CMR: Với mọi $N \in N^*$ thì ta luôn có: $\dfrac{U_n^2-1}{2}$ là một số chính phương.
#1
Đã gửi 03-09-2012 - 20:37
$\left\{\begin{matrix} U_1=3, U_2=17 \\ U_{n+2}=6U_{n+1}-U_n\end{matrix}\right.$
CMR: Với mọi $N \in N^*$ thì ta luôn có: $\dfrac{U_n^2-1}{2}$ là một số chính phương.
#2
Đã gửi 03-09-2012 - 20:58
Cho dãy $(U_n)$
$\left\{\begin{matrix} U_1=3, U_2=17 \\ U_{n+2}=6U_{n+1}-U_n\end{matrix}\right.$
CMR: Với mọi $N \in N^*$ thì ta luôn có: $\dfrac{U_n^2-1}{2}$ là một số chính phương.
Tìm công thức SHTQ:
Xét PT đặc trưng : $\lambda ^{2}-6\lambda + 1=0$
có hai nghiệm : $\lambda _{1}=3+ 2\sqrt{2} ; \lambda _{2}=3- 2\sqrt{2}$
nên $U_{n}$ có dạng :
$u_{n}= a( 3+ 2\sqrt{2})^{n}+ b( 3- 2\sqrt{2})^{n}$
Từ $u_{1 }$ và $u_{2 }$ suy ra được $a=\frac{3+ 2\sqrt{2}}{2}$ và $b=\frac{3- 2\sqrt{2}}{2}$
Ta tìm được :
$u_{n}= \frac{ 1}{2} \left [ ( 3+ 2\sqrt{2})^{n+1}+ ( 3- 2\sqrt{2})^{n+ 1 } \right ]$
c/m : Với mọi $N \in N^*$ thì ta luôn có: $\dfrac{U_n^2-1}{2}$ là một số chính phương
Ta thấy : $\left [ (3+2\sqrt{2})^{n+1} + (3-2\sqrt{2})^{n+1}\right ]^{2}= \left [ (3+2\sqrt{2})^{n+1} - (3-2\sqrt{2})^{n+1}\right ]^{2} + 4$
nên :
$\frac{1}{2}( U_{n}^{2}-1) = \frac{1}{2} \left [ \frac{(3+2\sqrt{2})^{n+1} - (3-2\sqrt{2})^{n+1}}{2}\right ]^{2}$
Áp dụng công thức Newton : $(3 \pm 2\sqrt{2})^{n+1} = M\pm N\sqrt{2}$ ( với $M,N$ nguyên dương )
Do đó : $\frac{1}{2}( U_{n}^{2}-1) = N^{2}$ là số chính phương.
- perfectstrong yêu thích
#3
Đã gửi 04-09-2012 - 09:36
Tìm công thức SHTQ:
Xét PT đặc trưng : $\lambda ^{2}-6\lambda + 1=0$
có hai nghiệm : $\lambda _{1}=3+ 2\sqrt{2} ; \lambda _{2}=3- 2\sqrt{2}$
nên $U_{n}$ có dạng :
$u_{n}= a( 3+ 2\sqrt{2})^{n}+ b( 3- 2\sqrt{2})^{n}$
Từ $u_{1 }$ và $u_{2 }$ suy ra được $a=\frac{3+ 2\sqrt{2}}{2}$ và $b=\frac{3- 2\sqrt{2}}{2}$
Ta tìm được :
$u_{n}= \frac{ 1}{2} \left [ ( 3+ 2\sqrt{2})^{n+1}+ ( 3- 2\sqrt{2})^{n+ 1 } \right ]$
c/m : Với mọi $N \in N^*$ thì ta luôn có: $\dfrac{U_n^2-1}{2}$ là một số chính phương
Ta thấy : $\left [ (3+2\sqrt{2})^{n+1} + (3-2\sqrt{2})^{n+1}\right ]^{2}= \left [ (3+2\sqrt{2})^{n+1} - (3-2\sqrt{2})^{n+1}\right ]^{2} + 4$
nên :
$\frac{1}{2}( U_{n}^{2}-1) = \frac{1}{2} \left [ \frac{(3+2\sqrt{2})^{n+1} - (3-2\sqrt{2})^{n+1}}{2}\right ]^{2}$
Áp dụng công thức Newton : $(3 \pm 2\sqrt{2})^{n+1} = M\pm N\sqrt{2}$ ( với $M,N$ nguyên dương )
Do đó : $\frac{1}{2}( U_{n}^{2}-1) = N^{2}$ là số chính phương.
Giải ra $a=b=\dfrac{1}{2}$ mà. Sao bạn giải ra đc $a=\frac{3+ 2\sqrt{2}}{2}$ và $b=\frac{3- 2\sqrt{2}}{2}$ vậy.
Với lại công thức $(3 \pm 2\sqrt{2})^{n+1} = M\pm N\sqrt{2}$ ( với $M,N$ nguyên dương ) làm sao có đc.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhson95: 04-09-2012 - 09:46
#4
Đã gửi 04-09-2012 - 13:20
Cái này chỉ cần dùng quy nạp hoặc nhị thức Newton cũng suy ra được.Với lại công thức $(3 \pm 2\sqrt{2})^{n+1} = M\pm N\sqrt{2}$ ( với $M,N$ nguyên dương ) làm sao có đc.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh