Đến nội dung

Hình ảnh

[MSS2013] Trận 3 - PH - Hệ PT


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 19 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả


Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 07/09/2012, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Trận 3 có 21 toán thủ tham gia nên sau trận này, 01 toán thủ ít điểm nhất sẽ bị loại.

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

3) Sau khi trận đấu kết thúc, toán thủ nào tự ý sửa bài làm của mình sẽ được 0 điểm

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
Đề trận 3: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 2y\left (x^2-y^2 \right )=3x & \\ x\left (x^2 +y^2 \right )=10y & \end{matrix}\right. $.

-MSS05 Tru09-

(Toán thủ Tru09 không phải làm bài)


Thích ngủ.


#3
daovuquang

daovuquang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết
Bài làm của daovuquang:
Dễ thấy $(x;y)=(0;0)$ là 1 nghiệm của phương trình. Mặt khác, nếu $(x;y)$ là nghiệm thì $(-x;-y)$ cũng là nghiệm. Dưới đây ta chỉ xét $x,y>0$:
Viết lại hệ: $$\left\{\begin{matrix}
2y(x^2-y^2)=3x\: (1)\\
x(x^2+y^2)=10y\: (2)
\end{matrix}\right.$$
Chia $(2)$ cho $(1)$: $\frac{2y(x^2-y^2)}{x(x^2+y^2)}=\frac{3x}{10y} (3)$.
Đặt $\frac{x}{y}=a \Rightarrow a>0$. Nhận thấy: $\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{\frac{x^2}{y^2}-1}{\frac{x^2}{y^2}+1}=\frac{a^2-1}{a^2+1}$.
Suy ra $(3)\Leftrightarrow \frac{2(a^2-1)}{a(a^2+1)}=\frac{3a}{10}$
$\Leftrightarrow 20(a^2-1)=3a^2(a^2+1)$
$\Leftrightarrow 3a^4-17a^2+20=0$
$\Leftrightarrow (a-2)(a+2)(3a^2-5)=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
a=2\\
a=-2 (L)\\
a=\sqrt{\frac{5}{3}}\\
a=-\sqrt{\frac{5}{3}} (L)
\end{bmatrix}$
Xét 2 TH:
TH1: $a=2$ hay $x=2y:$
Thay vào pt $(1)$, ta được: $2y(4y^2-y^2)=6y$
$\Leftrightarrow y^2=1$
$\Leftrightarrow y=1$.
Suy ra $(x;y)=(2;1);(-2;-1)$ (nếu $(x;y)$ là nghiệm thì $(-x;-y)$ cũng là nghiệm)
TH2: $a=\sqrt{\frac{5}{3}}$ hay $x=\sqrt{\frac{5}{3}}y$:
Thay vào pt $(1)$, ta được: $2y(\frac{5}{3}y^2-y^2)=3\sqrt{\frac{5}{3}}y$
$\Leftrightarrow \frac{4}{3}y^2=3\sqrt{\frac{5}{3}}$
$\Leftrightarrow y=\frac{\sqrt[4]{375}}{2}.$
$\Rightarrow x=\frac{\sqrt[4]{135}}{2}.$
Suy ra $(x;y)=(\frac{\sqrt[4]{135}}{2}; \frac{\sqrt[4]{375}}{2});(-\frac{\sqrt[4]{135}}{2};- \frac{\sqrt[4]{375}}{2})$.
Kết luận: $(x;y)=(0;0);(2;1);(-2;-1);(\frac{\sqrt[4]{135}}{2}; \frac{\sqrt[4]{375}}{2});(-\frac{\sqrt[4]{135}}{2};- \frac{\sqrt[4]{375}}{2}).$

Bài làm lại trường hợp 2:

Em xin phép làm lại TH2:
$a=\sqrt{\frac{5}{3}}$ hay $x=\sqrt{\frac{5}{3}}y:$
Thay vào pt $(1)$, ta được: $2y(\frac{5}{3}y^2-y^2)=3\sqrt{\frac{5}{3}}y$
$\Leftrightarrow \frac{4}{3}y^2=3\sqrt{\frac{5}{3}}$
$\Leftrightarrow y=\frac{\sqrt[4]{135}}{2}$
$\Rightarrow x=\frac{\sqrt[4]{375}}{2}$.
Suy ra $(x;y)=(\frac{\sqrt[4]{375}}{2};\frac{\sqrt[4]{135}}{2});(-\frac{\sqrt[4]{375}}{2};-\frac{\sqrt[4]{135}}{2})$.
Kết luận: $(x;y)=(0;0);(2;1);(-2;-1);(\frac{\sqrt[4]{375}}{2};\frac{\sqrt[4]{135}}{2});(-\frac{\sqrt[4]{375}}{2};-\frac{\sqrt[4]{135}}{2})$.

----
Điểm bài làm: 10
Tổng điểm: $S=52-(21-20)+3.10+10+0=91$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 13-09-2012 - 12:29


#4
thanhluong

thanhluong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết
$\left\{\begin{matrix} 2y\left (x^2-y^2 \right )=3x & \\ x\left (x^2 +y^2 \right )=10y & \end{matrix}\right.$ $(*)$

Nếu $x=0$, từ $(*)$ ta có $10y=0 \Leftrightarrow y=0$. Nên hệ $(*)$ có nghiệm $x=y=0$

Nếu $xy \neq 0$, đặt $y=ax$, thì $a \neq 0$. Hệ $(*)$ được viết lại thành:

$\left\{\begin{matrix} 2ax\left (x^2-a^2x^2 \right )=3x (1) & \\ x\left (x^2 +a^2x^2 \right )=10ax (2) & \end{matrix}\right.$

Lần lượt chia cả hai vế của $(1)$ và $(2)$ cho $x \neq 0$, ta được hệ:

$\left\{\begin{matrix} 2ax^2\left (1-a^2 \right )=3 (3) & \\ x^2\left (1 +a^2 \right )=10ax^2 (4) &\end{matrix}\right.$
Từ $(4)$ suy ra $a > 0$, chia cả hai vế của $(3)$ cho $(4)$, ta được:
$$\frac{2a(1-a^2)}{(1+a^2)}=\frac{3}{10a}$$.
$$\Leftrightarrow 20a^2(1-a^2)=3(1+a^2)$$.
$$\Leftrightarrow 20a^2-20a^4=3+3a^2$$.
$$\Leftrightarrow 20a^4-17a^2+3=0$$.
$$\Leftrightarrow 20a^4-5a^2-12a^2+3=0$$.
$$\Leftrightarrow 5a^2(4a^2-1)-3(4a^2-1)=0$$.
$$\Leftrightarrow (4a^2-1)(5a^2-3)=0$$.

$\Leftrightarrow 4a^2-1=0$ hoặc $5a^2-3=0$.
$ \Leftrightarrow a^2=\frac{1}{4}$ hoặc $a^2=\frac{3}{5}$.
$\Leftrightarrow a=\pm \frac{1}{2}$ hoặc $a=\pm \sqrt{\frac{3}{5}}$.
Mà $a > 0$ nên $a=\frac{1}{2}$ hoặc $a=\sqrt{\frac{3}{5}}$.
Trường hợp 1: $a=\frac{1}{2}$
Suy ra $y=2x$. Thay vào $(*)$ ta tính được:
$x=\pm 2$; $y=\pm 1$

Trường hợp 2 :$a=\sqrt{\frac{3}{5}}$
Suy ra $y=\sqrt{\frac{3}{5}}x$
Thay vào hệ $(*)$, ta tính được:
$x=\pm\frac{5}{2}\sqrt[4]\frac{3}{5}$ và $y=\pm\frac{3}{2}\sqrt[4]{\frac{5}{3}}$.
Vậy: Hệ phương trình $(*)$ $5$ cặp nghiệm:
$(x,y) \in \{(0,0); (2,1); (-2,-1); (\frac{5}{2}\sqrt[4]{\frac{3}{5}}, \frac{3}{2}\sqrt[4]{\frac{5}{3}}); (-\frac{5}{2}\sqrt[4]{\frac{3}{5}}, -\frac{3}{2}\sqrt[4]{\frac{5}{3}}) \}$.
----
Điểm bài làm: 10
Tổng điểm: $S=52-(21-20)+3.10+0+0=81$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 10-09-2012 - 22:19

Đổi mới là điều tạo ra sự khác biệt giữa người lãnh đạo và kẻ phục tùng.


STEVE JOBS


#5
thanhluong

thanhluong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết
$\left\{\begin{matrix} 2y\left (x^2-y^2 \right )=3x & \\ x\left (x^2 +y^2 \right )=10y & \end{matrix}\right.$ $(*)$

Nếu $x=0$, từ $(*)$ ta có $10y=0 \Leftrightarrow y=0$. Nên hệ $(*)$ có nghiệm $x=y=0$

Nếu $xy \neq 0$, đặt $y=ax$, thì $a \neq 0$. Hệ $(*)$ được viết lại thành:

$\left\{\begin{matrix} 2ax\left (x^2-a^2x^2 \right )=3x (1) & \\ x\left (x^2 +a^2x^2 \right )=10ax (2) & \end{matrix}\right.$

Lần lượt chia cả hai vế của $(1)$ và $(2)$ cho $x \neq 0$, ta được hệ:

$\left\{\begin{matrix} 2ax^2\left (1-a^2 \right )=3 (3) & \\ x^2\left (1 +a^2 \right )=10ax^2 (4) &\end{matrix}\right.$
Từ $(4)$ suy ra $a > 0$, chia cả hai vế của $(3)$ cho $(4)$, ta được:
$$\frac{2a(1-a^2)}{(1+a^2)}=\frac{3}{10a}$$.
$$\Leftrightarrow 20a^2(1-a^2)=3(1+a^2)$$.
$$\Leftrightarrow 20a^2-20a^4=3+3a^2$$.
$$\Leftrightarrow 20a^4-17a^2+3=0$$.
$$\Leftrightarrow 20a^4-5a^2-12a^2+3=0$$.
$$\Leftrightarrow 5a^2(4a^2-1)-3(4a^2-1)=0$$.
$$\Leftrightarrow (4a^2-1)(5a^2-3)=0$$.

$\Leftrightarrow 4a^2-1=0$ hoặc $5a^2-3=0$.
$ \Leftrightarrow a^2=\frac{1}{4}$ hoặc $a^2=\frac{3}{5}$.
$\Leftrightarrow a=\pm \frac{1}{2}$ hoặc $a=\pm \sqrt{\frac{3}{5}}$.
Mà $a > 0$ nên $a=\frac{1}{2}$ hoặc $a=\sqrt{\frac{3}{5}}$.
Trường hợp 1: $a=\frac{1}{2}$
Suy ra $y=2x$. Thay vào $(*)$ ta tính được:
$x=\pm 2$; $y=\pm 1$

Trường hợp 2 :$a=\sqrt{\frac{3}{5}}$
Suy ra $y=\sqrt{\frac{3}{5}}x$
Thay vào hệ $(*)$, ta tính được:
$x=\pm\frac{5}{2}\sqrt[4]\frac{3}{5}$ và $y=\pm\frac{3}{2}\sqrt[4]{\frac{5}{3}}$.
Vậy: Hệ phương trình $(*)$ $5$ cặp nghiệm:
$(x,y) \in \{(0,0); (2,1); (-2,-1); (\frac{5}{2}\sqrt[4]{\frac{3}{5}}, \frac{3}{2}\sqrt[4]{\frac{5}{3}}); (-\frac{5}{2}\sqrt[4]{\frac{3}{5}}, -\frac{3}{2}\sqrt[4]{\frac{5}{3}}) \}$.

Đổi mới là điều tạo ra sự khác biệt giữa người lãnh đạo và kẻ phục tùng.


STEVE JOBS


#6
daovuquang

daovuquang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết
Em xin phép làm lại TH2:
$a=\sqrt{\frac{5}{3}}$ hay $x=\sqrt{\frac{5}{3}}y:$
Thay vào pt $(1)$, ta được: $2y(\frac{5}{3}y^2-y^2)=3\sqrt{\frac{5}{3}}y$
$\Leftrightarrow \frac{4}{3}y^2=3\sqrt{\frac{5}{3}}$
$\Leftrightarrow y=\frac{\sqrt[4]{135}}{2}$
$\Rightarrow x=\frac{\sqrt[4]{375}}{2}$.
Suy ra $(x;y)=(\frac{\sqrt[4]{375}}{2};\frac{\sqrt[4]{135}}{2});(-\frac{\sqrt[4]{375}}{2};-\frac{\sqrt[4]{135}}{2})$.
Kết luận: $(x;y)=(0;0);(2;1);(-2;-1);(\frac{\sqrt[4]{375}}{2};\frac{\sqrt[4]{135}}{2});(-\frac{\sqrt[4]{375}}{2};-\frac{\sqrt[4]{135}}{2})$.

#7
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
Bài làm của MSS01 - BlackSelena:
$\left\{\begin{matrix} 2y\left (x^2-y^2 \right )=3x (1) & \\ x\left (x^2 +y^2 \right )=10y (2)& \end{matrix}\right.$
Từ $(2)$ ta có $x,y$ cùng dấu.
Xét $x =0 \Rightarrow y = 0$
Xét $x=y$, từ $(1)$ ta có $x = 0 \Rightarrow y = 0$
Xét trường hợp, $x,y \neq 0$

Pt $(1)$ tương đương $2y^2(x^2-y^2) = 3xy$
Pt $(2)$ tương đương $x^2(x^2+y^2) = 10xy$
Lấy $(1) : (2)$, ta có:
$\frac{2y^2(x^2-y^2)}{x^2(x^2+y^2)} = \frac{3}{10}$

$\Leftrightarrow 17x^2y^2 - 20y^4 = 3x^4$ (*)
Vì $x \neq 0$ nên $(*) \Leftrightarrow \frac{17y^2}{x^2} - \frac{20y^4}{x^4} = 3$
Đặt $a = \frac{y^2}{x^2} (a > 0)$,

$(*) \Leftrightarrow 17a - 20a^2 =3$
$\Leftrightarrow (a- \frac{1}{4})( a - \frac{3}{5} ) = 0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a = 0.5\\ a = \frac{3}{5} \end{bmatrix}$

TH1: $y^2 = \frac{x^2}{4} \Rightarrow y = \frac{x}{2}$
Thay vào pt $(1)$, ta có:
$x(x^2 - \frac{x^2}{4}) = 3x$

$\Leftrightarrow x^2 = 4$
$\Leftrightarrow x = \pm 2$
$\Rightarrow y = \pm 1$
TH2: $y^2 = \frac{3}{5}x^2 \Rightarrow y = \sqrt{\frac{3}{5}}x^2$

Thay vào pt $(1)$, ta có:
$\sqrt{\frac{3}{5}}x ( x^2 - \frac{3x^2}{5} ) = 3x$

$\Leftrightarrow \frac{2x^2}{5}. \sqrt{\frac{3}{5}} = 3$
$\Leftrightarrow x^2 = 5\sqrt{15}$
$\Leftrightarrow x = \pm \sqrt[4]{\frac{375}{2}}$
$\Rightarrow y = \pm \sqrt[4]{\frac{135}{2}}$
$\boxed{\text{Kết luận}} (x,y) = (0,0) ; (2,1) ; (-2,-1) ; (\sqrt[4]{\frac{375}{2}},\sqrt[4]{\frac{135}{2}}) ; (-\sqrt[4]{\frac{375}{2}} ,-\sqrt[4]{\frac{135}{2}}).$

----
Điểm bài làm: 10
Tổng điểm: $S=52-(22-20)+3.10+0+0=80$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 10-09-2012 - 22:24


#8
mathnam

mathnam

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 24 Bài viết
*Nhân theo từng vế ta được:
2xy(x4-y4)=30xy (1)
ta thấy rằng :(x;y)=(0,0)là nghiệm của HPT (I)
Nếu x và y khác 0 thì
(1)<=>x4-y4=15(2)
*Nhân chéo ta có:
3x2 (x2 +y2)=20y2(x2 -y2)
$\Leftrightarrow 3x^{4} - 17x^{2}y^{2}+20y^{4}=0
\Leftrightarrow (3x^{2}-5y^{2})(x^{2}-4y^{2})=0$
TH1:3x2=5y2
$\Rightarrow x^{2}=\frac{5y^{2}}{3}$
(2)$\Rightarrow$$\frac{25y^{4}}{9}-y^{4}=15
\Leftrightarrow \frac{16y^{4}}{9}=15
\Leftrightarrow y^{4}=\frac{135}{16} ; x^{4}=\frac{105}{16}
\Rightarrow y=\pm \sqrt[4]{\frac{135}{16}};x=\pm \sqrt[4]{\frac{105}{16}}$ (II)
TH2:x2=4y2

$(2)$\Rightarrow$$16y^{4}-y^{4}=15 \Leftrightarrow y^{4}=1

\Leftrightarrow y=\pm 1 \Rightarrow x=\pm 1$ (III)

(I)(II)(III)$\Rightarrow$(x;y)=(0;0),(\pm \sqrt[4]{\frac{105}{16}};\pm \sqrt[4]{\frac{135}{16}}),(y=\pm 1;x=\pm 1)

:ph34r: **==
----
Trường hợp 2 sai $\LaTeX$, chú ý không đưa các icon không cần thiết vào bài làm
Điểm bài làm: 7
Tổng điểm: $=52-(22-20)+3.7+0+0=71$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 13-09-2012 - 12:47

HỌC! HỌC NỮA! HỌC MÃI!$\sum$

#9
nguoihungthamlang98

nguoihungthamlang98

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết
Bài làm của MSS02:
$\left\{\begin{matrix} 2y\left (x^2-y^2 \right )=3x & \\ x\left (x^2 +y^2 \right )=10y & \end{matrix}\right.$
Nếu $x=0$ dẫn đến $y=0$.Hệ có nghiệm $(0;0)$
Tương tự với $y=0$ dẫn đến $x=0$ Hệ có nghiệm $(0;0)$
Với $x,y \neq 0$ ta có hệ tương đương $\left\{\begin{matrix} 2y(x^2-y^2)=3x \\ 20y^2(x^2-y^2)=3x^2(x^2-y^2) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2y(x^2-y^2)=3x \\ 3x^4+20y^4-23x^2y^2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2y(x^2-y^2)=3x \\ (x^2-y^2)(3x^2-20y^2)=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2-y^2=0 \\ 3x^2=20y^2 \end{matrix}\right.$
Trường hợp $x^2-y^2=0$ hiển nhiên loại vì lúc đó thay vào PT đầu sẽ có $x=0$ Không thỏa Th đang xét.
Vậy $3x^2=20y^2\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\sqrt{\frac{20}{3}}y(1) \\ x=-\sqrt{\frac{20}{3}}y(2) \end{bmatrix}$
Xét TH (1).
Thay vào PT thứ 2 của hệ ban đầu.CHia 2 vế cho $y$.Ta được
$\frac{23\sqrt{20}}{3}y^2=10\Leftrightarrow y^2=\frac{3\sqrt{15}}{23}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=\frac{60\sqrt{15}}{69} \\ y^2=\frac{3\sqrt{15}}{23} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\frac{60\sqrt{15}}{69}} \\ y=\sqrt{\frac{3\sqrt{15}}{23}} \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix}x=-\sqrt{\frac{60\sqrt{15}}{69}} \\ y=\sqrt{\frac{3\sqrt{15}}{23}} \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=-\sqrt{\frac{60\sqrt{15}}{69}} \\ y=-\sqrt{\frac{3\sqrt{15}}{23}} \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\frac{60\sqrt{15}}{69}} \\y=-\sqrt{\frac{3\sqrt{15}}{23}} \end{matrix}\right. \end{bmatrix}$
Vậy hệ có các nghiệm trên(Chỗ này em xin lỗi) vì quá dào nên em xin không viết lại.
Xét TH (2):Thay vào ta thấy $VT < 0$,$ VP >0$ nên Hệ vô nghiệm
Kết luận : Hệ có các nghiệm $\begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\frac{60\sqrt{15}}{69}} \\ y=\sqrt{\frac{3\sqrt{15}}{23}} \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix}x=-\sqrt{\frac{60\sqrt{15}}{69}} \\ y=\sqrt{\frac{3\sqrt{15}}{23}} \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=-\sqrt{\frac{60\sqrt{15}}{69}} \\ y=-\sqrt{\frac{3\sqrt{15}}{23}} \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\frac{60\sqrt{15}}{69}} \\y=-\sqrt{\frac{3\sqrt{15}}{23}} \end{matrix}\right. \end{bmatrix}$ và $(0;0)$
----
Chỉ có một cặp nghiệm $(0;0)$ là đúng còn các cặp nghiệm khác bị sai, phương trình còn có cặp nghiệm đẹp như $(2;1)$,...
Điểm bài làm: 6
Tổng điểm: $S=52-(22-20)+3.6+0+0=68$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 13-09-2012 - 12:43


#10
LuongDucTuanDat

LuongDucTuanDat

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết
Ta có
$\left\{\begin{matrix} 2y\left (x^2-y^2 \right )=3x(1) & \\ x\left (x^2 +y^2 \right )=10y(2) & \end{matrix}\right. $.


Dễ dàng nhận thấy $(0,0)$ là nghiệm của hệ phương trình.

Xét với $(x,y) \neq (0,0)$ :

Ta lấy về $(1)$ chia cho vế $(2)$ sẽ được:
$\dfrac{2y(x^2-y^2)}{x(x^2+y^2)}=\dfrac{3x}{10y}$

$\Leftrightarrow 20y^2(x^2-y^2)=3x^2(x^2+y^2)$
$\Leftrightarrow 3x^4+20y^4-17x^2y^2=0$

Đặt $x^2=a;y^2=b$, ta có:
$3a^2+20b^2-17ab=0$
$\Leftrightarrow 3a^2-12ab-5ab+20b^2=0$
$\Leftrightarrow (3a-5b)(a-4b)=0$
$\Leftrightarrow 3a=5b$ hoặc $a=4b$
$\Leftrightarrow 3x^2=5y^2$ hoặc $x^2=4y^2$
$\leftrightarrow |x|=|\sqrt{\dfrac{5}{3}}y|$ hoặc $|x|=|2y|$

Mặt khác: Ta thấy ở $(2)$ thì $x,y$ luôn phải cùng dấu


$\rightarrow
x=2y$
hoặc$
x=\sqrt{\dfrac{5}{3}}y
$

+) thay $x=2y$ vào $(1)$ ta được $6y^3=6y \rightarrow$ tìm được các cặp giá trị $(-2;-1);(2;1)$.

Ta tìm được các cặp giá trị $(x,y)$ là $(0,0);(-2,-1);(2,1)$.
----
Thiếu hai cặp nghiệm.
Điểm bài làm: 7
Tổng điểm: $=52-(22-20)+3.7+0+0=71$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 13-09-2012 - 12:32

If we only do things that anyone can do it but we just have things that everyone has


#11
lth080998

lth080998

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 43 Bài viết
Từ già thiết$\Rightarrow 2y(x^2-y^2).10y=x(x^2+y^2).3x$
$\Leftrightarrow 20x^2y^2-20y^4=3x^4+3x^2y^2$
$\Leftrightarrow 3x^4-17x^2y^2+20y^4=0$
$\Leftrightarrow (x^2-4y^2).(3x^2-5y^2)=0$(1)
Từ giả thiết suy ra x,y cùng dấu(do $x^2+y^2\geqslant 0$ với mọi x,y)(2)
(1)(2)$\Rightarrow x=2y(3)hay x=\sqrt{\frac{5}{3}}y(4)$
(3)$\Rightarrow 2y.(4y^2-y^2)=3.2y$
$\Rightarrow 6y^3=6y\Rightarrow 6y(y-1)(y+1)=0\Rightarrow y=0,x=0hay y=1,x=2 hay y=-1,x=-2(5)$
$(4)\Rightarrow 2y.(\frac{5}{3}y^2-y^2)=3.\sqrt{\frac{5}{3}}y\Rightarrow y =\sqrt{15}.3:4,x=\sqrt{\frac{5}{3}}yạinhưng thế vào bài không thoả nên loại
vay (x,y)=(0;0)(1;2)(-1;-2)
----
Sai $\LaTeX$, thiếu nghiệm.
Điểm bài làm: 5
Tổng điểm: $=52-(36-20)+3.5+0+0=51$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 13-09-2012 - 12:35


#12
minhhieukaka

minhhieukaka

    Binh nhất

  • Pre-Member
  • 34 Bài viết
Mình chém thẳng bài này
Xét x = 0 thì y = 0 => x=y=0 là một nghiệm của phương trình
Xét x, y khác 0 có :
$\left\{\begin{matrix} 2y(x^{2}-y^{2})=3x & (1)\\ x(x^{2}+y^{2})=10y& (2) \end{matrix}\right.$
nhân (1) với (2) có $2xy(x^{4}-y^{4})= 30xy$ => $x^{4}-y^{4}= 15$ (***)
ta lại có:nhân (1) với y ; nhân (2) với x ta có
hệ phương trình <=> $\left\{\begin{matrix} 2x^{2}y^{2}-2y^{4}=3xy & \\ x^{4}+x^{2}y^{2}=10xy& \end{matrix}\right.$ <=>$\left\{\begin{matrix} 2x^{2}y^{2}-2y^{4}=3xy & \\ 2x^{4}+2x^{2}y^{2}=20xy& \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix} 2x^{2}y^{2}-2y^{4}=3xy & \\ 4x^{2}y^{2}- 23xy + 2(x^{4}-y^{4})=0& \end{matrix}\right.$
thế x$x^{4}-y^{4}=15$ vào hệ phuơng trình trên ta được $\left\{\begin{matrix} 2x^{2}y^{2}-2y^{4}=3xy & \\ 4x^{2}y^{2}-23xy +30=0& \end{matrix}\right.$
giải phươnng trình bậc hai ẩn xy dưới ta được xy = 3.75(*) hoặc xy = 2(**)
từ (*) => x= $\frac{3.75}{y}$ thế vào (***) ta được $\frac{3.75^{4}}{y^{4}}-y^{4}=15$ => $y^{8}+ 15y^{4}-3.75^{4}=0$
Đặt a = y$y^{4}$ (a>=0) => phương trình thành $a^{2}+15a -3.75^{4}=0$
giải phương trình bậc hai trên ta được a=$\frac{135}{16}$ (thoả mãn) hoặc a = $\frac{-375}{16}$ ( vô lý vì a>=0)
=> y= $\pm$$\sqrt[4]{\frac{135}{16}}$ => x=$\frac{3.75}{\pm \sqrt[4]{\frac{135}{16}}}$
tương tự với xy=2 => y = $\pm 1$ =>x=$\pm 2$
vậy bài toàn trên có tất cả 4 nghiệm tất cả
----
Điểm bài làm: 10
Tổng điểm: $S=52-(41-20)+3.10+0+0=61$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 13-09-2012 - 12:27

@@@@@
Hãy cố gắng lên Minhhieukaka!!!

#13
daovuquang

daovuquang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết
Mở rộng 1: Ta sẽ thêm các hằng số $\alpha$, $\beta$ vào phương trình. Giải hệ pt với $\alpha, \beta$ cùng dấu: $\left\{\begin{matrix}
2\alpha y(x^2-y^2)=3\beta x\; (1)\\
\alpha x(x^2+y^2)=10\beta y\; (2)
\end{matrix}\right.$
Lời giải:
Thấy (x;y)=(0;0) là nghiệm và $x,y$ không thể trái dấu. Mặt khác, nếu $(x;y)$ là nghiệm thì $(-x;-y)$ cũng là nghiệm. Dưới đây ta xét $x,y>0$:
Chia $(1)$ cho $(2)$, ta được: $\frac{2y(x^2-y^2)}{x(x^2+y^2)}=\frac{3x}{10y}\; (3)$.
Đặt $\frac{x}{y}=a\; (a>0)$ thì $(3)\Leftrightarrow \frac{2(a^2-1)}{a(a^2+1)}=\frac{3a}{10}$
$\Leftrightarrow 3a^4-17a^2+20=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
a=2\\
a=-2\; (L)\\
a=\sqrt{\frac{5}{3}}\\
a=-\sqrt{\frac{5}{3}}\; (L)
\end{bmatrix}$.
TH1: $a=2$ hay $x=2y$:
Thay vào $(1)$ được: $2\alpha y(4y^2-y^2)=3\beta.2y$
$\Leftrightarrow y^2=\frac{\beta}{\alpha}$
$\Leftrightarrow y=\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}$
$\Rightarrow x=2\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}$.
Thử vào $(2)$ thấy đúng.
Suy ra $(x;y)=( 2\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}};\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}});( -2\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}};-\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}})$.
TH2: $a=\sqrt{\frac{5}{3}}$ hay $x=\sqrt{\frac{5}{3}}y$:
Thay vào $(1)$ được: $2\alpha y(\frac{5}{3}y^2-y^2)=3\beta.\sqrt{\frac{5}{3}}y$
$\Leftrightarrow y^2=\frac{\sqrt{375}\beta}{4\alpha}$
$\Leftrightarrow y=\sqrt[4]{\frac{135\beta^2}{16\alpha^2}}$
$\Rightarrow x=\sqrt[4]{\frac{375\beta^2}{16\alpha^2}}$.
Thử vào $(2)$ thấy đúng.
Suy ra $(x;y)=(\sqrt[4]{\frac{375\beta^2}{16\alpha^2}};\sqrt[4]{\frac{135\beta^2}{16\alpha^2}});(-\sqrt[4]{\frac{375\beta^2}{16\alpha^2}};-\sqrt[4]{\frac{135\beta^2}{16\alpha^2}})$.
Kết luận: $(x;y)=(0;0);( 2\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}};\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}});( -2\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}};-\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}});(\sqrt[4]{\frac{375\beta^2}{16\alpha^2}};\sqrt[4]{\frac{135\beta^2}{16\alpha^2}});(-\sqrt[4]{\frac{375\beta^2}{16\alpha^2}};-\sqrt[4]{\frac{135\beta^2}{16\alpha^2}})$.

#14
caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết

Đề trận 3: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 2y\left (x^2-y^2 \right )=3x (1)& \\ x\left (x^2 +y^2 \right )=10y (2)& \end{matrix}\right. $.

-MSS05 Tru09-

(Toán thủ Tru09 không phải làm bài)

Dễ thấy (x;y)=(0;0) là một nghiêm của phương trình
Xét x$\neq $0;y$\neq$0
(1) <=>$y=\frac{3x}{2(x^{2}-y^{2})}=\frac{1,5x}{x^{2}-y^{2}}$
thay vào (2) ta có :
$x(x^{2}+y^{2})=10\frac{1,5x}{x^{2}-y^{2}} <=> x(x^{4}-y^{4})=15x <=> x^{4}-y^{4}=15 <=>(x-y)(x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3})= 15= 1.15=3.5=15.1=5.3$
(vì $x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}\geq 0$)
<=>$\left\{\begin{matrix} x-y=1 & \\ x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=15& \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x-y=3 & \\ x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=5& \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x-y=15 & \\ x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=1 & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x-y=5 & \\ x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=3& \end{matrix}\right.$
giải các hệ phương trình trên ta được hệ đầu có nghiêm là (x;y)=(2;1)
Vậy của bài toán (x;y)={(0;0);(2;1)}
Xin lỗi trọng tài lần sau em sẽ post nhanh hơn
----
Nếu $x=y$ thì em có chia được không? Thiếu nghiệm nữa.
Điểm bài làm: 4
Tổng điểm: $S=52-(51-20)+3.4+0+0=33$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 13-09-2012 - 12:40

KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#15
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau.4
Toán thủ nào tự ý sửa bài làm của mình sẽ được 0 điểm

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#16
mathnam

mathnam

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 24 Bài viết
Em xin loi vì danh sai latex o TH2
TH2
có nghiệm là x=2;-2 và y=1;-1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathnam: 10-09-2012 - 12:28

HỌC! HỌC NỮA! HỌC MÃI!$\sum$

#17
thanhluong

thanhluong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết
Em xin lỗi, mạng em hình như có vấn đề nên nó gửi bài làm đến 2 lần, nhờ các anh quản lý xoá hộ ạ. Lần sau em sẽ cẩn thận hơn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhluong: 10-09-2012 - 14:28

Đổi mới là điều tạo ra sự khác biệt giữa người lãnh đạo và kẻ phục tùng.


STEVE JOBS


#18
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
Đã chấm xong MSS trận 3, xin lỗi các bạn vì chấm trễ quá và lần này mình không tổng hợp lại được, bạn nào có ý kiến về điểm thì hỏi nhé, hạn chót là hôm nay.

Thích ngủ.


#19
caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết
Nhận xét của trọng tài rất hay, lần sau em sẽ sửa chữa

KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#20
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Điểm ra đề:
D = 4x1 + 2x11 + 2x2 = 30

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh