bài 1 : Tìm Min P$\geq$ $\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{c+a-b}+\frac{16c}{a+b-c}$
bài 2 : Cho $\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}+\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}+\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=1$
chứng minh rằng có 2 phân số có giá trị bằng 1
bài 3 : cho các số dương a,b,c thỏa mãn: $\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}+\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}+\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}> 1$
chứng minh rằng a,b,c là số đo 3 cạnh của tam giác
bài 4 : cho a,b,c là số đo 3 cạnh của tam giác
Cm: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)$
Phần này đã:
BĐT tương đương:$a^3+b^3+c^3-3abc\geq (a-b)^2c+(b-c)^2a+(c-a)^2b\Leftrightarrow (a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)\geq \sum 2a(b-c)^2\Leftrightarrow a(b-c)^2-a[(a-b)^2+(c-a)^2]+b(c-a)^2-b[(a-b)^2+(b-c)^2]+c(a-b)^2-c[(c-a)^2+(b-c)^2]=0\Leftrightarrow -(b-c)^2(b+c-a)-(c-a)^2(a+c-b)-(a-b)^2(a+b-c)\leq 0$(Đúng theo bất đẳng thức tam giác).
Ta có đpcm
Và bài:
$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)> a^3+b^3+c^3+2abc\Leftrightarrow \sum \frac{ab^2+ac^2-a^3}{2abc} > 1\Leftrightarrow \sum \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} > 0\Leftrightarrow \frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{2abc} > 0$
Đúng theo bất đẳng thức tam giác.
Bài 2:
Biến đổi tương đương, đẳng thức trở thành $\frac{(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{2abc} = 0$
Vậy $\begin{bmatrix} a=b+c\\ b=a+c\\ c=a+b \end{bmatrix}$
Với các giá trị này thì thay vào biểu thức đề bài cho, ta có đpcm.
Dùng bài này để làm bài 2 luôn quá đơn giản rồi Ở bài 2 thì dấu "=" xảy ra nên có 3 trường hợp.Thay vào là xong.
Câu cuối cũng thế:
$\Leftrightarrow (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) > 0$
Ta có để cho điều này xảy ra thì hoặc là cả 3 lượng đều dương hoặc là có 2 lượng âm 1 lượng dương.
Nếu rơi vào trường hợp 1 thì hiển nhiên có điều phải chứng minh.
Nếu là trường hợp 2.
Do vai trò 3 lượng trên như nhau nên ta có thể:
Giả sử $a+b-c <0,b+c-a <0\Rightarrow 2b <0\Rightarrow b < 0(!!!)$
Vậy trường hợp này không xảy ra.Có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HAIBARA AI loves ZHAOYUN: 11-09-2012 - 16:56
