Chủ đề này có 6 trả lời

[supermember]

Cho đa thức $\mathcal{P}(x)$ bậc $n$ thoả mãn :

$ \mathcal{P}(x) = 2^x$ với mọi $ x = 1 ; 2 ; ... ; n+1$

Tính $ \mathcal{P}( n+2)$

[perfectstrong]

Lời giải:
Ta chứng minh bằng quy nạp rằng:
Nếu đa thức $P(x)$ bậc $n$ thỏa $P(x)=2^x \, \, \forall x=\overline{1,n+1}$ thì $P(n+2)=2^{n+2}-2$. (1)
Với $n=0$ thì ta có $P(x) \equiv 2 \Rightarrow P(0+2)=2=2^{0+2}-2$.
Giả sử (1) đúng đến $n-1$, ta cm (1) cũng đúng đến $n$.
Thật vậy, đặt $h(x)=P(x)-P(x+1)$ với $\deg P=n$. Ta chứng minh $\deg h=n-1$.
Đặt $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0$ với $a_n \ne 0$
Suy ra $P(x+1)=a_n(x+1)^n+a_{n-1}(x+1)^{n-1}+...+a_0=a_nx^n+(na_n+a_{n-1})x^{n-1}+...$
$\Rightarrow h(x)=P(x)-P(x+1)=na_nx^{n-1}+...$
Vì $a_n \ne 0;n\ne 0 \Rightarrow \deg h=n-1$.
Mặt khác, ta có $h(x)=2^x\,\, \forall x=\overline{1,n-1}$ (do $P(x)=2^x\,\, \forall x=\overline{1,n}$).
Áp dụng giả thiết quy nạp cho $h(x)$, ta có
\[
\begin{array}{c}
h\left( {n + 1} \right) = 2^{n + 1} - 2 = P\left( {n + 2} \right) - P\left( {n + 1} \right) \\
\Rightarrow P\left( {n + 2} \right) = P\left( {n + 1} \right) + 2^{n + 1} - 2 = 2^{n + 1} + 2^{n + 1} - 2 = 2^{n + 2} - 2 \\
\end{array}
\]
Như vậy, (1) cũng đúng đến $n$. Vậy suy ra (1) đúng với mọi $n \in \mathbb{N}$.
Kết luận: $P(n+2)=2^{n+2}-2$.
=============================
Nếu đặt $g(x)=2P(x+1)-P(x)$, ta sẽ tìm được $g(x)=a(x-1)(x-2)...(x-n)$ với $a$ là hệ số bậc cao nhất của $P(x)$.
Từ công thức trên, ta tìm ra $a=\dfrac{2}{n!}$

[cool hunter]

Lời giải:
Ta chứng minh bằng quy nạp rằng:
Nếu đa thức $P(x)$ bậc $n$ thỏa $P(x)=2^x \, \, \forall x=\overline{1,n+1}$ thì $P(n+2)=2^{n+2}-2$. (1)
Với $n=0$ thì ta có $P(x) \equiv 2 \Rightarrow P(0+2)=2=2^{0+2}-2$.
Giả sử (1) đúng đến $n-1$, ta cm (1) cũng đúng đến $n$.
Thật vậy, đặt $h(x)=P(x)-P(x+1)$ với $\deg P=n$. Ta chứng minh $\deg h=n-1$.
Đặt $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0$ với $a_n \ne 0$
Suy ra $P(x+1)=a_n(x+1)^n+a_{n-1}(x+1)^{n-1}+...+a_0=a_nx^n+(na_n+a_{n-1})x^{n-1}+...$
$\Rightarrow h(x)=P(x)-P(x+1)=na_nx^{n-1}+...$
Vì $a_n \ne 0;n\ne 0 \Rightarrow \deg h=n-1$.
Mặt khác, ta có $h(x)=2^x\,\, \forall x=\overline{1,n-1}$ (do $P(x)=2^x\,\, \forall x=\overline{1,n}$).
Áp dụng giả thiết quy nạp cho $h(x)$, ta có
\[
\begin{array}{c}
h\left( {n + 1} \right) = 2^{n + 1} - 2 = P\left( {n + 2} \right) - P\left( {n + 1} \right) \\
\Rightarrow P\left( {n + 2} \right) = P\left( {n + 1} \right) + 2^{n + 1} - 2 = 2^{n + 1} + 2^{n + 1} - 2 = 2^{n + 2} - 2 \\
\end{array}
\]
Như vậy, (1) cũng đúng đến $n$. Vậy suy ra (1) đúng với mọi $n \in \mathbb{N}$.
Kết luận: $P(n+2)=2^{n+2}-2$.
=============================
Nếu đặt $g(x)=2P(x+1)-P(x)$, ta sẽ tìm được $g(x)=a(x-1)(x-2)...(x-n)$ với $a$ là hệ số bậc cao nhất của $P(x)$.
Từ công thức trên, ta tìm ra $a=\dfrac{2}{n!}$

sao a nghĩ đc công thức cho P(n+2) ạ.

[perfectstrong]

sao a nghĩ đc công thức cho P(n+2) ạ.

Cái đấy thì phải ngồi thử số trước rồi mới biết

[supermember]

Viết ra cho đúng cái ý đồ bài này :

$ \mathcal{P} (x) = 2 \left\{ \binom{x-1}{0}+ \binom{x-1}{1}+ \cdots + \binom{x-1}{n } \right\}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 23-10-2012 - 13:09

[perfectstrong]

Viết ra cho đúng cái ý đồ bài này :

$ \mathcal{P} (x) = 2 \left\{ \binom{x-1}{0}+ \binom{x-1}{1}+ \cdots + \binom{x-1}{n } \right\}$

Kí hiệu như thế nghĩa là sao hả anh?

[supermember]

Cái này là dạng suy rộng của tổ hợp chập; ta hiểu nó như $1$ đa thức ẩn $x$

$ \binom{x}{k} = \frac{x(x-1)(x-2) \cdots (x-k+1)}{k!}$

( $x$ là biến số ; $k$ là số tự nhiên)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 24-10-2012 - 08:08