Sao không thấy post đáp án chính thức nhỉ anh E.Galois?
[MO2013] Trận 1 - Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
Bắt đầu bởi E. Galois, 23-08-2012 - 23:04
-
Chủ đề bị khóa
#41
Đã gửi 31-08-2012 - 21:54
perfectstrong
-
- Quản lý Toán Ứng dụng
-
- 4999 Bài viết
$LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! 
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#42
Đã gửi 01-09-2012 - 16:05
nth1235
-
- Thành viên
-
- 120 Bài viết
Trung sĩ
Giải hệ phương trình trên tập hợp số thực :
$\begin{cases}
& \text \sqrt[8]{2.\sqrt[5]{7} - \sqrt[10]{y}} + (17 - \sqrt{37}).z^2 = 544 - 32.\sqrt{37} \\
& \text x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) + 4\sqrt{y} = 912 \\
& \text \sqrt{(10.\sqrt{5} + 20).x.(1 - x)} + z.\sqrt[6]{8} = 10
\end{cases}$
BL :
ĐK : $0 \leq x \leq 1 ; 0 \leq y \leq 50176 (1)$
Với $0 \leq x \leq 1$, ta có :
$ x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2})
= \frac{3}{2} . 3x . 2\sqrt{1 + x^2} + \frac{13}{2} . x . 2\sqrt{1 - x^2}
\leq \frac{3}{4}.[9x^2 + 4(1 + x^2)] + \frac{13}{4}.[x^2 + 4(1 - x^2)] = 16 (2)$ (Áp dụng BĐT AM - GM)
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x = \frac{2}{\sqrt{5}} $ (thỏa $(1)$)
Mặt khác, từ $(1)$ suy ra $4.\sqrt{y} \leq 896 (3)$.
Từ $(2) , (3)$ suy ra $x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) + 4.\sqrt{y} \leq 912$.
Mà theo đề bài, dấu bằng xảy ra nên $x = \frac{2}{\sqrt{5}} ; y = 50176$
Từ đó, thay $x = \frac{2}{\sqrt{5}} ; y = 50176$ vào hệ, suy ra $z = \sqrt{32}$
Vậy hệ có nghiệm $(x , y , z)$ duy nhất là $(\frac{2}{\sqrt{5}} ; 50176 ; \sqrt{32})$
Nhận xét : Thoạt nhìn hệ trên có vẻ khá phức tạp nhưng nếu chứng minh được bất đẳng thức $x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) \leq 16 $ với $ 0 \leq x \leq 1$ thì bài toán trở nên đơn giản hơn.
PS : Ban tổ chức giúp em sửa Latex 1 số chỗ dấu căn hiển thị chưa rõ với. Máy nhà em ko hiểu sao sửa mãi mà không được.
OK
$\begin{cases}
& \text \sqrt[8]{2.\sqrt[5]{7} - \sqrt[10]{y}} + (17 - \sqrt{37}).z^2 = 544 - 32.\sqrt{37} \\
& \text x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) + 4\sqrt{y} = 912 \\
& \text \sqrt{(10.\sqrt{5} + 20).x.(1 - x)} + z.\sqrt[6]{8} = 10
\end{cases}$
BL :
ĐK : $0 \leq x \leq 1 ; 0 \leq y \leq 50176 (1)$
Với $0 \leq x \leq 1$, ta có :
$ x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2})
= \frac{3}{2} . 3x . 2\sqrt{1 + x^2} + \frac{13}{2} . x . 2\sqrt{1 - x^2}
\leq \frac{3}{4}.[9x^2 + 4(1 + x^2)] + \frac{13}{4}.[x^2 + 4(1 - x^2)] = 16 (2)$ (Áp dụng BĐT AM - GM)
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x = \frac{2}{\sqrt{5}} $ (thỏa $(1)$)
Mặt khác, từ $(1)$ suy ra $4.\sqrt{y} \leq 896 (3)$.
Từ $(2) , (3)$ suy ra $x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) + 4.\sqrt{y} \leq 912$.
Mà theo đề bài, dấu bằng xảy ra nên $x = \frac{2}{\sqrt{5}} ; y = 50176$
Từ đó, thay $x = \frac{2}{\sqrt{5}} ; y = 50176$ vào hệ, suy ra $z = \sqrt{32}$
Vậy hệ có nghiệm $(x , y , z)$ duy nhất là $(\frac{2}{\sqrt{5}} ; 50176 ; \sqrt{32})$
Nhận xét : Thoạt nhìn hệ trên có vẻ khá phức tạp nhưng nếu chứng minh được bất đẳng thức $x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) \leq 16 $ với $ 0 \leq x \leq 1$ thì bài toán trở nên đơn giản hơn.
PS : Ban tổ chức giúp em sửa Latex 1 số chỗ dấu căn hiển thị chưa rõ với. Máy nhà em ko hiểu sao sửa mãi mà không được.
OK
- namcpnh, Math Is Love và nthoangcute thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
