1 reply to this topic

[z0zLongBongz0z]

$cho\ a,b,c\ > 1\ thỏa\ mãn\ a+b+c=abc\ CMR\\
\frac{b-2}{a^{2}}+\frac{c-2}{b^{2}} + \frac{a-2}{c^{2}}\geq \sqrt{3}-2$

Edited by z0zLongBongz0z, 01-09-2012 - 14:05.

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Từ giả thiết ta có $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1$
Đổi biến $(a,b,c)\rightarrow (\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})\Rightarrow xy+yz+zx=1$ và $\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}> 1$
BĐT đã cho trở thành
$$\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{z}+\frac{z^{2}}{x}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}+\sqrt{3}-2$$
$$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{z}+\frac{z^{2}}{x}-\sqrt{3}\geq 2(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)$$
$$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{z}+\frac{z^{2}}{x}-\sqrt{3}\geq (x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}$$
Ta có $(x+y+z)^{2}\geq 3(xy+yz+zx)=3\Rightarrow x+y+z\geq \sqrt{3}$
$$\Rightarrow \frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{z}+\frac{z^{2}}{x}-\sqrt{3}\geq \frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{z}+\frac{z^{2}}{x}-(x+y+z)=\frac{(x-y)^{2}}{y}+\frac{(y-z)^{2}}{z}+\frac{(z-x)^{2}}{x}\geq (x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}$$
Do $\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}> 1$ nên BĐT trên đúng
Kết thúc chứng minh

Edited by HÀ QUỐC ĐẠT, 27-10-2012 - 22:23.