1=0 \rightarrow abc=1 \text{ hoặc } abc=-1$
Vậy...