Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\prod_{i=1}^{n}(a_i+1) \ge \dfrac{2^n}{n+1}\left [\left (\sum_{i=1}^{n} a_i\right ) +1\right ]$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 01-09-2012 - 01:44

Bài toán :
Cho $a_i\ge 1; i=1,2,...,n$
Chứng minh rằng :
$$\prod_{i=1}^{n} \left (a_i+1\right ) \ge \dfrac{2^n}{n+1}\left [\left (\sum_{i=1}^{n} a_i\right ) +1\right ]$$

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#2 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 23-08-2017 - 10:05

Bài toán :
Cho $a_i\ge 1; i=1,2,...,n$
Chứng minh rằng :
$$\prod_{i=1}^{n} \left (a_i+1\right ) \ge \dfrac{2^n}{n+1}\left [\left (\sum_{i=1}^{n} a_i\right ) +1\right ]$$

cứ thấy $n$ mà quy nạp thôi nào  :icon6:

ta gọi $\mathcal{P}(n)$ là mệnh đề với bất kì $n$ số $a_i\ge 1; i=1,2,...,n$ thì

$\prod_{i=1}^{n} \left (a_i+1\right ) \ge \dfrac{2^n}{n+1}\left ( \sum_{i=1}^{n}a_i+1 \right )$

$\bullet$ dễ dàng chứng minh $\mathcal{P}(1)$ đúng

$\bullet$ với $n\ge 2:$ giả sử $\mathcal{P}(k)$ đúng $\forall k\le n$

$\bullet$ ta chứng minh $\mathcal{P}(n+1)$ đúng

thật vậy với $n+1$ số $a_i\ge 1,i=\overline{1,n+1}$ ta hoàn toàn có thể giả sử $a_{n+1}=\max\left \{ a_i\mid i=\overline{1,n+1} \right \}$

ta cần chứng minh

$\prod_{i=1}^{n+1} \left (a_i+1\right ) \ge \dfrac{2^{n+1}}{n+2}\left ( \sum_{i=1}^{n+1}a_i+1 \right )$

mà với $n$ số $a_i,i=\overline{1,n}$ thì theo $\mathcal{P}(n)$ ta có

$\prod_{i=1}^{n} \left (a_i+1\right ) \ge \dfrac{2^n}{n+1}\left ( \sum_{i=1}^{n}a_i+1 \right )$

do đó ta chỉ cần chứng minh

$\frac{2^n}{n+1}\left ( \sum_{i=1}^{n}a_i+1 \right )\left ( a_{n+1}+1 \right )\ge \frac{2^{n+1}}{n+2}\left ( \sum_{i=1}^{n+1}a_i+1 \right )$

$\Leftrightarrow \left ( 1-\frac{2(n+1)}{(n+2)\left ( \sum_{i=1}^{n}a_i+1 \right )} \right )a_{n+1}\ge \frac{n}{n+2}$

mà ta lại có $a_{n+1}=\max\left \{ a_i\mid i=\overline{1,n+1} \right \}$ nên

$\Rightarrow a_{n+1}\ge \frac{\sum_{i=1}^{n}a_i}{n}=\frac{\mathcal{A}}{n}$

do đó ta chỉ cần chứng minh

$\left ( 1-\frac{2n+2}{(n+2)\left ( \mathcal{A}+1 \right )} \right ).\frac{\mathcal{A}}{n}\ge \frac{n}{n+2}$

$\Leftrightarrow (n+2)\mathcal{A}^2-(n^2+n)\mathcal{A}-n^2\ge 0$

điều trên luôn đúng bởi vì để ý $\mathcal{A}\ge n$ thì ta được

$(n+2)\mathcal{A}^2-(n^2+n)\mathcal{A}-n^2\ge (n+2)n.\mathcal{A}-(n^2+n)\mathcal{A}-n^2=n\mathcal{A}-n^2\ge 0$

do đó $\mathcal{P}(n+1)$ được chứng minh nên theo quy nạp ta có $\text{Q.E.D}$


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#3 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-08-2017 - 22:02

cứ thấy $n$ mà quy nạp thôi nào  :icon6:

...

do đó $\mathcal{P}(n+1)$ được chứng minh nên theo quy nạp ta có $\text{Q.E.D}$

 

Bài làm của em làm đúng rồi. Tuy nhiên ta có thể nghĩ theo một cách khác đơn giản và trực quan hơn:

Nếu ta coi bậc của các $a_i$ là như nhau thì rõ ràng vế trái có nhiều phần tử có bậc to hơn vế phải và các phần tử đều $\geq 1$. Gọi $S=\sum_{i=1}^{n} a_{i}$. Ta nhân bung vế trái ra, với mỗi $1< k \leq n$ và bộ $i_1<i_2< \dots < i_k$ thì 

$$a_{i_1}a_{i_2} \cdots a_{i_k} \geq \dfrac{a_{i_1} + a_{i_2} +\cdots + a_{i_k}}{k}$$

Đánh giá với mọi bộ như vậy và cộng lại (tất nhiên phải có bước "đếm" :) ), ta có

$$ \text{Vế trái} \geq \dfrac{2^n-1}{n} S +1 \geq \dfrac{2^n}{n+1} (S+1)= \text{Vế phải}, $$

do $S\geq n$. 

====

Từ nay mình sẽ phụ trách một phần chấm bài của các bài PSW; cũng bật mí rằng chế độ tính điểm và thưởng cho các bạn đạt 100 điểm PSW sẽ trở lại. Bài em làm đúng +10 điểm nhé. ;)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 23-08-2017 - 22:04

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#4 ehtetaf

ehtetaf

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Đã gửi 28-09-2017 - 20:15

Cách khác:

Bài  toán 1:Cho các số $a_{i}$>0,i=1,2,...n thì $\prod_{1}^{n}\left ( a_{i}+1 \right )\geq 1+\sum_{1}^{n}a_{i.}$

Chứng minh  bằng qui nạp.

Quay trở lại bài toán:

Để ý $\frac{x+1}{2}=\frac{x-1}{2}+1$.

     Áp dụng vào bài toán 1 có $\prod_{1}^{n}\left ( \frac{a_{i}-1}{2}+1 \right )\geq 1+\sum_{1}^{n}\frac{a_{i}-1}{2}.$

     Hay $\prod_{1}^{n}\left ( \frac{a_{i}+1}{2} \right )\geq 1+\frac{\sum_{1}^{n}a_{i}-n}{2}$.

     Đặt $A=\sum_{1}^{n}a_{i}$.

     Cần chứng minh $\frac{A-n+2}{2}\geq \frac{A+1}{n+1}\Leftrightarrow A\geq n. $

     Đúng do a$_{i}\geq 1$ với mọi i.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ehtetaf: 28-09-2017 - 20:52


#5 NeverDiex

NeverDiex

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 61 Bài viết

Đã gửi 26-07-2019 - 10:35

cứ thấy nn mà quy nạp thôi nào   :icon6:

ta gọi P(n)P(n) là mệnh đề với bất kì nn số ai1;i=1,2,...,nai≥1;i=1,2,...,n thì

ni=1(ai+1)2nn+1(ni=1ai+1)∏i=1n(ai+1)≥2nn+1(∑i=1nai+1)

 dễ dàng chứng minh P(1)P(1) đúng

 với n2:n≥2: giả sử P(k)P(k) đúng kn∀k≤n

 ta chứng minh P(n+1)P(n+1) đúng

thật vậy với n+1n+1 số ai1,i=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯1,n+1ai≥1,i=1,n+1¯ ta hoàn toàn có thể giả sử an+1=max{aii=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯1,n+1}an+1=max{ai∣i=1,n+1¯}

ta cần chứng minh

n+1i=1(ai+1)2n+1n+2(n+1i=1ai+1)∏i=1n+1(ai+1)≥2n+1n+2(∑i=1n+1ai+1)

mà với nn số ai,i=¯¯¯¯¯¯¯¯1,nai,i=1,n¯ thì theo P(n)P(n) ta có

ni=1(ai+1)2nn+1(ni=1ai+1)∏i=1n(ai+1)≥2nn+1(∑i=1nai+1)

do đó ta chỉ cần chứng minh

2nn+1(ni=1ai+1)(an+1+1)2n+1n+2(n+1i=1ai+1)2nn+1(∑i=1nai+1)(an+1+1)≥2n+1n+2(∑i=1n+1ai+1)

(12(n+1)(n+2)(ni=1ai+1))an+1nn+2⇔(1−2(n+1)(n+2)(∑i=1nai+1))an+1≥nn+2

mà ta lại có an+1=max{aii=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯1,n+1}an+1=max{ai∣i=1,n+1¯} nên

an+1ni=1ain=An⇒an+1≥∑i=1nain=An

do đó ta chỉ cần chứng minh

(12n+2(n+2)(A+1)).Annn+2


 

 




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh