Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[MO2013] Trận 1 - Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 41 trả lời

#1 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3818 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 23-08-2012 - 23:04

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả


Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 24/08/2012, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Trận 1 có 52 toán thủ tham gia nên sau trận này, 13 toán thủ ít điểm nhất sẽ bị loại.

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3818 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 24-08-2012 - 19:50

*
Phổ biến

Đề thi trận 1
Giải hệ phương trình trên tập hợp số thực :
$$\begin{cases}
& \text \sqrt[8]{2.\sqrt[5]{7} - \sqrt[10]{y}} + (17 - \sqrt{37}).z^2 = 544 - 32.\sqrt{37} \\
& \text x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) + 4\sqrt{y} = 912 \\
& \text \sqrt{(10.\sqrt{5} + 20).x.(1 - x)} + z.\sqrt[6]{8} = 10
\end{cases}$$

Toán thủ ra đề: MO28 nth1235. Toán thủ ra đề không phải làm bài

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3 bibitsubomi 9fxshiftsolve

bibitsubomi 9fxshiftsolve

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:lớp 9fx của Mr. ShiftSolve

Đã gửi 24-08-2012 - 20:32

$$\begin{cases}
& \text \sqrt[8]{2.\sqrt[5]{7} - \sqrt[10]{y}} + (17 - \sqrt{37}).z^2 = 544 - 32.\sqrt{37}(1) \\
& \text x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) + 4\sqrt{y} = 912 \\
& \text \sqrt{(10.\sqrt{5} + 20).x.(1 - x)} + z.\sqrt[6]{8} = 10
\end{cases}$$
đkxđ: $\left\{\begin{matrix} 2\sqrt[5]{7}-\sqrt[10]{y}\geq 0 & & \\ 1-x^2\geq 0 & & \\ y\geq 0 & & \\ x(1-x)\geq 0 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0 \leq x\leq 1 & \\ 0\leq y\leq 7^2.2^{10} & \end{matrix}\right.$

trước hết ta chứng minh

với $0 \leq x\leq 1$ thì $x(9\sqrt{x^2+1}+13\sqrt{1-x^2})\leq 16$

thật vậy!

áp dụng bđt AM-GM ta có

$9x\sqrt{x^2+1}=6\sqrt{\frac{9}{4}x^2(1+x^2)}\leq 6.\frac{\frac{9}{4}x^2+1+x^2}{2}=\frac{39}{4}x^2+3$

$13x\sqrt{1-x^2}=26\sqrt{\frac{1}{4}x^2(1+x^2)}\leq 26.\frac{\frac{1}{4}x^2+1-x^2}{2}=13-\frac{39}{4}x^2$

do đó $x(13\sqrt{1-x^2}+9\sqrt{1+x^2})\leq 13-\frac{39}{4}x^2+\frac{39}{4}x^2+3=16$

dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{9}{4}x^2=x^2+1 & \\ \frac{1}{4}x^2=1-x^2 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

suy ra $4\sqrt{y}=912-x(9\sqrt{x^2+1}+13\sqrt{1-x^2})\leq 912-16=896$

$\Rightarrow y\geq 50176=7^2.2^{10}$

kết hợp với đkxđ suy ra $y= 50176$

khi đó, $x=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

thay y=50176 vào (1) ta đc $(17-\sqrt{37})z^2=32(17-\sqrt{37})$

$\Rightarrow z^2=32\Rightarrow z=\pm 4\sqrt{2}$

thử lại thấy $(x,y,z)=(\frac{2\sqrt{5}}{5}; 50176;4\sqrt{2})$ là ngiệm của hệ đã cho
________________________

Chú ý viết hoa đầu dòng!
Bài giải: 10
$S=48-(21-20)+3\times 10+0+0=77$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 27-08-2012 - 16:31
Chấm điểm

fx(Mr.SS+MrsTH)tm(Mr.SS+Mrs.HH)a2(Mrs.TH+Mrs.TH)








:x MY EVANGELINE :">





!!!


#4 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-08-2012 - 20:47

Đề thi trận 1
Giải hệ phương trình trên tập hợp số thực :
$$\begin{cases}
& \text \sqrt[8]{2.\sqrt[5]{7} - \sqrt[10]{y}} + (17 - \sqrt{37}).z^2 = 544 - 32.\sqrt{37}(1) \\
& \text x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) + 4\sqrt{y} = 912(2) \\
& \text \sqrt{(10.\sqrt{5} + 20).x.(1 - x)} + z.\sqrt[6]{8} = 10(3)
\end{cases}$$

Bài làm của WhjteShadow:
Ta có điều kiện xác định của hệ phương trình là: $0\leq y\leq 2^{10}.7^2,x\in [0;1]$
$\to 4\sqrt{y}\leq 2^5.28$.Từ đó thế vào phương trình $(2)$ ta có:
$$x.(9\sqrt{1+x^2}+13\sqrt{1-x^2})\geq 912-2^5.28=16(*)$$
Nhưng mặt khác the0 $Cauchy-Schwarz$ và $AM-GM$ ta có:
$$x.(9\sqrt{1+x^2}+13\sqrt{1-x^2})=x(\sqrt{27}.\sqrt{3+3x^2}+\sqrt{13}.\sqrt{13-13x^2})$$
$$\leq x[\sqrt{40.(16-10x^2)}]=2\sqrt{10x^2.(16-10x^2)}$$
$$\leq 10x^2+16-10x^2=16(**)$$
Từ $(*)$ và $(**)$ dễ dàng có $x.(9\sqrt{1+x^2}+13\sqrt{1-x^2})=16$ và dấu bằng xảy ra nên $16-10x^2=10x^2$
$\Leftrightarrow x=\frac{2}{\sqrt{5}}$ (Vì $x\geq 0$)
Thế vào phương trình $(3)$ thì $\sqrt{(10.\sqrt{5}+20)\frac{2}{\sqrt{5}}(1-\frac{2}{\sqrt{5}})}+z\sqrt[6]{8}=10$
$$\Leftrightarrow z\sqrt[6]{8}=8\Leftrightarrow z=\sqrt{32}$$
Thế vào $(1)$ ta được $\sqrt[8]{2.\sqrt[5]{7}-\sqrt[10]{y}}=0$ hay $y=2^{10}.7^2$
Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y;z)=(\frac{2}{\sqrt{5}};2^{10}.7^2;\sqrt{32})$

_________________________
Đây là một bài hệ phương trình không mẫu mực, rất khó mở rộng. Nói đúng hơn là một bài BĐT-CT "trá hình". Mở rộng của em chưa đi đến đích và cũng không có ý nghĩa là mấy nhưng BQT vẫn chấp nhận và khuyến khích $D_{mr}=9$
Lưu ý: Trình bày, phông chữ và màu sắc không được dùng màu đỏ !
Đáp án là số nguyên, thì không nên viết dưới dạng tích các thừa số

Bài giải: 10
$S=48-(21-20)+3\times 10 +9 +0 =86$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 27-08-2012 - 16:49
Chấm điểm

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#5 henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Trần Đại Nghĩa
  • Sở thích:Đi ngủ

Đã gửi 24-08-2012 - 21:47

Đề thi trận 1
Giải hệ phương trình trên tập hợp số thực :
$$\begin{cases}
& \text \sqrt[8]{2.\sqrt[5]{7} - \sqrt[10]{y}} + (17 - \sqrt{37}).z^2 = 544 - 32.\sqrt{37} \\
& \text x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) + 4\sqrt{y} = 912 \\
& \text \sqrt{(10.\sqrt{5} + 20).x.(1 - x)} + z.\sqrt[6]{8} = 10
\end{cases}$$

Toán thủ ra đề: MO28 nth1235. Toán thủ ra đề không phải làm bài

Đặt ba phương trình lần lượt là (1), (2), (3)
Điều kiện của (1):
$\sqrt[10]{y}\leq 2\sqrt[5]{7}$
$\Rightarrow y\leq 50176$
$\Rightarrow 4\sqrt{y}\leq 896$
Bây giờ ta giả sử: $x(9\sqrt{1+x^{2}}+13\sqrt{1-x^{2}})\leq 16$ (Điều kiện $-1\leq x\leq 1$)
Nếu $-1\leq x< 0$ thì VT<0<VP (đúng)
Ta xét $0\leq x\leq 1$
$\Rightarrow 9\sqrt{x^{2}+x^{4}}+13\sqrt{x^{2}-x^{4}}\leq 16$
$9\sqrt{x^{2}+x^{4}}+13\sqrt{x^{2}-x^{4}}$
=$\frac{9}{6}\sqrt{9x^{2}.4(1+x^{2})}+\frac{13}{2}\sqrt{4x^{2}(1-x^{2})}\leq \frac{13}{2}(\frac{4-3x^{2}}{2})+\frac{3}{2}(\frac{13x^{2}+4}{2})=16$
Dấu bằng xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x^{2}=4-4x^{2} & \\ 9x^{2}=4+4x^{2} & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow x^{2}=\frac{4}{5}\Rightarrow x=\frac{2}{\sqrt{5}}$
Mà $4\sqrt{y}\leq 896$
Vậy dấu bằng xảy ra khi y=50176 và $x=\frac{2}{\sqrt{5}}$
Thế $x=\frac{2}{\sqrt{5}}$ vào phương trình (3) ta được:
$\sqrt[6]{8}z=8$
$\Leftrightarrow 8z^{6}=262144$
$\Leftrightarrow z=\sqrt[6]{32768}$
Thử lại ta thấy x,y,z đều thỏa mãn cả 3 phương trình
Vậy nghiệm của hệ này là: (x;y;z)=$(\frac{2}{\sqrt{5}};50176;\sqrt[6]{32768})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905:

P/s: Moog thầy xem lại, bài của em nghiệm hoàn toàn đúng. $\sqrt[6]{32768}=4\sqrt{2}$
___________________________________

Em đã phạm quy, khi chỉnh sửa bài làm của mình khi đã hết thời gian làm bài. Tuy nhiên châm trước cho em lần này!
Căn cứ vào thời điểm em sửa lần cuối BQT sẽ tạm coi như đó là thời gian nộp bài của em (62 giờ tính từ lúc phát đề)

Chấm điểm như sau:
Bài giải: 10 điểm
$S=48-(82-20)+3 \times 10 +0+0=16$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 28-08-2012 - 06:11
Chấm phúc khảo


#6 davildark

davildark

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thực Hành SP

Đã gửi 24-08-2012 - 21:59

Lời giải

Điều kiện xác định $\left\{\begin{matrix}
0\leq x\leq 1\\
0\leq y\leq 50176
\end{matrix}\right.$
Ta sẽ CM bất đẳng thức sau $x(9\sqrt{1+x^2+}+13\sqrt{1-x^2})\leq 16$ với $0\leq x\leq 1$
Thật vậy
$x(9\sqrt{1+x^2+}+13\sqrt{1-x^2})=\frac{3}{2}\sqrt{9x^2(4+4x^2)}+\frac{13}{2}\sqrt{x^2(4-4x^2)}$
Áp dụng AM-GM ta có
$\frac{3}{2}\sqrt{9x^2(4+4x^2)}+\frac{13}{2}\sqrt{x^2(4-4x^2)}\leq \frac{3}{4}(4+13x^2)+\frac{13}{4}(4-3x^2)=16$
Dấu "=" xảy ra khi $ x=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
Trở lại bài từ pt thứ 2 ta có (Phương trình đâu?)
$x(9\sqrt{1+x^2}+13\sqrt{1-x^2})=912-4\sqrt{y}\Rightarrow 912-4\sqrt{y}\leq 16\Leftrightarrow y\geq 50176$
Kết hợp với điều kiện xác định ta có $y=50176$ $\Rightarrow x=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
Thay vào pt cuối ta tính được $z=4\sqrt{2}$
Thử lại ta thấy pt có nghiệm là
$\boxed {x=\dfrac{2}{\sqrt{5}} ; y=50176 ; z=4\sqrt{2}}$
____________________________
Em lưu ý đây là bài thi vì vậy cách trình bày, diễn đạt và cả tính toán cũng rất quan trọng, không được "ăn bớt" đâu nhé!
Điểm như sau:
Bài Giải: 9
$S=48-(22-20)+3\times 9 + 0+0=73$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 28-08-2012 - 06:25
Chấm điểm


#7 hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:TAEKWONDO

Đã gửi 24-08-2012 - 22:00

Toán thủ hoangtrunghieu22101997 (MO24) xin trả lời đề của toán thủ nth1235
Bài làm
$$\begin{cases} & \text \sqrt[8]{2.\sqrt[5]{7} - \sqrt[10]{y}} + (17 - \sqrt{37}).z^2 = 544 - 32.\sqrt{37} (1) \\ & \text x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) + 4\sqrt{y} = 912 (2) \\ & \text \sqrt{(10.\sqrt{5} + 20).x.(1 - x)} + z.\sqrt[6]{8} = 10 (3) \end{cases}$$
+) ĐKXĐ: $ 0 \le y \le 50176; 0 \le x \le 1$
+) Với x,y,z thoả mãn ĐKXĐ ta có
Từ (1) suy ra $(17-\sqrt{37})(z^2-32) \le 0$ (do $\sqrt[8]{2.\sqrt[5]{7} - \sqrt[10]{y}} \ge 0$)
$\Rightarrow -4\sqrt{2} \le z \le 4\sqrt{2}$.
Từ phương trình (3) suy ra $z \sqrt[6]{8} \le 8$
Nên $\sqrt{(10\sqrt{5}+20)x(1-x)} \ge 2$
$\Rightarrow x-x^2 \ge \frac{4}{10\sqrt{5}+20})$
$\Rightarrow x^2-x+\frac{2\sqrt{5}-4}{5} \le 0$
$\Rightarrow (x-\frac{2}{\sqrt{5}})(x+ \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}}) \le 0$
$\Rightarrow x \le \frac{2}{\sqrt{5}}$
Mà $x \ge 0$
Từ phương trình (2) ta có
$ x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) + 4\sqrt{y} \le 16+4\sqrt{50176}=912$
Vậy tất cả các dấu = xảy ra
Nên hệ có nghiệm duy nhất
$(x;y;z)=(\frac{2}{\sqrt{5}};50176;4\sqrt{2})$.

Điểm bài 10

S=48(2220)+3×10+0+0=76


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 29-08-2012 - 20:19
Chấm bài

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#8 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 24-08-2012 - 22:03

Đề thi trận 1
Giải hệ phương trình trên tập hợp số thực :
$$\begin{cases}
& \text \sqrt[8]{2\sqrt[5]{7} - \sqrt[10]{y}} + \left(17 - \sqrt{37}\right)z^2 = 544 - 32\sqrt{37} \\
& \text x\left(9\sqrt{1 + x^2} + 13\sqrt{1 - x^2}\right) + 4\sqrt{y} = 912 \\
& \text \sqrt{\left(10\sqrt{5} + 20\right)x\left(1 - x\right)} + z\sqrt[6]{8} = 10
\end{cases}$$

Toán thủ ra đề: MO28 nth1235. Toán thủ ra đề không phải làm bài

ĐKXĐ: $0 \leq y \leq 50176$; $0 \leq x \leq 1$
a) Xét phương trình $x\left(9\sqrt{1 + x^2} + 13\sqrt{1 - x^2}\right) + 4\sqrt{y} = 912$
Khi đó ta thấy:
$x\left(9\sqrt{1 + x^2} + 13\sqrt{1 - x^2}\right)$
$=\frac{65}{2} .\frac{2}{5}\sqrt{x^2-x^4}+\frac{45}{6}.\frac{6}{5}\sqrt{x^2+x^4}$
$ \le \frac{65}{4}\left(\frac{4}{25}+x^2-x^4\right)+\frac{45}{12}\left(\frac{36}{25}+x^2+x^4\right)$
$ =-\frac{1}{2}\left(5x^2-4\right)^2+16 \le 16$ (Em cần nói rõ rằng mình áp dụng BĐT $ ab\le \dfrac{a^2+b^2}{2}$)
Vậy $x\left(9\sqrt{1 + x^2} + 13\sqrt{1 - x^2}\right) \leq 16 \;\;\;\left(1\right)$
Suy ra $4\sqrt{y} \geq 896$
$\Leftrightarrow y \geq 50176$
Mà $y \leq 50176$ \left(do điều kiện xác định\right)
Suy ra $y=50176$
Xuy ra dấu đẳng thức ở $\left(1\right)$ phải sảy ra ! (xảy ra chứ :P)
Suy ra $x=\frac{2}{\sqrt{5}}$
b) Từ phương trình $\sqrt[8]{2\sqrt[5]{7} - \sqrt[10]{y}} + \left(17 - \sqrt{37}\right)z^2 = 544 - 32\sqrt{37}$
Suy ra $\left(17 - \sqrt{37}\right)z^2 = 544 - 32\sqrt{37}$
Suy ra $z=\pm 4\sqrt{2}$
Xét $z=-4\sqrt{2}$ thì từ phương trình $\sqrt{\left(10\sqrt{5} + 20\right)x\left(1 - x\right)} + z\sqrt[6]{8} = 10$ thấy không thỏa mãn
Xét $z=4\sqrt{2}$ thì từ phương trình $\sqrt{\left(10\sqrt{5} + 20\right)x\left(1 - x\right)} + z\sqrt[6]{8} = 10$ thấy thỏa mãn
Vậy $\left(x,y,z\right)=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},50176,4\sqrt{2}\right)$
Thử lại thấy thỏa mãn
c) Tóm lại, hệ phương trình đã cho có nghiệm $\left(x,y,z\right)=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},50176,4\sqrt{2}\right)$
___________________________
Trình bày khá tốt, rất logic, không thấy những lập luận như: "theo công thức của cô giáo em - ta có:..." ^ _ ^
Thay vì đánh dấu a) b) c) em nên cách dòng thì hợp lý hơn
Điểm
Bài giải: 10
$S=48-(23-20)+3\times 10 +0+0=75$

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#9 triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Phổ Thông Năng Khiếu-ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh
  • Sở thích:học toán

Đã gửi 24-08-2012 - 22:03

Đề thi trận 1
Giải hệ phương trình trên tập hợp số thực :
$$\begin{cases}
& \text \sqrt[8]{2.\sqrt[5]{7} - \sqrt[10]{y}} + (17 - \sqrt{37}).z^2 = 544 - 32.\sqrt{37} \\
& \text x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) + 4\sqrt{y} = 912 \\
& \text \sqrt{(10.\sqrt{5} + 20).x.(1 - x)} + z.\sqrt[6]{8} = 10
\end{cases}$$

Toán thủ ra đề: MO28 nth1235. Toán thủ ra đề không phải làm bài

Bài làm của Triethuynhmath:
DKXĐ

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997


#10 triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Phổ Thông Năng Khiếu-ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh
  • Sở thích:học toán

Đã gửi 24-08-2012 - 22:31

Xin lỗ bài trước do máy lỗi nên có lẽ sẽ không hiện bài làm.Em xin làm lại:BGK xin hãy xóa giùm bài post trước đây mới là bài làm của em.
Bài làm của Triethuynhmath:
ĐKXĐ: $\left\{\begin{matrix} y^{10}\leq 2\sqrt[5]{7} \\ x^2\leq 1 \\ x(1-x)\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y\leq 242^2 \\ 0\leq x\leq 1 \end{matrix}\right.$
Ta có:
Xét phương trình (2) của hệ:
$9x\sqrt{1+x^2}+13x\sqrt{1-x^2}+4\sqrt{y}=912\Leftrightarrow \frac{3}{2}3x2\sqrt{1+x^2}+\frac{13}{2}x.2\sqrt{1-x^2}+4\sqrt{y}=912$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm ta có:
$\frac{3}{2}3x2\sqrt{1+x^2}+\frac{13}{2}x.2\sqrt{1-x^2}\leq \frac{3}{4}(9x^2+4+4x^2)+\frac{13}{4}(-3x^2+4)=\frac{39x^2}{4}+3+13-\frac{39}{4}x^2=16$ Nên:
$912\leq 16+4\sqrt{y}\Leftrightarrow \sqrt{y}\geq 224\Leftrightarrow y\geq 224^2$
Kết hợp với điều kiện xác định có : $y=224^2$
Thay vào phương trình đầu ta có:
$(17-\sqrt{37})z^2=32(17-\sqrt{37})\Leftrightarrow z^2=32\Leftrightarrow \begin{bmatrix} z=4\sqrt{2} \\ z=-4\sqrt{2} \end{bmatrix}$
Với $z=4\sqrt{2}$ Thay vào Phương trình cuối của hệ ta có:
$\sqrt{(10\sqrt{5}+20)x(1-x)}+8=10\Leftrightarrow \sqrt{(10\sqrt{5}+20)x(1-x)}=2\Leftrightarrow (x-x^2)(10\sqrt{5}+20)=4\Leftrightarrow x^2-x+\frac{2}{5\sqrt{5}+10}=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{2}{\sqrt{5}} \\ x=\frac{5-2\sqrt{5}}{5} \end{bmatrix}$
Vậy $\begin{bmatrix} x=\frac{2}{\sqrt{5}},y=224^2,z=4\sqrt{2} \\ x=\frac{10\sqrt{5}-20}{25},y=224^2,z=4\sqrt{2} \end{bmatrix}$
Thử lại thì chỉ có : $x=\frac{2}{\sqrt{5}},y=224^2,z=4$ Là nghiệm của hệ.
Với $z=-4\sqrt{2}$ thay vào PT 3 của hệ có:
$\sqrt{x(1-x)(10\sqrt{5}+20)}=18\Leftrightarrow x^2-x+\frac{9}{5\sqrt{5}+10}$ Phương trình này lại vô nghiệm.
Vậy hệ có nghiệm $\left\{\begin{matrix} x=\frac{2}{\sqrt{5}} \\ y=224^2 \\ z=4\sqrt{2} \end{matrix}\right.$
Bài toán được kết thúc.
_____________________________________
Trình bày bài viết hơi rối (chỗ chứng minh biểu thức không lớn hơn 16 ấy em nên để chữ "Nên" xuống dòng thì mới đúng)
Dấu "tuyển" của hệ PT em viết vậy không đúng đâu nhé! Em nên dùng
\left[ ... \right.

"Trái ngoặc vuông ... phải chấm hết" Ở giữa dấu ba chấm ... em có thể dùng
\begin{align} biểu thức 1 \\ biểu thức 2 \end{align}
hoặc
\begin{array} biểu thức 1 \\ biểu thức 2 \end{array}
hay
\begin{matrix} biểu thức 1 \\ biểu thức 2 \end{matrix}
để trình bày

Điểm
Bài giải: 10
$S=48-(23-20)+3\times 10+0+0=75$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 28-08-2012 - 07:00
Chấm điểm

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997


#11 minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:C. Toán 10A2 - HSGS
  • Sở thích:Doing math !!!

Đã gửi 24-08-2012 - 23:14

Đề thi trận 1
Giải hệ phương trình trên tập hợp số thực :
$$\begin{cases}
& \text \sqrt[8]{2.\sqrt[5]{7} - \sqrt[10]{y}} + (17 - \sqrt{37}).z^2 = 544 - 32.\sqrt{37} \(1) \\
& \text x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) + 4\sqrt{y} = 912 \(2)\\
& \text \sqrt{(10.\sqrt{5} + 20).x.(1 - x)} + z.\sqrt[6]{8} = 10 \(3)
\end{cases}$$



SOLUTION:
$TXĐ: \left\{\begin{matrix}2.\sqrt[5]{7} - \sqrt[10]{y}\ge 0\\1-x^2\ge 0\\ y\ge 0\\ x(1-x)\ge 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}0\le y\le 50176\\ 0\le x\le 1\end{matrix}\right.$
-Từ TXĐ ta thấy:
$$4\sqrt{y}\le 4\sqrt{50176}=896\ (*)$$
-Giờ ta c/m:
$$A=x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2})\le 16\ (**)$$
(Bài này rất quen nhưng tự dưng quên mất cách c/m tự nhiên nên đành làm cách dài >"<)
Thật vậy, áp dụng BĐT $AM-GM$ cho 2 số không âm ta có:
$$9\sqrt{1 + x^2} + 13\sqrt{1 - x^2}=3\sqrt{5}.\sqrt{\dfrac{9}{5}(1+x^2)}+13\sqrt{5}.\sqrt{\dfrac{9}{5}(1-x^2)}\\ \le \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}(x^2+\dfrac{14}{5})+\dfrac{13+\sqrt{5}}{2}(-x^2+\dfrac{6}{5})\\ =-5\sqrt{5}x^2+12\sqrt{5}\\ \Rightarrow A\le -5\sqrt{5}x^3+12\sqrt{5}x$$
Nhầm dấu đáng tiếc, phải là ${\color{Red} 3.\sqrt{5}}$
-Xét hàm số $f(x)=-5\sqrt{5}x^3+12\sqrt{5}x$ với $0\le x\le 1$
Có: $f'(x)=-15\sqrt{5}{x^2}+12\sqrt{5}=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\ \text{Thỏa mãn}$
Lập bảng biến thiên ta thấy : $max_{[0 ;1]} f(x)=16$ khi $x=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
Không nên làm tắt như vậy
Suy ra : $A=x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2})\le f(x)\le 16$. BĐT $(**)$ được c/m.
Từ $(*)$ và $(**)$ suy ra :
$$VT(2)\le 896+16=912=VP(2)$$
Theo gt thì BĐT trên xảy ra ở đẳng thức nên suy ra : $x=\dfrac{2\sqrt{5}}{5} ;y=50176$

-Thay $ y=50176$ vào $(1)$ ta được:
$$(17 - \sqrt{37}).z^2 = 32(17-\sqrt{37})\\ \Leftrightarrow z^2=32\Leftrightarrow z=4\sqrt{3} \vee z=-4\sqrt{3}$$
Tuy nhiên thử lại thì chỉ có $ z=4\sqrt{3}$ thỏa mãn $(3)$.

K/L : Hệ đã cho có nghiệm duy nhất $x=\dfrac{2\sqrt{5}}{5} ;y=50176 ;z=4\sqrt{3}\ \square$

Điểm bài: 9

S=48(2320)+3×9+0+0=72


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 29-08-2012 - 21:38
Chấm bài

Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#12 milinh7a

milinh7a

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 57 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT Chuyên Quốc học Huế

Đã gửi 25-08-2012 - 10:08

Đề thi trận 1
Giải hệ phương trình trên tập hợp số thực :
$$\begin{cases}
& \text \sqrt[8]{2.\sqrt[5]{7} - \sqrt[10]{y}} + (17 - \sqrt{37}).z^2 = 544 - 32.\sqrt{37} \\
& \text x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) + 4\sqrt{y} = 912 \\
& \text \sqrt{(10.\sqrt{5} + 20).x.(1 - x)} + z.\sqrt[6]{8} = 10
\end{cases}$$

Toán thủ ra đề: MO28 nth1235. Toán thủ ra đề không phải làm bài

ĐK: $0\leq y\leq 224^{2}$
$0\leq x\leq 1$
Theo bđt côsi ta có: $\sqrt{4(1-x^2)x^2}\leq \frac{4(1-x^2)+x^2}{2}=\frac{4-3x^2}{2}\Rightarrow 13x\sqrt{1-x^2}=13\sqrt{x^2-x^4}\leq \frac{52-39x^2}{4}$ (1)
Tương tự: $\sqrt{9x^2.4(1+x^2)}\leq \frac{9x^2+4(1+x^2)}{2}=\frac{13x^2+4}{2}\Rightarrow 9x\sqrt{1+x^2}=9\sqrt{x^2+x^4}\leq \frac{39x^2+12}{4}$ (2)
Cộng từng vế của (1) và (2) ta có $x(9\sqrt{1+x^2}+13\sqrt{1-x^2)}\leq 16$ (3). Dấu bằng xảy ra khi $x=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
Từ pt (II) của hệ và (3) ta có: $4\sqrt{y}\geq 912-16\Leftrightarrow y\geq 224^{2}$, kết hợp với điều kiện trên được $y=224^2$$\Rightarrow x=\frac{2\sqrt{5}}{5}$. Thay x vào pt (III) của hệ ta có z = $4\sqrt{2}$

Em nên kết luận nghiệm rõ ràng
Điểm bài: 10

S=48−(34−20)+3×10+0+0=64

#13 Math Is Love

Math Is Love

    $\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$

  • Thành viên
  • 620 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K46 Toán 1 CSP và HMU K113
  • Sở thích:$$\mathfrak{Inequality}$$
    $$\mathfrak{Number Theory}$$
    $$\mathfrak{Analysis}$$

Đã gửi 25-08-2012 - 10:41

MO37:Em xin giải như sau:
Điều kiện:$0\leqslant y\leqslant 50176;0\leqslant x\leqslant 1$
Xét $x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) + 4\sqrt{y} = 912$
Đặt A=$x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2})$=$9.\sqrt{x^2+x^{4}} + 13.\sqrt{x^2-x^{4}})$
A=$(9.\sqrt{x^2+x^{4}} + 3.\sqrt{x^2-x^{4}} )+10\sqrt{x^2-x^{4}}$
Áp dụng liên tiếp BĐT Cauchy-Schwarz dạng $ax+by\leqslant \sqrt{(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})}$,ta có:
$A\leqslant \sqrt{(9^{2}+3^{2})(x^{2}+x^{4}+x^{2}-x^{4})}+10\sqrt{x^2-x^{4}}=6\sqrt{5}\sqrt{x^{2}}+10\sqrt{x^{2}-x^{4}}$ (Dấu "=" xảy ra khi x=$\frac{2}{\sqrt{5}}$)
$A\leqslant 6\sqrt{5}\sqrt{x^{2}}+10\sqrt{x^{2}-x^{4}}=(6\sqrt{5}\sqrt{x^{2}}+6\sqrt{x^{2}-x^{4}})+4\sqrt{x^{2}-x^{4}}\leqslant \sqrt{(180+36)(2x^{2}-x^{4})}+4\sqrt{x^{2}-x^{4}}=6\sqrt{6}\sqrt{2x^{2}-x^{4}}+4\sqrt{x^{2}-x^{4}}$ (Dấu "=" xảy ra khi x=$\frac{2}{\sqrt{5}}$)
$A\leqslant6\sqrt{6}\sqrt{2x^{2}-x^{4}}+4\sqrt{x^{2}-x^{4}}=12\sqrt{3x^{2}-1,5.x^{4}}+4\sqrt{x^{2}-x^{4}}\leqslant \sqrt{(144+16)(4x^{2}-2,5.x^{4})}=\sqrt{160(4x^{2}-2,5x^{4})}$ (Dấu "=" xảy ra khi x=$\frac{2}{\sqrt{5}}$)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$4x^{2}-2,5x^{4}=2,5.x^{2}(1,6-x^{2})\leqslant 2,5.\frac{(x^{2}+1,6-x^{2})^{2}}{4}=2,5.0,64=1,6$ (Dấu "=" xảy ra khi x=$\frac{2}{\sqrt{5}}$)
Vậy nên $A\leqslant \sqrt{160.1,6}=16$
Vì $y\leqslant 50176\Rightarrow 4\sqrt{y}\leqslant 4.224=896$
Vậy $x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) + 4\sqrt{y}\leqslant 16+896=912$ (Dấu "=" xảy ra khi $x=\frac{2}{\sqrt{5}};y=50176$)
Vậy nên để thỏa mãn $x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) + 4\sqrt{y} = 912$ thì $x=\frac{2}{\sqrt{5}};y=50176$(thỏa mãn ĐK)
Thay y=50176 vào $\sqrt[8]{2.\sqrt[5]{7} - \sqrt[10]{y}} + (17 - \sqrt{37}).z^2 = 544 - 32.\sqrt{37}$ ta thu được $z=\sqrt{32}$
Thay $z=\sqrt{32};x=\frac{2}{\sqrt{5}}$ vào $\sqrt{(10.\sqrt{5} + 20).x.(1 - x)} + z.\sqrt[6]{8} = 10$ ta thấy thỏa mãn.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $x=\frac{2}{\sqrt{5}};y=50176;z=\sqrt{32}$

Điểm bài: 10
S=48−(34−20)+3×10+0+0=64

Hình đã gửi


#14 chinhanh9

chinhanh9

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-08-2012 - 11:39

Xét phương trình thứ nhất: $2\sqrt[5]{7}-\sqrt[10]{y}\geq 0\Leftrightarrow y\leq 50176$$\Leftrightarrow 912-4\sqrt{y}\geq 16$. Nên từ pt thứ hai, ta được
$x\left ( 9\sqrt{1+x^{2}}+13\sqrt{1-x^{2}} \right )\geq 16$$\left ( 1 \right )$
Theo Bunyakovsky, ta có:
$\left ( 9\sqrt{1+x^{2}}+13\sqrt{1-x^{2}} \right )^{2}$
$=\left ( 3\sqrt{3} \sqrt{3+3x^{2}}+\sqrt{13}\sqrt{13-13^{2}}\right )^{2}$
$\leq \left ( 27+13 \right )\left ( 3+3x^{2} +13-13x^{2}\right )$
$\leq 40\left ( 16-10x^{2} \right )$.
Theo $AM-GM$ thì $40x^{2}\left ( 16-10x^{2} \right )\leq 4.\frac{\left ( 10x^{2} +16-10x^{2}\right )^{2}}{4}$$=$=16^{2}$
Suy ra:
$x\left ( 9\sqrt{1+x^{2}}+13\sqrt{1-x^{2}} \right )\leq 16 \left ( 2 \right )$
Từ$\left ( 1 \right ),\left ( 2 \right )$ , ta được: $x\left ( 9\sqrt{1+x^{2}}+13\sqrt{1-x^{2}} \right )= 16$.
Khi đó, $x^{2}=\frac{4}{5}\Leftrightarrow x= \frac{2}{\sqrt{5}}$ (vì $0< x< 1$).
Từ đó, $y= 50176, z= \sqrt{32}$.

Lỗi Latex đáng tiếc. Điểm bài: 8
S=48−(35−20)+3×8+0+0=57

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 29-08-2012 - 21:32
Chấm bài

>:)  >:)  >:)    HỌC ĐỂ KIẾM TIỀN    >:)  >:)  >:) 


#15 hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:TAEKWONDO

Đã gửi 25-08-2012 - 12:52

Toán thủ hoangtrunghieu22101997 (MO24) xin trả lời đề của toán thủ nth1235
Bài làm
$$\begin{cases} & \text \sqrt[8]{2.\sqrt[5]{7} - \sqrt[10]{y}} + (17 - \sqrt{37}).z^2 = 544 - 32.\sqrt{37} (1) \\ & \text x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) + 4\sqrt{y} = 912 (2) \\ & \text \sqrt{(10.\sqrt{5} + 20).x.(1 - x)} + z.\sqrt[6]{8} = 10 (3) \end{cases}$$
+) ĐKXĐ: $ 0 \le y \le 50176; -1 \le x \le 1$
+) Với x,y,z thoả mãn ĐKXĐ ta có
Từ (1) suy ra $(17-\sqrt{37})(z^2-32) \le 0$ (do $\sqrt[8]{2.\sqrt[5]{7} - \sqrt[10]{y}} \ge 0)$
$\Rightarrow -4\sqrt{2} \le x \le 4\sqrt{2}$.
Từ phương trình (3) suy ra $z \sqrt[6]{8} \le 8$
Nên $\sqrt{(10\sqrt{5}+20)x(1-x)} \ge 2$
$\Rightarrow x^2-x+\frac{2\sqrt{5}-4}{5} \le 0$
$\Rightarrow (x-\frac{2}{\sqrt{5}})(x-\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}}) \le 0$
$\Rightarrow \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}} \le x \le \frac{2}{\sqrt{5}}$
Từ phương trình (2) suy ra
$x(9.\sqrt{1+x^2}+13\sqrt{1-x^2}) \ge 16$
$13 \sqrt{x^2-x^4}+ 9\sqrt{x^2+x^4} \ge 16$(1)
Mặt khác .
Theo bđt Cauchy, ta có:
+> $\sqrt{4(1-x^2)x^2} \le \frac{4(1-x^2)+x^2}{2}=\frac{4-3x^2}{2}$
$\Rightarrow 13\sqrt{x^2-x^4} \le \frac{52-39x^2}{4}$
+> $\sqrt{9x^2.4(1+x^2)} \le \frac{9x^2+4(1+x^2)}{2}=\frac{13x^2+4}{2}$
$9\sqrt{x^2+x^4} \le \frac{39x^2+12}{4}$
Cộng vế ta được $13 \sqrt{x^2-x^4}+ 9\sqrt{x^2+x^4} \le 16$(2)
Từ (1) và (2) ta có $x=\frac{2}{\sqrt{5}}$
Khi đó $y=50176; z=4\sqrt{2}$
Thử lại thoả mãn
Vậy $(x;y;z)=(\frac{2}{\sqrt{5}};50176;4\sqrt{2})$

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#16 L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 25-08-2012 - 13:30

Đề thi trận 1
Giải hệ phương trình trên tập hợp số thực :
$$\begin{cases}
& \text \sqrt[8]{2.\sqrt[5]{7} - \sqrt[10]{y}} + (17 - \sqrt{37}).z^2 = 544 - 32.\sqrt{37} \\
& \text x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) + 4\sqrt{y} = 912 \\
& \text \sqrt{(10.\sqrt{5} + 20).x.(1 - x)} + z.\sqrt[6]{8} = 10
\end{cases}$$

Toán thủ ra đề: MO28 nth1235. Toán thủ ra đề không phải làm bài

Lời giải:
$\begin{cases}
& \text \sqrt[8]{2.\sqrt[5]{7} - \sqrt[10]{y}} + (17 - \sqrt{37}).z^2 = 544 - 32.\sqrt{37} (1)\\
& \text x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) + 4\sqrt{y} = 912 (2)\\
& \text \sqrt{(10.\sqrt{5} + 20).x.(1 - x)} + z.\sqrt[6]{8} = 10 (3)
\end{cases}$

Điều kiện xác định: $-1\leq x\leq 1$, $0\leq x\leq 50176$. (nhầm :D)
Với điều kiện trên thì ta có:

$(2)\Leftrightarrow 912=x\left ( 9\sqrt{1+x^2}+13\sqrt{1-x^2} \right )+4\sqrt{y}\leq \left | x \right |\left ( 9\sqrt{1+x^2}+13\sqrt{1-x^2} \right )+4\sqrt{y}=\dfrac{3}{2}\sqrt{9x^2.4\left ( 1+x^2 \right )}+\dfrac{13}{2}\sqrt{x^2.4\left ( 1-x^2 \right )}+4\sqrt{y}\leq \dfrac{3}{4}\left [ 9x^2+4\left ( 1+x^2 \right ) \right ]+\dfrac{13}{4}\left [ x^2+4\left ( 1-x^2 \right ) \right ]+4\sqrt{y}=16+4\sqrt{y} \Rightarrow y\geq 50176$

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $x=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$.
Kết hợp với điều kiện xác định và đẳng thức xảy ra ta suy ra: $x=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$, $y=50176$.
Thay $x=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$ vào phương trình $(3)$ ta được:

$(3)\Leftrightarrow \sqrt{\left ( 10\sqrt{5}+20 \right ).\dfrac{2}{\sqrt{5}}.\left ( 1-\dfrac{2}{\sqrt{5}} \right )}+z\sqrt{2}=10\\
\Leftrightarrow \sqrt{10\left ( \sqrt{5}+2 \right ).\dfrac{2}{\sqrt{5}}.\dfrac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}}}+z\sqrt{2}=10\\
\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{20\left ( \sqrt{5}+2 \right )\left ( \sqrt{5}-2 \right )}{5}}+z\sqrt{2}=10\\
\Leftrightarrow 2+z\sqrt{2}=10\\
\Leftrightarrow z=4\sqrt{2}$

Thử lại ta thấy bộ $\left ( x;y;z \right )=\left ( \dfrac{2}{\sqrt{5}};50176;4\sqrt{2} \right )$ thỏa mãn hệ phương trình đã cho.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: $\boxed{\left ( x;y;z \right )=\left ( \dfrac{2}{\sqrt{5}};50176;4\sqrt{2} \right )}$.

Điểm bài: 10 (Nhầm lẫn do đánh máy, tạm thời bỏ qua)
S=48−(37−20)+3×10+0+0=61

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 30-08-2012 - 21:29
Chấm bài

Thích ngủ.


#17 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 25-08-2012 - 13:35

Đề thi trận 1
Giải hệ phương trình trên tập hợp số thực :
$$\begin{cases}
& \text \sqrt[8]{2.\sqrt[5]{7} - \sqrt[10]{y}} + (17 - \sqrt{37}).z^2 = 544 - 32.\sqrt{37} (1) \\
& \text x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) + 4\sqrt{y} = 912 (2) \\
& \text \sqrt{(10.\sqrt{5} + 20).x.(1 - x)} + z.\sqrt[6]{8} = 10 (3)
\end{cases}$$

Toán thủ ra đề: MO28 nth1235. Toán thủ ra đề không phải làm bài


Em xin được xử hệ phương trình của trận 1:

Điều kiện: $\left\{\begin{matrix} 0\leq x\leq 1\\ 0\leq y\leq 50176\\ z\in \mathbb{R} \end{matrix}\right.$

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ:

Với mọi $x\in [0;1]$ ta có $9x\sqrt{1+x^{2}}+13x\sqrt{1-x^{2}}\leq 16$ (*)

CM:Bình phương (*) ta được $x^{2}(13\sqrt{1-x^{2}}+9\sqrt{1+x^{2}} )^{2}\leq 256$ (**)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :$[\sqrt{13}\sqrt{13(1-x^{2})}+3\sqrt{3}\sqrt{3(1+x^{2})}]^{2}\leq (13+27)(13-13x^{2}+3+3x^{2})=40(16-10x^{2})$

Khi đó vế trái của (**) : $x^{2}(13\sqrt{1-x^{2}}+9\sqrt{1+x^{2}} )^{2}\leq 40x^{2}(16-10x^{2})$

Giờ chỉ cần chứng minh:$40x^{2}(16-10x^{2})\leq 256$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$10x^{2}(16-10x^{2})\leq (\frac{16}{2})^{2}=64$

=>$40x^{2}(16-10x^{2})\leq 256$ (điều phải chứng minh)

Dấu "=" xảy ra <=> $\begin{bmatrix} x=\frac{2}{\sqrt{5}}\\ x=-\frac{2}{\sqrt{5}} \end{bmatrix}$

Nhưng ta chỉ nhận $x=\frac{2}{\sqrt{5}}$ vì $x\in [0;1]$

Vậy ta luôn có $9x\sqrt{1+x^{2}}+13x\sqrt{1-x^{2}}\leq 16$ với mọi $x\in [0;1]$

Áp dụng vào bài ta thay vào (2) được $912= 4\sqrt{y}+x(9\sqrt{1+x^{2}}+13\sqrt{1-x^{2}})\leq 4\sqrt{y}+16$

<=>$y\geq 50176$

Mà theo điều kiện $y\leq 50176$ =>$y= 50176$

=>$x= \frac{2}{\sqrt{5}}$

Thay $x= \frac{2}{\sqrt{5}}$ vào phương trình (3) ta được:$2+z\sqrt[6]{8}=10$

<=>$z=\sqrt[6]{8^{5}}$

Thử lại thỏa nghiệm.

Vậy hệ có nghiệm $(\frac{2}{\sqrt{5}};50176;\sqrt[6]{8^{5}})$

$\sqrt[6]{8^{5}})$ nên viết gọn về căn bậc nhỏ hơn
Điểm bài: 10
S=48−(37−20)+3×10+0+0=61

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 29-08-2012 - 21:52
Chấm bài

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#18 sherlock holmes 1997

sherlock holmes 1997

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:???
  • Sở thích:chess ,football

Đã gửi 25-08-2012 - 16:25

ĐKXĐ:$0\leq x\leq 1;0\leq y\leq 50176;z\in \mathbb{R}$
Xét:A=$16-x(9\sqrt{1+x^{2}}+13\sqrt{1-x^{2}})$
=$(\frac{13}{4}x^{2}-2.\frac{\sqrt{13}}{2}x.\sqrt{13}\sqrt{1-x^{2}}+13(1-x^{2}))+(\frac{27}{4}x^{2}-2.\frac{3\sqrt{3}}{2}x.\sqrt{3}\sqrt{1+x^{2}}+3(1 +x^{2}))$
=$(\frac{\sqrt{13}}{2}x-\sqrt{13}\sqrt{1-x^{2}})^{2}+(\frac{3\sqrt{3}}{2}x-\sqrt{3}\sqrt{1+x^{2}})^{2}\geq 0$
$\Rightarrow x(9\sqrt{1+x^{2}}+13\sqrt{1-x^{2}})\leq 16$(dấu bằng xảy ra khi $x=\frac{2}{\sqrt{5}}$)
Mà $x(9\sqrt{1+x^{2}}+13\sqrt{1-x^{2}})+4\sqrt{y}=912$
$\Rightarrow 4\sqrt{y}\geq 896\Rightarrow y\geq 50176$.
Mà $y\leq 50176$ (ĐKXĐ) $\Rightarrow y=50176$.$\Rightarrow x(9\sqrt{1+x^{2}}+13\sqrt{1-x^{2}})=16 \Rightarrow x=\frac{2}{^{\sqrt{5}}}$.
Do y=50176;$\sqrt[8]{2\sqrt[5]{7}-\sqrt[10]{y}}+(17-\sqrt{37})z^{2}=544-32.\sqrt{37}$
$\Rightarrow z^{2}=32\Rightarrow z=\sqrt{32}$ hoặc $z=-\sqrt{32}$.
Mà $x=\frac{2}{^{\sqrt{5}}} ,{\sqrt{(10\sqrt{5}+20)x(1-x)}}+z\sqrt[6]{8}=10$
$\Rightarrow z=\sqrt{32}$
Vậy HPT có nghiệm $x=\frac{2}{\sqrt{5}},y=50176, z=\sqrt{32}$(thỏa mãn ĐKXĐ)
Điểm bài: 10
S=48−(40−20)+3×10+0+0=58

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 29-08-2012 - 22:00
Chấm bài

When you have eliminated the impossible whatever remains, however improbable, must be the truth
__________SHERLOCK HOLMES____________

#19 Trần Đức Anh @@

Trần Đức Anh @@

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 286 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị

Đã gửi 25-08-2012 - 16:53

ĐK: $\left\{\begin{matrix}0\leq{x}\leq{1}\\0\leq{y}\leq{224^2}
\end{matrix}\right.$
Sử dụng AM-GM ta có: $9x\sqrt{1+x^2}+13x\sqrt{1-x^2}=\frac{3}{2}.3x.2\sqrt{1+x^2}+\frac{13}{2}.x.2\sqrt{1-x^2}$ $\leq\frac{3}{4}[9x^2+4(1+x^2)]+\frac{13}{4}[x^2+4(1-x^2)]=16$
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi: $3x=2\sqrt{1+x^2}$ và $x=2\sqrt{1-x^2}$ tương đương với $x=\frac{2}{\sqrt{5}}$
Từ đây suy ra: $16+4\sqrt{y}\geq{912}$, suy ra $y\geq{224^2}$, đối chiếu điều kiện có ngay $y=224^2=50176$ và lúc này $x=\frac{2}{\sqrt{5}}$ thế vào phương trình thứ ba ta có $z=\sqrt{32}$ thử lại ở phương trình đầu thấy thỏa mãn.
Vậy $(x,y,z)=(\frac{2}{\sqrt{5}},50176,\sqrt{32})$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Điểm bài: 10
S=48−(40−20)+3×10+0+0=58

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 29-08-2012 - 22:02
Chấm bài

Chữ ký spam! Không cần xoá!

#20 tran thanh binh dv class

tran thanh binh dv class

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quảng Bình

Đã gửi 25-08-2012 - 22:01

Đề thi trận 1
Giải hệ phương trình trên tập hợp số thực :
$$\begin{cases}
& \text \sqrt[8]{2.\sqrt[5]{7} - \sqrt[10]{y}} + (17 - \sqrt{37}).z^2 = 544 - 32.\sqrt{37} \\
& \text x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) + 4\sqrt{y} = 912 \\
& \text \sqrt{(10.\sqrt{5} + 20).x.(1 - x)} + z.\sqrt[6]{8} = 10
\end{cases}$$


Đặt
$$\begin{cases}
& \text \sqrt[8]{2.\sqrt[5]{7} - \sqrt[10]{y}} + (17 - \sqrt{37}).z^2 = 544 - 32.\sqrt{37} (1)\\
& \text x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) + 4\sqrt{y} = 912 (2) \\
& \text \sqrt{(10.\sqrt{5} + 20).x.(1 - x)} + z.\sqrt[6]{8} = 10 (3)
\end{cases}$$

dkxd $0\leq x\leq 1;y\geq 0$
Ta thấy
$(1)\Leftrightarrow\sqrt[8]{2.\sqrt[5]{7}-{\sqrt[10]{y}}}=(32-z^2)(17-\sqrt{37})$

$\Rightarrow\sqrt[10]{y}\leq 2.\sqrt[5]{7}$ và $ z^2\leq 32$
$\Leftrightarrow4\sqrt{y}\leq 896$ và $-8\leq z\sqrt[6]{8}\leq 8$
$TH1 -8\leq z\sqrt[6]{8}$
$\Rightarrow\sqrt{(10.\sqrt{5} + 20).x.(1 - x)} = 10-z.\sqrt[6]{8} \leq 18$
$\Rightarrow(10.\sqrt{5} + 20).x.(1 - x) \leq 324$
Bất phương trình vô nghiệm
(???????)


$TH2: z\sqrt[6]{8}\leq 8$
$\sqrt{(10.\sqrt{5} + 20).x.(1 - x)} = 10-z.\sqrt[6]{8} \geq 2$
$\Rightarrow(10.\sqrt{5} + 20).x.(1 - x)\geq 4\Rightarrow x^2-x+\frac{4}{10.\sqrt{5} + 20}\leq 0\Rightarrow x\leq \frac{1+\sqrt{\frac{5\sqrt{5}+2}{5(\sqrt{5}+2)}}}{2}=k$
với $x\leq k$ thì $x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2})\leq 16$
$\Rightarrow 4\sqrt{y}=912-x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2})\geq 912-16=896$
mà ta có $4\sqrt{y}\leq 896$ chứng minh trên nên $4\sqrt{y}= 896$
và dấu bằng trong các bất đẳng thức xảy ra
$\Rightarrow y=(\frac{896}{4})^2=50176; x=\frac{1+\sqrt{\frac{5\sqrt{5}+2}{5(\sqrt{5}+2)}}}{2};z=\sqrt{32}$

ps latex vất vả quá :( :(

Hai trường hợp của em có "bài trừ" lẫn nhau đâu nhỉ?
Kết quả ẩn $x$ còn quá to.

Điểm bài: 8

S=48−(40−20)+3×8+0+0=46

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 29-08-2012 - 22:19
Chấm bài

Hình đã gửi





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh