Đến nội dung

Hình ảnh

$a^b>\frac{3^n}{n}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
tran thanh binh dv class

tran thanh binh dv class

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết
Cho 2 số nguyên dương $a>b>1$ trong đó b là một số lẻ và n là một số nguyên dương. Chứng minh nếu $b^n|a^n-1$ thì $a^b>\frac{3^n}{n}$

Hình đã gửi


#2
reddevil1998

reddevil1998

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết
Lời giải của mình:
Gọi $P$ là tập các ước của $b$ .Với $p$ thuộc $P$.Gọi $d$ là số nguyên nhỏ nhất thoả mãn $a^{d}-1\vdots p$.Ta có :$n\vdots d , p-1\vdots d$ và $n\leq v_{p}(a^{d}-1)+v_{p}(\frac{n}{d})$ .Giờ ta lại có :$b\geq \prod p>\prod d=S$ và $a^{S}-1\vdots a^{d}-1$ ,suy ra :$a^{b}>a^{S}-1\geq \prod p^{n}\prod p^{-v_{p}(n)}\geq \frac{3^{n}}{n}$ ,suy ra đpcm.

#3
barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết

Giải như sau 

Vì $b^n|a^n-1\Rightarrow a^n=kb^n+1$

Áp dụng B.Đ.T Bernouli ta có

$ a^b = (1+kb^n)^{b/n}\geq 1+\frac{kb^{n+1}}{n}>\frac{3^n}{n} $


[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#4
nguyenthehoan

nguyenthehoan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 392 Bài viết

Giải như sau 

Vì $b^n|a^n-1\Rightarrow a^n=kb^n+1$

Áp dụng B.Đ.T Bernouli ta có

$ a^b = (1+kb^n)^{b/n}\geq 1+\frac{kb^{n+1}}{n}>\frac{3^n}{n} $

Bất đẳng thức Bernouli: $(1+x)^{n}\geq 1+nx$ với $x\geq -1,n\geq 1$.

 

Nhưng $\frac{b}{n}\geq 1$???



#5
barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết

Đâu

Mình tưởng

a248be9dec5f64c2cbdcb2f04ae14ac3.png  với mọi $r>0$ và $x>-1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi barcavodich: 05-06-2013 - 14:42

[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#6
nguyenthehoan

nguyenthehoan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 392 Bài viết

Đâu

Mình tưởng

a248be9dec5f64c2cbdcb2f04ae14ac3.png  với mọi $r>0$ và $x>-1$

:lol: Đây nè bạn: $(1+2)^{\frac{1}{2}}< 1+2.\frac{1}{2}$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh