Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: Với mọi $N \in N^*$ thì ta luôn có: $\dfrac{U_n^2-1}{2}$ là một số chính phương.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
minhson95

minhson95

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 520 Bài viết
Cho dãy $(U_n)$
$\left\{\begin{matrix} U_1=3, U_2=17 \\ U_{n+2}=6U_{n+1}-U_n\end{matrix}\right.$

CMR: Với mọi $N \in N^*$ thì ta luôn có: $\dfrac{U_n^2-1}{2}$ là một số chính phương.

#2
tieulyly1995

tieulyly1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 435 Bài viết

Cho dãy $(U_n)$
$\left\{\begin{matrix} U_1=3, U_2=17 \\ U_{n+2}=6U_{n+1}-U_n\end{matrix}\right.$

CMR: Với mọi $N \in N^*$ thì ta luôn có: $\dfrac{U_n^2-1}{2}$ là một số chính phương.


:nav: Tìm công thức SHTQ:
Xét PT đặc trưng : $\lambda ^{2}-6\lambda + 1=0$
có hai nghiệm : $\lambda _{1}=3+ 2\sqrt{2} ; \lambda _{2}=3- 2\sqrt{2}$
nên $U_{n}$ có dạng :
$u_{n}= a( 3+ 2\sqrt{2})^{n}+ b( 3- 2\sqrt{2})^{n}$
Từ $u_{1 }$ và $u_{2 }$ suy ra được $a=\frac{3+ 2\sqrt{2}}{2}$ và $b=\frac{3- 2\sqrt{2}}{2}$
Ta tìm được :
$u_{n}= \frac{ 1}{2} \left [ ( 3+ 2\sqrt{2})^{n+1}+ ( 3- 2\sqrt{2})^{n+ 1 } \right ]$
:nav: c/m : Với mọi $N \in N^*$ thì ta luôn có: $\dfrac{U_n^2-1}{2}$ là một số chính phương
Ta thấy : $\left [ (3+2\sqrt{2})^{n+1} + (3-2\sqrt{2})^{n+1}\right ]^{2}= \left [ (3+2\sqrt{2})^{n+1} - (3-2\sqrt{2})^{n+1}\right ]^{2} + 4$
nên :
$\frac{1}{2}( U_{n}^{2}-1) = \frac{1}{2} \left [ \frac{(3+2\sqrt{2})^{n+1} - (3-2\sqrt{2})^{n+1}}{2}\right ]^{2}$
Áp dụng công thức Newton : $(3 \pm 2\sqrt{2})^{n+1} = M\pm N\sqrt{2}$ ( với $M,N$ nguyên dương )
Do đó : $\frac{1}{2}( U_{n}^{2}-1) = N^{2}$ là số chính phương.

#3
minhson95

minhson95

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 520 Bài viết

:nav: Tìm công thức SHTQ:
Xét PT đặc trưng : $\lambda ^{2}-6\lambda + 1=0$
có hai nghiệm : $\lambda _{1}=3+ 2\sqrt{2} ; \lambda _{2}=3- 2\sqrt{2}$
nên $U_{n}$ có dạng :
$u_{n}= a( 3+ 2\sqrt{2})^{n}+ b( 3- 2\sqrt{2})^{n}$
Từ $u_{1 }$ và $u_{2 }$ suy ra được $a=\frac{3+ 2\sqrt{2}}{2}$ và $b=\frac{3- 2\sqrt{2}}{2}$
Ta tìm được :
$u_{n}= \frac{ 1}{2} \left [ ( 3+ 2\sqrt{2})^{n+1}+ ( 3- 2\sqrt{2})^{n+ 1 } \right ]$
:nav: c/m : Với mọi $N \in N^*$ thì ta luôn có: $\dfrac{U_n^2-1}{2}$ là một số chính phương
Ta thấy : $\left [ (3+2\sqrt{2})^{n+1} + (3-2\sqrt{2})^{n+1}\right ]^{2}= \left [ (3+2\sqrt{2})^{n+1} - (3-2\sqrt{2})^{n+1}\right ]^{2} + 4$
nên :
$\frac{1}{2}( U_{n}^{2}-1) = \frac{1}{2} \left [ \frac{(3+2\sqrt{2})^{n+1} - (3-2\sqrt{2})^{n+1}}{2}\right ]^{2}$
Áp dụng công thức Newton : $(3 \pm 2\sqrt{2})^{n+1} = M\pm N\sqrt{2}$ ( với $M,N$ nguyên dương )
Do đó : $\frac{1}{2}( U_{n}^{2}-1) = N^{2}$ là số chính phương.


Giải ra $a=b=\dfrac{1}{2}$ mà. Sao bạn giải ra đc $a=\frac{3+ 2\sqrt{2}}{2}$ và $b=\frac{3- 2\sqrt{2}}{2}$ vậy.

Với lại công thức $(3 \pm 2\sqrt{2})^{n+1} = M\pm N\sqrt{2}$ ( với $M,N$ nguyên dương ) làm sao có đc.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhson95: 04-09-2012 - 09:46


#4
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Với lại công thức $(3 \pm 2\sqrt{2})^{n+1} = M\pm N\sqrt{2}$ ( với $M,N$ nguyên dương ) làm sao có đc.

Cái này chỉ cần dùng quy nạp hoặc nhị thức Newton cũng suy ra được.
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh