Chủ đề này có 195 trả lời

[Dung Dang Do]

Ta có $a^2 \equiv 1;4 \text{mod 5}$
Suy ra $a^4 \equiv1 \text{mod 5}$
Tương tự $b^4 \equiv 1 \text{mod 5}$
Suy ra $a^4-b^4\vdots 5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Dang Do: 15-12-2012 - 21:39

[Dung Dang Do]

Bài nghiệm nguyên có nhiều trên VMF.
http://diendantoanho...-nghiệm-nguyen/

[duaconcuachua98]

Mình xin đóng góp một đề:
ĐỀ 8: ĐỀ THI HSG TP Hồ Chí Minh
Năm học: 1989 - 1990
Vòng 1:
Bài 1: Cho hai số nguyên dương $a$ và $b$ ($a \geq b$) đều không chia hết cho $5$. Chứng minh rằng $a^4-b^4$ $\vdots$ $5$.

Vì 1 số chính phương khi chia cho 5 chỉ có 3 trường hợp là chia hết, dư 1 và dư 6
Mà a và b không chia hết cho 5 ; a và b bình đẳng nên $a^{4}$ và $b^{4}$ khi chia cho 5 luôn có 2 trường hợp
+) TH1: $a^{4}\equiv 1(mod5);b^{4}\equiv 1(mod5)\Rightarrow (a^{4}-b^{4})\vdots 5$
+) TH2: $a^{4}\equiv 1(mod5); b^{4}\equiv 6(mod5)\Rightarrow a^{4}-b^{4}\vdots 5$
Vậy...............

[Kwon Simonster]

Đề thi HSG cấp huyện Tiền Giang năm 1998-1999

Bài 2 : Tìm số nguyên tố p sao cho p+10, p+14 cũng là số nguyên tố

-TH1: P=2 => loại vì P+10 va P+14 chia hết cho 2
-TH2: P=3 => P+10=3+10=13
P+14=3+14=17
Vậy P=3 thỏa mãn
-TH3: P>3, P là số nguyên tố => P không chia hết cho 3
Nếu P=3k+1 => P+14 = 3k+15 (chia hết cho 3=> loại)
Nếu P=3k+2 => P+10 = 3k+12 (Chia hết cho 3 => loại)

Ta kết luận số nguyên tố p cần tìm là 3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kwon Simonster: 16-12-2012 - 18:11

[caybutbixanh]

Đề 7. (mọi người chăm post đề đi )
Bài 1: Cm rằng
$$\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}+\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}}=1$$

Topic trầm quá , làm bài để thay đổi không khí nào
Làm từng đối tượng một :
Mẫu:$\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}+1= 1+\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{4}}=1+\frac{1+\sqrt{3}}{2}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$
Tử :$1+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$
$\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}=\frac{2+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$
Bên kia tương tự :$\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}}=\frac{2-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$
Cộng lại ta có $dpcm$

[NGUYEN MINH HIEU TKVN]

Đề 7. (mọi người chăm post đề đi )
Bài 1: Cm rằng
$$\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}+\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}}=1$$
Bài 2 giải phương trình $$x^3-x^2-x=\frac{1}{3}$$
Bài 3 Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix}
x+y=\sqrt{4z-1} & & \\
z+y=\sqrt{4x-1} & & \\
x+z=\sqrt{4y-1} & &
\end{matrix}\right.$$
Bài 4 Tìm tất cả các số năm chữ số $\overline{abcde}$ sao cho:
$$\sqrt[3]{\overline{abcde}}=\overline{ab}$$
Bài 5: DDường tròn $(O)$ nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC,CA,AB theo thứ tự $D,E,F$. Đường thẳng vuông góc với OC ở O cắt các hai cạnh CA,CB tại I và J. Một điểm P chuyển động trên cung nhỏ DE ko chứa điểm F, tiếp tuyến tại P của (O) cắt hai cạnh CA,CB lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng:
a) Góc $\widehat{MON}=\gamma=$ không đổi, hãy xác định theo $\gamma$ theo các góc của tam giác ABC.
b) 3 tam giác IMO,OMN,JON đồng dạng với nhau . Từ đó suy ra.
$$IM.JN=OI^2=OJ^2(*)$$
c) Đảo lại, nếu M và N là hai điểm thứ tự lấy trên hai đoạn thẳng CE và CD thoã mãn hệ thức $(*)$ thì MN tiếp xúc với đường tròn.

==============================
Bài 2
Ta có: $x^{3}-x^{2}-x=\frac{1}{3}$
$\Leftrightarrow x^{3}=x^{2}+x+\frac{1}{3}$
$\Leftrightarrow 3x^{3}=3x^{2}+3x+1$
$\Leftrightarrow 4x^{3}=x^{3}+3x^{2}+3x+1$
$\Leftrightarrow 4x^{3}=(x+1)^{3}$
$\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt[3]{4}-1}$
Bài 3 ( Bài này ta có thể giải bằng nhiều cách khác nhau)
nhân cả 3 phương trình trong hệ rồi cộng lại với nhau ta thu được
$(\sqrt{4x-1}-1)^{2}+(\sqrt{4y-1}-1)^{2}+(\sqrt{4z-1}-1)^{2}=0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{4x-1}-1=0 & \\ \sqrt{4y-1}-1=0& \\ \sqrt{4z-1}-1=0& \end{matrix}\right.$
=> giải nghiệm đơn giản
Đối với bài này ta cũng có thể chứng minh $x=y=z$
==============
Bài 4
$\overline{abcde}=\overline{ab}^{3} \Leftrightarrow \overline{ab}.1000+\overline{cde}=\overline{ab^{3}}$
$\Leftrightarrow \overline{cde}=(\overline{ab^{2}}-1000).\overline{ab}$ (1)
vì $(\overline{ab^{2}}-1000).\overline{ab}\geq 0$
$\rightarrow \overline{ab}(\overline{ab^{3}}-1000)\geq 0$
$\Leftrightarrow \overline{ab}\geq 32$
Nếu $\overline{ab}\geq 33$
vì (1) là hàm đồng biến thay x=33 thì thấy (1) lớn hón 1000. Do đó mà nếu x>33 thì cũng lơn hơn 1000 mà VT <1000( vô lý)
vậy số ab là 32

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGUYEN MINH HIEU TKVN: 03-01-2013 - 07:36

[caybutbixanh]

==============================
Bài 4
$\overline{abcde}=\overline{ab}^{3} \Leftrightarrow \overline{ab}.1000+\overline{cde}=\overline{ab^{3}}$
$\Leftrightarrow \overline{cde}=(\overline{ab^{2}}-1000).\overline{ab}$
vì $(\overline{ab^{2}}-1000).\overline{ab}\geq 0$
$\rightarrow \overline{ab}(\overline{ab^{3}}-1000)\geq 0$
$\Leftrightarrow \overline{ab}\geq 32$
Nếu $\overline{ab}\geq 33$ thay vào thì thấy VT lớn hơn 1000(vô lý)
vậy số ab là 32

Đoạn màu đỏ nghĩa là sao ? Tìm trọn vẹn cả 5 chữ số mà.

[caybutbixanh]

Đề thi HSG cấp huyện Tiền Giang năm 1998-1999

Bài 1 :

2) Cho $B=(\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1})(\frac{1-x}{\sqrt{2}})^2$
a) Rút gọn B
b) Tìm max B

Bài 4 :
Chứng minh rằng : chân các đường thẳng vuông góc hạ từ 1 điểm bất kì thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác lên các cạnh của tam giác nằm trên 1 đường thẳng.

Bài 1 :
2,a) Biểu thức rút gọn :$B=-\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)$
b) $B=-\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)= -(\sqrt{x}-\frac{1}{2})^{2}+ \frac{1}{4}\leq \frac{1}{4}$
Dấu "="$\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caybutbixanh: 07-02-2013 - 10:24

[votanphu]

các bạn có đề thi huyện không? post lên giúp mình, mình sắp thi huyện rồi, đang tìm các đề giải, đề năm 2011-2012 hoặc 2012-2013 càng tốt
Cho mình cảm ơn trước

[votanphu]

Đề thi HSG cấp huyện Tiền Giang năm 1998-1999

Bài 2 : Tìm số nguyên tố p sao cho p+10, p+14 cũng là số nguyên tố

p=3

[caybutbixanh]

các bạn có đề thi huyện không? post lên giúp mình, mình sắp thi huyện rồi, đang tìm các đề giải, đề năm 2011-2012 hoặc 2012-2013 càng tốt
Cho mình cảm ơn trước

Bạn lục lại các đề trang trước xem có cái đề nào phù hợp không.

p=3

Lưu ý : Những bài đã có lời giải thì đừng nên post thêm lời giải thứ 2 vì gây mất thẩm mĩ cho chủ đề.

[Primary]

Thôi để mình gợi ý bài 1 câu 1:
Bình phương 2 vế của biểu thức A, sau đó chuyển về phương trình bậc 2 ẩn A, nhớ không lầm là $A=\sqrt{\sqrt{5}-1}$

[HungHuynh2508]

Bài của bạn cũng khá hay
Mình xin thêm 1 cách khá nhẹ nhàng
Ta có P = $\frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{2-x}}$ nguyên chứ gì => ${\sqrt{x}+\sqrt{2-x}}$ là Ước của 2
=> ${\sqrt{x}+\sqrt{2-x}}$ = 1 hoặc 2
giải từng truờng hợp ta có x= 1 như bạn tính
_________________
Nhắn tin : Post tiếp đi đang hay thì bỏ dở giữa chừng

Cách của bạn sai rồi , nó bảo Tìm số thực x để P nguyên
VD cho $\sqrt{x}+\sqrt{2-x}=\frac{1}{2}\Rightarrow P=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4$ là 1 số nguyên

[HungHuynh2508]

Đề 7
Bài 3
Nhân cả 2 vế của 3 phương trình cho 2 rồi cộng các vế của 3 phương trình ta đưa về dạng
$(\sqrt{4x-1}-1)^{2}+(\sqrt{4y-1}-1)^{2}+(\sqrt{4z-1}-1)^{2}$
Đến đây thì dễ rồi

[caybutbixanh]

Topic bị chìm.Rất mong mọi người tham gia xây dựng topic.
Mình đã tổng hợp các bài chưa có lời giải trong topic mong mọi người tham gia giải quyết.

ĐỀ SỐ 13

Bài 1 :(Primary)

1) Khử căn ở mẫu của biểu thức sau và rút gọn
$A=\frac{20}{3+\sqrt{5}+\sqrt{2+2\sqrt{5}}}$
2) Cho $B=(\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1})(\frac{1-x}{\sqrt{2}})^2$
a) Rút gọn B
b) Tìm max B

Bài 2 (Primary)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Qua tâm O của hình vuông dựng 1 đường thẳng tùy ý
1) Tính tổng bình phương khoảng cách từ bốn đỉnh hình vuông đến đường thẳng đó
2) Nhận xét kết quả câu 1)


Bài 3: (thanhluong)
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $x$, $y$ sao cho: $\sqrt{x}+\sqrt{y} = \sqrt{1989}$.
Đề nghị: Giải đến đáp số cuối cùng, không gợi ý.Nếu không thì nhờ mod xóa họ dùm.
Bài 4:(thanhluong)
Cho hình vuông $ABCD$ có tâm $O$, cạnh bằng $10 cm$. Gọi $I$ là một điểm bất kì nằm trên đường tròn đi qua ba điểm $A$, $O$, $D$ và ngoài hình hình vuông ($I$ không trùng với $A$ và $D$). $OI$ cắt cạnh $BC$ tại $J$. Cạnh $DK$ của hình bình hành $IJKD$ cắt $BC$ tại $E$. $EH$ là đường cao của tam giác $EKJ$.
a) Tính số đo của góc $HEK$.
b) Chứng minh rằng $IJ > 10\sqrt{2} cm$.

Bài 5 'Dung Dang Do' )
Đường tròn $(O)$ nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC,CA,AB theo thứ tự $D,E,F$. Đường thẳng vuông góc với OC ở O cắt các hai cạnh CA,CB tại I và J. Một điểm P chuyển động trên cung nhỏ DE ko chứa điểm F, tiếp tuyến tại P của (O) cắt hai cạnh CA,CB lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng:
a) Góc $\widehat{MON}=\gamma=$ không đổi, hãy xác định theo $\gamma$ theo các góc của tam giác ABC.
b) 3 tam giác IMO,OMN,JON đồng dạng với nhau . Từ đó suy ra.
$$IM.JN=OI^2=OJ^2(*)$$
c) Đảo lại, nếu M và N là hai điểm thứ tự lấy trên hai đoạn thẳng CE và CD thoã mãn hệ thức $(*)$ thì MN tiếp xúc với đường tròn.

Bài 6(Kwon Simonster'): Tìm các cạnh nguyên của tam giác vuông có số đo diện tích bằng số đo chu vi.
Bài 7 (Kwon Simonster')Tìm nghiệm nguyên của PT
xy=P(x+y) (P là số nguyên tố).
-----------------------

[Nguyen Duc Thuan]

Bài 6(Kwon Simonster'): Tìm các cạnh nguyên của tam giác vuông có số đo diện tích bằng số đo chu vi.

Đặt AB=x,AC=y,BC=z(z>y>x>0)
z²=x²+y²
$\frac{xy}{2}=x+y+z$ suy ra $z=\frac{xy}{2}-x-y$ nên => $z²=(\frac{xy}{2}-x-y)²$
$x²+y² = (\frac{xy}{2}-x-y) ²$
$\Leftrightarrow x²y² - 4x²y - 4xy² +4x² + 8xy=0$
$ \Leftrightarrow x - 4x - 4y + 8=0$
$\Leftrightarrow x(y-4) - 4y + 16 -8 =0$
$ \Leftrightarrow (x-4)(y-4)= 8.1=4.2$
Tính nghiệm xong kết hợp đk loại
=> x=6
y=8
z=10
hoặc
x=5
y=12
z=13

[caybutbixanh]

Thôi để mình gợi ý bài 1 câu 1:
Bình phương 2 vế của biểu thức A, sau đó chuyển về phương trình bậc 2 ẩn A, nhớ không lầm là $A=\sqrt{\sqrt{5}-1}$

Anh làm luôn được không ? Cả tháng rồi mà chẳng ai giải cả.

[DarkBlood]

Bài 7 (Kwon Simonster')Tìm nghiệm nguyên của PT
xy=P(x+y) (P là số nguyên tố).
-----------------------

Ta có:
$xy=p(x+y)$
$\Leftrightarrow xy=px+py$
$\Leftrightarrow (x-p)(y-p)=p^2=1.p^2=(-1)(-p^2)=p.p=(-p).(-p)$ $($Do $p$ là số nguyên tố$)$
Trường hợp 1:
$\left\{\begin{matrix} x-p=-p\\ y-p=-p \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0\\ y=0 \end{matrix}\right.$
Trường hợp 2:
$\left\{\begin{matrix} x-p=p\\ y-p=p \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2p\\ y=2p \end{matrix}\right.$
Trường hợp 3:
$\left\{\begin{matrix} x-p=1\\ y-p=p^2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1+p\\ y=p^2+p \end{matrix}\right.$
Trường hợp 4:
$\left\{\begin{matrix} x-p=p^2\\ x-p=1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=p^2+p\\ y=1+p \end{matrix}\right.$
Trường hợp 5:
$\left\{\begin{matrix} x-p=-1\\ y-p=-p^2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=p-1\\ y=p-p^2 \end{matrix}\right.$
Trường hợp 6:
$\left\{\begin{matrix} x-p=-p^2\\ y-p=-1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=p-p^2\\ y=p-1 \end{matrix}\right.$
Thử lại ta thấy các trường hợp trên đều đúng.
Vậy $\boxed{(x;y)=(0;0),(2p;2p),(1+p;p^2+p),(p^2+p;1+p),(p-1;p-p^2),(p-p^2;p-1)}$ $(p$ là số nguyên tố$).$

[Primary]

Anh làm luôn được không ? Cả tháng rồi mà chẳng ai giải cả.

Thôi được rồi, lời giải như sau:
$A=\frac{20}{3+\sqrt{5}+\sqrt{2+2\sqrt{5}}}\Leftrightarrow \sqrt{2+2\sqrt{5}}A=20-(3+\sqrt{5})A$ $ \Leftrightarrow (3+\sqrt{5})A^2-10(3+\sqrt{5})A+100=0$
$\Leftrightarrow A=5(1-\sqrt{\sqrt{5}-2})$ (Vì $A<5$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Primary: 03-02-2013 - 17:07

[caybutbixanh]

Topic bị chìm.Rất mong mọi người tham gia xây dựng topic.
Mình đã tổng hợp các bài chưa có lời giải trong topic mong mọi người tham gia giải quyết.

ĐỀ SỐ 13

Bài 5 'Dung Dang Do' )
Đường tròn $(O)$ nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC,CA,AB theo thứ tự $D,E,F$. Đường thẳng vuông góc với OC ở O cắt các hai cạnh CA,CB tại I và J. Một điểm P chuyển động trên cung nhỏ DE ko chứa điểm F, tiếp tuyến tại P của (O) cắt hai cạnh CA,CB lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng:
a) Góc $\widehat{MON}=\gamma=$ không đổi, hãy xác định theo $\gamma$ theo các góc của tam giác ABC.
b) 3 tam giác IMO,OMN,JON đồng dạng với nhau . Từ đó suy ra.
$$IM.JN=OI^2=OJ^2(*)$$
c) Đảo lại, nếu M và N là hai điểm thứ tự lấy trên hai đoạn thẳng CE và CD thoã mãn hệ thức $(*)$ thì MN tiếp xúc với đường tròn.

a)$\widehat{MON}=\frac{1}{2}.\widehat{DOE}=\frac{1}{2}.(180^{\circ}-\widehat{C})=90^{\circ}-\frac{\widehat{C}}{2}.$ Không đổi.
b) Ta có:$\Delta COI=\Delta COJ$ (cạnh huyền -góc nhọn)
$\Delta COI=\Delta COJ \Rightarrow CI=CJ\Rightarrow \Delta CIJ$ là tam giác cân.
$\Rightarrow \widehat{MIO}=\widehat{NIO}=90^{\circ}-\frac{\widehat{C}}{2}.$
Ta có :$\widehat{IMO}=\widehat{NMO},\widehat{MIO}=\widehat{MON}\\ \Rightarrow \Delta IMO\sim \Delta OMN(g-g).$
Tương tự:$\Delta JON\sim \Delta OMN(g-g).\\ \Rightarrow \Delta IMO\sim \Delta JON\sim \Delta OMN(g-g).\\ \Rightarrow \frac{IM}{OJ}=\frac{OI}{JN}\Leftrightarrow IM.JN=OI.OJ=OI^{2}=OJ^{2}.$
c,Từ $IM.IN=OI.OJ(gt),\widehat{MIO}=\widehat{MON}\\ \Rightarrow \Delta IMO\sim \Delta JON\Rightarrow \widehat{IMO}=\widehat{JON}.$
Ta có:
$\widehat{MOJ}=\widehat{NOJ}+\widehat{MON}=\widehat{OMI}+\widehat{MIO}\\ \Rightarrow \widehat{MON}=\widehat{MIO}= 90^{\circ}-\frac{\widehat{C}}{2}.$
Điều trên chứng tỏ MN tiếp xúc với $(O)$.Thật vậy ,qua $M$ kẻ tiếp tuyến $MN' \neq ME$.Khi đó theo câu a:
$\widehat{MON'}=90^{\circ}-\frac{\widehat{C}}{2}$
Điều đó chứng tỏ $N\equiv N'.$
Vậy ta có điều phải chứng minh.
----------
Vất vả cả buổi chiều..