Chủ đề này có 3 trả lời

[chanh1223]

Tìm Min:
$sin^{8}x+cos^{8}x$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

Ta có:
$a^8 + b^8 \geq \dfrac{(a^4 + b^4)^2}{2} \geq \dfrac{\left[\dfrac{(a^2 + b^2)^2}{2} \right]^2}{2} = \dfrac{(a^2 + b^2)^4}{8}$

Dấu "=" xảy ra khi $a = b$.

Áp dụng với $a = \sin{x}; b = \cos{x} \, \left(a; b \in [-1; 1] \right)$, ta có:
$\sin^8{x} + \cos^8{x} \geq \dfrac{(\sin^2{x} + \cos^2{x})^4}{8} = \dfrac{1}{8}$

Vậy $Min_{\sin^8{x} + \cos^8{x}} = \dfrac{1}{8}$

Dấu "=" xảy ra khi $\sin{x} = \cos{x} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \, (k \in Z)$

[Mrnhan]

Giải

Ta có:
$a^8 + b^8 \geq \dfrac{(a^4 + b^4)^2}{2} \geq \dfrac{\left[\dfrac{(a^2 + b^2)^2}{2} \right]^2}{2} = \dfrac{(a^2 + b^2)^4}{8}$

Dấu "=" xảy ra khi $a = b$.

Áp dụng với $a = \sin{x}; b = \cos{x} \, \left(a; b \in [-1; 1] \right)$, ta có:
$\sin^8{x} + \cos^8{x} \geq \dfrac{(\sin^2{x} + \cos^2{x})^4}{8} = \dfrac{1}{8}$

Vậy $Min_{\sin^8{x} + \cos^8{x}} = \dfrac{1}{8}$

Dấu "=" xảy ra khi $\sin{x} = \cos{x} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \, (k \in Z)$

dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi $sin^2x=cos^2x$

[MrVirut]

Góp ý thôi .Hồi 11 mình nhớ là cái laoij này đọc rồi .Chọn điểm rơi rồi dùng Cauchy .