ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - MÔN TOÁN
Năm học 2013-2014
Bài 1:
a) Cho a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu a+b+c chia hết cho 6 thì A=(a+b)(b+c)(c+a)+2014abc chia hết cho 6.
b) Tìm số nguyên tố p để $4p^{2}+1$ và $6p^{2}+1$ cũng là số nguyên tố.
Thấy TOPIC yên quá, mình xin đóng góp bài 1 như sau:
a) $A=(a+b)(b+c)(c+a)+2014abc$
$=(ab+ac+b^{2}+bc)(c+a)+2014abc$
$=abc+a^{2}b+ac^{2}+a^{2}c+b^{2}c+abc+2014abc$
$=(a^{2}b+ab^{2}+abc)+(b^{2}c+bc^{2}+abc)+(c^{2}a+ca^{2}+abc)+2013abc$
$=ab(a+b+c)+bc(a+b+c)+ca(a+b+c)+2013abc$
Vì $a+b+c\vdots 6$ nên trong a, b, c tồn tại ít nhất một số chẵn. Giả sử số đó là a thì $a\vdots 2$ mà $2013abc\vdots 3$ và (2;3)=1 nên $2013abc\vdots 6$. Ta lại có ab(a+b+c) $\vdots 6$; bc(a+b+c) $\vdots 6$; ca(a+b+c) $\vdots 6$
Từ các điều trên suy ra:
$A\vdots 6$.
b)Với p=5 thì $4p^{2}+1=4.5^{2}+1=101$ --> $4p^{2}+1$ là số nguyên tố.
$6p^{2}+1=6.5^{2}+1=151$ --> $6p^{2}+1$ là số nguyên tố.
Xét p>5 mà p là số nguyên tố nên p không chia hết cho 5
TH1: p=5k+1 ($k\in N$)
$\Rightarrow 4p^{2}+1=4(5k+1)^{2}+1=100k^{2}+40k+5\vdots 5$$\Rightarrow$ $4p^{2}+1$ là hợp số
$\Rightarrow$ p=5k+1 Loại
Các trường hợp khác làm tương tự.
Kết luận: p=5
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 05-01-2014 - 19:20