Chủ đề này có 41 trả lời

[899225]

[attachment=11320:CodeCogsEqn.gif]

(1) [attachment=11324:CodeCogsEqn (4).gif]
Từ [attachment=11325:CodeCogsEqn (5).gif]

Từ (2 và (4)
[attachment=11326:CodeCogsEqn (6).gif]

Thế [attachment=11328:CodeCogsEqn (8).gif] vào 3 ta tìm được
[attachment=11329:CodeCogsEqn (9).gif]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là
[attachment=11330:CodeCogsEqn (10).gif]

Điểm bài: 10
S=48−(57−20)+3×10+0+0=41

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 29-08-2012 - 22:27
Chấm bài

[luuxuan9x]

Đề thi trận 1
Giải hệ phương trình trên tập hợp số thực :
$$\begin{cases}
& \text \sqrt[8]{2.\sqrt[5]{7} - \sqrt[10]{y}} + (17 - \sqrt{37}).z^2 = 544 - 32.\sqrt{37} (1)\\
& \text x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) + 4\sqrt{y} = 912 (2)\\
& \text \sqrt{(10.\sqrt{5} + 20).x.(1 - x)} + z.\sqrt[6]{8} = 10 (3)
\end{cases}$$

Toán thủ ra đề: MO28 nth1235. Toán thủ ra đề không phải làm bài

Bài này nhìn số mũ hơi ngán nhưng sau một hồi giải cũng ra.

BÀI GIẢI

Điều kiện:$\left\{\begin{matrix} 0\leq x\leq 1\\ 0\leq y\leq 50176\\ z\in \mathbb{R} \end{matrix}\right.$

Bắt đầu từ bất đẳng thức: $9x\sqrt{1+x^{2}}+13x\sqrt{1-x^{2}}\leq 16$ với mọi $x\in [0;1]$

Thật vậy: Vế trái của bất đẳng thức đã cho thành:

$\frac{9}{6}\sqrt{36(x^{2}+x^{4})}+\frac{13}{2}\sqrt{4(x^{2}-x^{4})}\leq \frac{13}{2}.\frac{4-4x^{2}+x^{2}}{2}+\frac{3}{2}.\frac{9x^{2}+4+4x^{2}}{2}=16=VP$

Dấu "=" xảy ra <=>$x=\frac{2}{\sqrt{5}}$ (vì $x\in [0;1]$)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Áp dụng váo phương trình (2) ta được $912= 4\sqrt{y}+x(9\sqrt{1+x^{2}}+13\sqrt{1-x^{2}})\leq 4\sqrt{y}+16$


<=>$y\geq 50176$


Mà theo điều kiện $y\leq 50176$ =>$y= 50176$



=>$x= \frac{2}{\sqrt{5}}$

Thay $x= \frac{2}{\sqrt{5}}$ vào phương trình (3) ta được:$2+z\sqrt[6]{8}=10$

<=>$z=\sqrt[6]{8^{5}}$

Thử lại thỏa nghiệm.

Vậy hệ có nghiệm $(\frac{2}{\sqrt{5}};50176;\sqrt[6]{8^{5}})$

Nên đưa căn về bậc thấp hơn, không nên viết dấu suy ra và dấu tương đương như vậy nữa
Điểm bài: 10
S=48−(60−20)+3×10+0+0=38

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 29-08-2012 - 22:32
Chấm bài

[soros_fighter]

Đề vừa ra đã có bạn đưa lên mathlinks mong BQT xem xét

[Joker9999]

Đặt các phuơng trình như đề bài theo thứ tự (1),(2),(3)
Điều kiện để căn thức có nghĩa là:\[
0 \le x \le 1
\]
và y\[
\le 50176
\]

Trước hết ta chứng minh:
\[
9x\sqrt {1 - x^2 } + 13x\sqrt {1 + x^2 } \le 16(4)
\]
Thật vậy, theo B.Đ.T AM-GM tao có:

\[
\begin{array}{l}
\frac{9}{4}x^2 + (1 + x^2 ) \ge 2\sqrt {\frac{9}{4}x^2 (1 + x^2 )} = 3x\sqrt {1 + x^2 } \\
= > 9x\sqrt {1 + x^2 } = 6.(\frac{3}{2}x)\sqrt {1 + x^2 } \le 3(\frac{9}{4}x^2 + (1 + x^2 )) \\
\end{array}
\]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \[
x = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}
\]
Tương tự, theo AM-GM tao có:

\[
\begin{array}{l}
\frac{{x^2 }}{4} + (1 - x^2 ) \ge 2\sqrt {\frac{{x^2 }}{4}(1 - x^2 )} \\
= > 13x\sqrt {1 - x^2 } = 26.(\frac{x}{2})\sqrt {1 - x^2 } \le 13(\frac{{x^2 }}{4} + 1 - x^2 ) \\
\end{array}
\]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \[
x = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}
\]
Do đó:Vế trải của (4)\[
\le 13(\frac{{x^2 }}{4} + 1 - x^2 ) + 3(\frac{{9x^2 }}{4} + 1 + x^2 ) = 16
\]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=\[
x = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}
\]
Trở lại bài toán:
Từ (4) và (2) ta suy ra y\[
\ge \frac{{912 - 16}}{4}^2 = 50176
\]
theo điều kiện, ta suy ra y=50176. Thay vào(2) đc x=\[
\frac{{2\sqrt 5 }}{5}
\]
vào (1) đc z=\[
\sqrt {32}
\]
Thay x, z đã tính ở trên vào (3), ta thấy mâu thuẫn
Vậy hệ đã cho vô nghiệm.
Nhận xét: Bài toán sẽ có nghiệm duy nhất nếu sửa phương trình (1) hoặc (3)

Lỗi Latex.
Điểm bài: 10
S=48−(63−20)+3×10+0+0=35

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 29-08-2012 - 22:35
Chấm bài

[ninhxa]

Đề thi trận 1
Giải hệ phương trình trên tập hợp số thực :
$$\begin{cases}
& \text \sqrt[8]{2.\sqrt[5]{7} - \sqrt[10]{y}} + (17 - \sqrt{37}).z^2 = 544 - 32.\sqrt{37} (1) \\
& \text x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) + 4\sqrt{y} = 912 (2)\\
& \text \sqrt{(10.\sqrt{5} + 20).x.(1 - x)} + z.\sqrt[6]{8} = 10 (3)
\end{cases}$$

-ĐKXD:
$\left\{\begin{matrix}y\leq 50176 \\ 1-x^2\geq 0 \\ x(1-x)\geq 0 \end{matrix}\right.$
-Ta có:
*Xét $0\leq x$ (?) thì từ pt (2) ta có: $4\sqrt{y}\geq 912\Leftrightarrow y\geq 51984$ (trái dkxd)
*Xét $x>0$ ta có:
$x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2})=9\sqrt{x^2+x^4}+13\sqrt{x^2-x^4}$
-Áp dụng bdt Cauchy-Shwarz và bdt phụ $ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}$ (với mọi ab) ta có:
$\left ( 9\sqrt{x^2+x^4}+13\sqrt{x^2-x^4} \right )^2=\left ( 3\sqrt{3}.\sqrt{3x^2+3x^4}+\sqrt{13}.\sqrt{13x^2-13x^4} \right )^2\leq (13+27)(3x^2+3x^4+13x^2-13x^4)=16.5x^2(8-5x^2)\leq 16.\frac{(5x^2+8-5x^2)^2}{4}=16^2$
-Do đó:
$x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2})\leq 16$
Dấu bằng xảy ra khi: $x=\frac{2}{\sqrt{5}}$
-Kết hợp với pt (2) ta có: $4\sqrt{y}\geq 896\Rightarrow y\geq 50176$
mà theo dkxd thì $y\leq 50176$ nên y=50176
-Từ đó: $x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2})= 16$
$\Leftrightarrow x=\frac{2}{\sqrt{5}}$
-Thay y=50176 vào pt (1) ta tìm dc $z=\pm \sqrt{32}$
-Thử lại ta thấy $\left ( x;y;z \right )=\left ( \frac{2}{\sqrt{5}};50176;\sqrt{32} \right )$ là nghiệm của hpt
-Do vậy hệ có duy nhất 1 nghiệm là: $\left ( x;y;z \right )=\left ( \frac{2}{\sqrt{5}};50176;\sqrt{32} \right )$

p/s: ở cuộc thi trên diễn đàn pt, hệ pt toàn dùng bdt. liệu chủ đề này có phải là chủ đề bdt 2.0 ko nhỉ? Trá hình thôi.

Điểm bài: 10
S=48−(63−20)+3×10+0+0=35

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 29-08-2012 - 22:40
Chấm bài

[tran thanh binh dv class]

em xin sửa: bỏ cái TH1 chỉ xét TH2 thôi ạ. Nhờ giám khảo xoá TH1 hộ ạ.

[WhjteShadow]

Bài mở rộng của WhjteShadow:
Do đề bài khá lằng nhằng nhưng xét 1 cách tổng quan thì ta chỉ phải chứng minh bất đẳng thức:
Với $x\in (0;1)$ ta luôn có $x(9\sqrt{1+x^2}+13\sqrt{1-x^2})\leq 16$
Vì vậy em xin mở rộng:
Bài toán: Ch0 $x\in (0;1)$ tìm max của $D=x(a\sqrt{1+x^2}+b\sqrt{1-x^2})$
Lời giải: Sử dụng tham số $s,t>0$ và bất đẳng thức $AM-GM$ ta được:
$$2D=2ax\sqrt{1+x^2}+2bx\sqrt{1-x^2}=2\frac{ax.\sqrt{s^2+s^2x^2}}{s}+2\frac{bx.\sqrt{t^2-t^2x^2}}{t}$$
$$\leq \left(\frac{a^2x^2+s^2+s^2x^2}{s}+\frac{b^2x^2+t^2-t^2x^2}{t}\right)$$
$$=x^2\left(\frac{a^2+s^2}{s}+\frac{b^2-t^2}{t}\right)+s+t$$
Và ta sẽ chọn $s,t$ sa0 ch0 $\frac{a^2+s^2}{s}+\frac{b^2-t^2}{t}=0$ và $a^2x^2=s^2+s^2x^2,b^2x^2=t^2-t^2x^2$
Hay $\frac{a^2+s^2}{s}+\frac{b^2-t^2}{t}=0$ và $\frac{s^2}{a^2-s^2}=\frac{t^2}{t^2+b^2}$
Giải hệ ta dễ dàng viết được $s$ và $t$ the0 $a$ và $b$ từ đó tìm ra $Max_D$ the0 $a$ và $b$

[E. Galois]

Trận đấu đã kết thúc, các toán thủ có thể nhận xét bài làm của nhau nhưng không được tự sửa bài của mình. Toán thủ nào sửa bài làm của mình sẽ bị 0 điểm

[nth1235]

Thống kê bao nhiêu bạn làm dc bài : (Theo thứ tự thời gian)
1) bibitsubomi 9fxshiftsolve
2) WhjteShadow
3) henry0905
4) davildark
5) hoangtrunghieu22101997
6) nthoangcute
7) triethuynhmath
8) minhtuyb
9) milinh7a
10) doxuantung97
11) chinhanh9
12) L Lawliet
13) namheo1996
14) sherlock holmes 1997
15) Trần Đức Anh @@
16) tran thanh binh dv class
17) 899225
18) luuxuan9x
19) Joker999
20) ninhxa.
Ngoài ra còn có 1 mở rộng của WhjteShadow.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nth1235: 27-08-2012 - 09:33

[nth1235]

Đề vừa ra đã có bạn đưa lên mathlinks mong BQT xem xét

Là ai bạn có thể nói rõ ko ???

[henry0905]

Trận đấu đã kết thúc, các toán thủ có thể nhận xét bài làm của nhau nhưng không được tự sửa bài của mình. Toán thủ nào sửa bài làm của mình sẽ bị 0 điểm

Anh ơi, em chưa biết tin này. Em chỉ sửa ở chỗ điều kiện của (2) thành điều kiện của (1) thôi, mong anh xem lại cho. Anh có thể kiểm chứng mà. Với lại trong điều lệ MO em không thấy chỗ ghi "thí sinh sửa bài bị 0 điểm". Mong anh xem lại.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 27-08-2012 - 09:57

[Math Is Love]

Cho mình hỏi là những ai ko làm được bài đều bị loại hay là chỉ loại 17 người thôi vậy?
P/s:Loại hết thì hay quá,mình từ sau đỡ phải lo bị loại

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doxuantung97: 27-08-2012 - 10:29

[nth1235]

Chẳng bik loại bao nhiêu nữa nhưng nếu mà ko làm bài được thì loại thì có tới 31 bạn "ra đi".

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nth1235: 27-08-2012 - 10:20

[Trần Đức Anh @@]

Nói thật chứ bài mở rộng của bạn WhjteShadow mình thấy chẳng có gì là "mở rộng", chỉ có thay mấy con số thành chữ số là mở rộng chăng? Mà đúng là bài toán này chẳng có gì để mở rộng bởi tính rõ ràng và kết hợp nhiều thứ quen thuộc lại.
--------------------------------------------
Anh E.Galois:
Cho em cái đường link mathlinks đó với em lần dấu vết cho.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trần Đức Anh @@: 27-08-2012 - 14:04

[WhjteShadow]

Nói thật chứ bài mở rộng của bạn WhjteShadow mình thấy chẳng có gì là "mở rộng", chỉ có thay mấy con số thành chữ số là mở rộng chăng? Mà đúng là bài toán này chẳng có gì để mở rộng bởi tính rõ ràng và kết hợp nhiều thứ quen thuộc lại.

Thực ra em định giải tổng quát cả $s$ và $t$ the0 $a$ và $b$ nhưng chỗ cuối lại vướng 1 cái pt bậc 6 khó làm.Vì vậy tùy trường hợp cụ thể thì mình thay số vào tìm $s,t$ thôi :-"

[hxthanh]

Chiếu theo điều lệ sẽ có 14 thí sinh bị loại, trong số 31 thí sinh không tham gia giải bài. BTC sẽ "ưu tiên" loại thí sinh có số báo danh từ nhỏ tới lớn. Giá mà trong 31 thí sinh trên có thí sinh nộp bài (dù cho sai hoàn toàn - 0 điểm) thì chưa chắc đã bị loại đâu

[E. Galois]

Đề vừa ra đã có bạn đưa lên mathlinks mong BQT xem xét

Vấn đề nghiêm trọng đây. Thí sinh đó đã vi phạm điều lệ, theo điều lệ sẽ bị loại khỏi giải đấu. Đề nghị các mem tìm cho ra kẻ đó là ai, BTC sẽ loại khỏi giải đấu

Chiếu theo điều lệ sẽ có 14 thí sinh bị loại, trong số 31 thí sinh không tham gia giải bài. BTC sẽ "ưu tiên" loại thí sinh có số báo danh từ nhỏ tới lớn. Giá mà trong 31 thí sinh trên có thí sinh nộp bài (dù cho sai hoàn toàn - 0 điểm) thì chưa chắc đã bị loại đâu

Đúng thế, toán thủ bị loại là toán thủ không làm bài. Còn làm bài sai thì vẫn không bị loại đâu

Anh ơi, em chưa biết tin này. Em chỉ sửa ở chỗ điều kiện của (2) thành điều kiện của (1) thôi, mong anh xem lại cho. Anh có thể kiểm chứng mà. Với lại trong điều lệ MO em không thấy chỗ ghi "thí sinh sửa bài bị 0 điểm". Mong anh xem lại.

Rất tiếc, em đã vi phạm điều lệ. em sẽ bị 0 điểm (yên tâm, may cho em có nhiều người ko làm bài nên chưa chắc em đã bị loại)

[WhjteShadow]

Hì chiều nay đi lang thang sang boxmath em thấy anh Huyện p0st 1 câu chuyện thú vị về bài toán này:
http://www.mediafire...zv8y4g3737i3r6e

[henry0905]

Rất tiếc, em đã vi phạm điều lệ. em sẽ bị 0 điểm (yên tâm, may cho em có nhiều người ko làm bài nên chưa chắc em đã bị loại)

Vậy thì anh cho em rút tên ra khỏi danh sách. Hiện tại em đang rất bận nên khó có thể tiếp tục thi đấu.

[E. Galois]

Điểm cho toán thủ ra đề nth1235:
$$D_{rd} = 4\times 1 + 2 \times 1 + 2 \times 32 = 70$$