Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$S_k= \left( \dfrac{a^k+b^k+c^k}{m_a^k+m_b^k+m_c^k} \right)^{\dfrac{1}{k}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 1111308

1111308

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết

Đã gửi 04-11-2005 - 15:26

Cho tam giác $ABC$ với độ dài ba cạnh là $a, b, c$ và độ dài các đường trung tuyến tương ứng là $ m_a,m_b,m_c$. Với mỗi số thực $k$ đặt
$$S_k= \left( \dfrac{a^k+b^k+c^k}{m_a^k+m_b^k+m_c^k} \right)^{\dfrac{1}{k}}$$

 

1) Tính $ \lim_{k \to 0}S_k$
2) Định dạng tam giác $ABC$ để cho $ S_k$ không phụ thuộc vào $k$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 04-03-2014 - 19:00

Ngọn nến nhỏ nhoi
Ngọn nến nhỏ mang niềm tin hy vọng
Thắp sáng đường tương lai phía trước
Ngọn nến nhỏ làm tan đi giá rét
Trong tâm hồn lạnh buốt đêm đông

#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-03-2014 - 15:18

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng     @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng     @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 14/03 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng     @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1898 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 13-03-2014 - 17:05

Cho tam giác $ABC$ với độ dài ba cạnh là $a, b, c$ và độ dài các đường trung tuyến tương ứng là $ m_a,m_b,m_c$. Với mỗi số thực $k$ đặt
$$S_k= \left( \dfrac{a^k+b^k+c^k}{m_a^k+m_b^k+m_c^k} \right)^{\dfrac{1}{k}}$$

 

1) Tính $ \lim_{k \to 0}S_k$
2) Định dạng tam giác $ABC$ để cho $ S_k$ không phụ thuộc vào $k$.

$1)$

$\lim_{k\rightarrow 0}S_{k}=\lim_{k\rightarrow 0}\left ( \frac{a^{k}+b^{k}+c^{k}}{m_{a}^{k}+m_{b}^{k}+m_{c}^{k}} \right )^{\frac{1}{k}}$

$=\lim_{k\rightarrow 0}\left (1+ \frac{a^{k}+b^{k}+c^{k}-m_{a}^{k}-m_{b}^{k}-m_{c}^{k}}{m_{a}^{k}+m_{b}^{k}+m_{c}^{k}} \right )^{\frac{1}{k}}$

$=\lim_{k\rightarrow 0}\left [ \left (1+ \frac{a^{k}+b^{k}+c^{k}-m_{a}^{k}-m_{b}^{k}-m_{c}^{k}}{m_{a}^{k}+m_{b}^{k}+m_{c}^{k}} \right )^{\frac{m_{a}^{k}+m_{b}^{k}+m_{c}^{k}}{a^{k}+b^{k}+c^{k}-m_{a}^{k}-m_{b}^{k}-m_{c}^{k}}} \right ]^{\frac{a^{k}+b^{k}+c^{k}-m_{a}^{k}-m_{b}^{k}-m_{c}^{k}}{k(a^{k}+b^{k}+c^{k})}}$

Mà $\lim_{k\rightarrow 0}\left [ \left (1+ \frac{a^{k}+b^{k}+c^{k}-m_{a}^{k}-m_{b}^{k}-m_{c}^{k}}{m_{a}^{k}+m_{b}^{k}+m_{c}^{k}} \right )^{\frac{m_{a}^{k}+m_{b}^{k}+m_{c}^{k}}{a^{k}+b^{k}+c^{k}-m_{a}^{k}-m_{b}^{k}-m_{c}^{k}}} \right ]=e$

Còn $\lim_{k\rightarrow 0}\frac{a^{k}+b^{k}+c^{k}-m_{a}^{k}-m_{b}^{k}-m_{c}^{k}}{k}$

$=\lim_{k\rightarrow 0}\left (a^{k}lna+b^{k}lnb+c^{k}lnc-m_{a}^{k}lnm_{a}-m_{b}^{k}lnm_{b}-m_{c}^{k}lnm_{c} \right )$

$=lna+lnb+lnc-lnm_{a}-lnm_{b}-lnm_{c}=\ln\frac{abc}{m_{a}m_{b}m_{c}}$

(ở đây áp dụng quy tắc l'Hospital)

Và $\lim_{k\rightarrow 0}\frac{1}{a^{k}+b^{k}+c^{k}}=\frac{1}{3}$

Vậy :

$\lim_{k\rightarrow 0}S_{k}=e^{\frac{1}{3}\ln\frac{abc}{m_{a}m_{b}m_{c}}}=\sqrt[3]{\frac{abc}{m_{a}m_{b}m_{c}}}$

 

$2)$

Ta có :

$\lim_{k\rightarrow 0}S_{k}=\sqrt[3]{\frac{abc}{m_{a}m_{b}m_{c}}}=\frac{3\sqrt[3]{abc}}{3\sqrt[3]{m_{a}m_{b}m_{c}}}$

$S_{1}=\frac{a+b+c}{m_{a}+m_{b}+m_{c}}$ 

Để $S_{k}$ không phụ thuộc vào $k$, ta phải có $S_{k}=\lim_{k\rightarrow 0}S_{k},\forall k\in \mathbb{R}$ ($k\neq 0$) $\Rightarrow$ $S_{1}=\lim_{k\rightarrow 0}S_{k}$ 

hay $\frac{a+b+c}{m_{a}+m_{b}+m_{c}}=\frac{3\sqrt[3]{abc}}{3\sqrt[3]{m_{a}m_{b}m_{c}}}$ (1)

Chú ý rằng $a+b+c\geqslant 3\sqrt[3]{abc}$ (2)

và $m_{a}+m_{b}+m_{c}\geqslant 3\sqrt[3]{m_{a}m_{b}m_{c}}$ (3)

và các dấu bằng chỉ xảy ra đồng thời ở (2) và (3) khi $a=b=c$, tức là điều kiện để $S_{k}$ không phụ thuộc vào $k$ là tam giác $ABC$ đều.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 13-03-2014 - 18:31

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh