$\prod_{i=1}^{n}(a_i+1) \ge \dfrac{2^n}{n+1}\left [\left (\sum_{i=1}^{n} a_i\right ) +1\right ]$
#2
Đã gửi 23-08-2017 - 10:05
Bài toán :
Cho $a_i\ge 1; i=1,2,...,n$
Chứng minh rằng :
$$\prod_{i=1}^{n} \left (a_i+1\right ) \ge \dfrac{2^n}{n+1}\left [\left (\sum_{i=1}^{n} a_i\right ) +1\right ]$$
cứ thấy $n$ mà quy nạp thôi nào
ta gọi $\mathcal{P}(n)$ là mệnh đề với bất kì $n$ số $a_i\ge 1; i=1,2,...,n$ thì
$\prod_{i=1}^{n} \left (a_i+1\right ) \ge \dfrac{2^n}{n+1}\left ( \sum_{i=1}^{n}a_i+1 \right )$
$\bullet$ dễ dàng chứng minh $\mathcal{P}(1)$ đúng
$\bullet$ với $n\ge 2:$ giả sử $\mathcal{P}(k)$ đúng $\forall k\le n$
$\bullet$ ta chứng minh $\mathcal{P}(n+1)$ đúng
thật vậy với $n+1$ số $a_i\ge 1,i=\overline{1,n+1}$ ta hoàn toàn có thể giả sử $a_{n+1}=\max\left \{ a_i\mid i=\overline{1,n+1} \right \}$
ta cần chứng minh
$\prod_{i=1}^{n+1} \left (a_i+1\right ) \ge \dfrac{2^{n+1}}{n+2}\left ( \sum_{i=1}^{n+1}a_i+1 \right )$
mà với $n$ số $a_i,i=\overline{1,n}$ thì theo $\mathcal{P}(n)$ ta có
$\prod_{i=1}^{n} \left (a_i+1\right ) \ge \dfrac{2^n}{n+1}\left ( \sum_{i=1}^{n}a_i+1 \right )$
do đó ta chỉ cần chứng minh
$\frac{2^n}{n+1}\left ( \sum_{i=1}^{n}a_i+1 \right )\left ( a_{n+1}+1 \right )\ge \frac{2^{n+1}}{n+2}\left ( \sum_{i=1}^{n+1}a_i+1 \right )$
$\Leftrightarrow \left ( 1-\frac{2(n+1)}{(n+2)\left ( \sum_{i=1}^{n}a_i+1 \right )} \right )a_{n+1}\ge \frac{n}{n+2}$
mà ta lại có $a_{n+1}=\max\left \{ a_i\mid i=\overline{1,n+1} \right \}$ nên
$\Rightarrow a_{n+1}\ge \frac{\sum_{i=1}^{n}a_i}{n}=\frac{\mathcal{A}}{n}$
do đó ta chỉ cần chứng minh
$\left ( 1-\frac{2n+2}{(n+2)\left ( \mathcal{A}+1 \right )} \right ).\frac{\mathcal{A}}{n}\ge \frac{n}{n+2}$
$\Leftrightarrow (n+2)\mathcal{A}^2-(n^2+n)\mathcal{A}-n^2\ge 0$
điều trên luôn đúng bởi vì để ý $\mathcal{A}\ge n$ thì ta được
$(n+2)\mathcal{A}^2-(n^2+n)\mathcal{A}-n^2\ge (n+2)n.\mathcal{A}-(n^2+n)\mathcal{A}-n^2=n\mathcal{A}-n^2\ge 0$
do đó $\mathcal{P}(n+1)$ được chứng minh nên theo quy nạp ta có $\text{Q.E.D}$
- WhjteShadow, Element hero Neos, viet9a14124869 và 1 người khác yêu thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
#3
Đã gửi 23-08-2017 - 22:02
cứ thấy $n$ mà quy nạp thôi nào
...
do đó $\mathcal{P}(n+1)$ được chứng minh nên theo quy nạp ta có $\text{Q.E.D}$
Bài làm của em làm đúng rồi. Tuy nhiên ta có thể nghĩ theo một cách khác đơn giản và trực quan hơn:
Nếu ta coi bậc của các $a_i$ là như nhau thì rõ ràng vế trái có nhiều phần tử có bậc to hơn vế phải và các phần tử đều $\geq 1$. Gọi $S=\sum_{i=1}^{n} a_{i}$. Ta nhân bung vế trái ra, với mỗi $1< k \leq n$ và bộ $i_1<i_2< \dots < i_k$ thì
$$a_{i_1}a_{i_2} \cdots a_{i_k} \geq \dfrac{a_{i_1} + a_{i_2} +\cdots + a_{i_k}}{k}$$
Đánh giá với mọi bộ như vậy và cộng lại (tất nhiên phải có bước "đếm" ), ta có
$$ \text{Vế trái} \geq \dfrac{2^n-1}{n} S +1 \geq \dfrac{2^n}{n+1} (S+1)= \text{Vế phải}, $$
do $S\geq n$.
====
Từ nay mình sẽ phụ trách một phần chấm bài của các bài PSW; cũng bật mí rằng chế độ tính điểm và thưởng cho các bạn đạt 100 điểm PSW sẽ trở lại. Bài em làm đúng +10 điểm nhé.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 23-08-2017 - 22:04
- nhungvienkimcuong và Nghiapnh1002 thích
#4
Đã gửi 28-09-2017 - 20:15
Cách khác:
Bài toán 1:Cho các số $a_{i}$>0,i=1,2,...n thì $\prod_{1}^{n}\left ( a_{i}+1 \right )\geq 1+\sum_{1}^{n}a_{i.}$
Chứng minh bằng qui nạp.
Quay trở lại bài toán:
Để ý $\frac{x+1}{2}=\frac{x-1}{2}+1$.
Áp dụng vào bài toán 1 có $\prod_{1}^{n}\left ( \frac{a_{i}-1}{2}+1 \right )\geq 1+\sum_{1}^{n}\frac{a_{i}-1}{2}.$
Hay $\prod_{1}^{n}\left ( \frac{a_{i}+1}{2} \right )\geq 1+\frac{\sum_{1}^{n}a_{i}-n}{2}$.
Đặt $A=\sum_{1}^{n}a_{i}$.
Cần chứng minh $\frac{A-n+2}{2}\geq \frac{A+1}{n+1}\Leftrightarrow A\geq n. $
Đúng do a$_{i}\geq 1$ với mọi i.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ehtetaf: 28-09-2017 - 20:52
#5
Đã gửi 26-07-2019 - 10:35
cứ thấy nn mà quy nạp thôi nào
ta gọi P(n)P(n) là mệnh đề với bất kì nn số ai≥1;i=1,2,...,nai≥1;i=1,2,...,n thì
n∏i=1(ai+1)≥2nn+1(n∑i=1ai+1)∏i=1n(ai+1)≥2nn+1(∑i=1nai+1)
∙∙ dễ dàng chứng minh P(1)P(1) đúng
∙∙ với n≥2:n≥2: giả sử P(k)P(k) đúng ∀k≤n∀k≤n
∙∙ ta chứng minh P(n+1)P(n+1) đúng
thật vậy với n+1n+1 số ai≥1,i=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯1,n+1ai≥1,i=1,n+1¯ ta hoàn toàn có thể giả sử an+1=max{ai∣i=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯1,n+1}an+1=max{ai∣i=1,n+1¯}
ta cần chứng minh
n+1∏i=1(ai+1)≥2n+1n+2(n+1∑i=1ai+1)∏i=1n+1(ai+1)≥2n+1n+2(∑i=1n+1ai+1)
mà với nn số ai,i=¯¯¯¯¯¯¯¯1,nai,i=1,n¯ thì theo P(n)P(n) ta có
n∏i=1(ai+1)≥2nn+1(n∑i=1ai+1)∏i=1n(ai+1)≥2nn+1(∑i=1nai+1)
do đó ta chỉ cần chứng minh
2nn+1(n∑i=1ai+1)(an+1+1)≥2n+1n+2(n+1∑i=1ai+1)2nn+1(∑i=1nai+1)(an+1+1)≥2n+1n+2(∑i=1n+1ai+1)
⇔(1−2(n+1)(n+2)(∑ni=1ai+1))an+1≥nn+2⇔(1−2(n+1)(n+2)(∑i=1nai+1))an+1≥nn+2
mà ta lại có an+1=max{ai∣i=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯1,n+1}an+1=max{ai∣i=1,n+1¯} nên
⇒an+1≥∑ni=1ain=An⇒an+1≥∑i=1nain=An
do đó ta chỉ cần chứng minh
(1−2n+2(n+2)(A+1)).An≥nn+2
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh