Chủ đề này có 49 trả lời

[NGOCTIEN_A1_DQH]

sao trận này lâu có kết quả vậy nhỉ?

[CD13]

Xin lỗi các em vì BGK bận quá nên giờ mới có KQ. Lượt 4 hy vọng mọi việc nhanh hơn!

[sogenlun]

Hic. Kết quả ở đâu vậy ạ

[minh29995]

Sao trận này toán thủ ra đề BoFake không được điểm nhỉ??

[hoangtrong2305]

Xét bất đẳng thức $a^{4}\geq a$

$\Leftrightarrow a^{4}-a\geq 0$

$\Leftrightarrow a(a-1)(a^{2}+a+1)\geq 0(*)$

Do $\left\{\begin{matrix} a\geq 0\\ a^{2}+a+1> 0 \end{matrix}\right.$ nên để $(*)$ đúng $\Leftrightarrow a\geq 1$

Vậy bất đẳng thức $a^{4}\geq a$ đúng $\Leftrightarrow a\geq 1$ (đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a= 1$)

Khi đó ta có, với $a,b,c$ dương thì: $a^{4}+b+c\geq a+b+c$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a^{4}+b+c}\leq \frac{1}{a+b+c}$ (Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=1$)

Với $a=1$ thì $a+b+c+1=4abc\Leftrightarrow b+c+2=4bc$

Theo $AM-GM$, ta có $b+c+2\geq 2\sqrt{bc}+2$ (đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow b=c$)

$\Leftrightarrow 4bc\geq 2\sqrt{bc}+2$ $(**)$

Đặt $t=\sqrt{bc};t\geq 0$

$(**)\Leftrightarrow 4t^{2}-2t-2\geq 0$

$\Rightarrow t\geq 1$

$\Leftrightarrow b=c=1$

Vậy tóm lại, với $b+c+2=4bc$ thì ta có $b+c+2\leq 2\sqrt{bc}+2$ (đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow b=c=1$)

Với $a+b+c+1=4abc$ thì $ \frac{1}{a^{4}+b+c}\leq \frac{1}{a+b+c}$ (Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$) $(x)$

Chứng minh tương tự, ta có:

$ \frac{1}{a+b^{4}+c}\leq \frac{1}{a+b+c}$ (Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$) $(y)$

$ \frac{1}{a+b+c^{4}}\leq \frac{1}{a+b+c}$ (Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$) $(z)$

Lấy $(x)+(y)+(z)\Leftrightarrow \frac{1}{a^{4}+b+c}+\frac{1}{b^{4}+c+a}+\frac{1}{c^{4}+a+b}\leq \frac{3}{a+b+c}$ (Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$)

Điểm bài 10
S = 50 + 3x10 + 0 + 0 = 80


Theo CD13 thì bài này không được 10 điểm: Lí do rất đơn giản là em đã tự xét $a^4 \ge a$ để dẫn đến $a\ge 1$, thiếu trường hợp còn lại $a^4<a$.
BGK nên xem lại kĩ bài này, bài này CD13 cho 4 điểm!

Cho em xin phúc khảo lại bài của em, như thầy CD13 nói (và bản thân em cũng cố tình không đề cập đến khi làm bài) là em thiếu trường hợp còn lại là $a^4<a$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 22-09-2012 - 17:10

[chagtraife]

hihi, cho em hỏi bài cái!
bài này giải sai mà!

Bài giải
Theo bất đẳng thức AM-GM cho 4 số dương, ta có: $a+b+c+1\geq 4\sqrt[4]{abc}$
$\Rightarrow 4abc\geq 4\sqrt[4]{abc}$
$\Rightarrow a^4b^4c^4\geq abc$
$\Rightarrow a^3b^3c^3\geq 1$
$\Rightarrow abc\geq 1$

Bất đẳng thức phải chứng minh: $\frac{1}{a^4+b+c}+\frac{1}{b^4+c+a}+\frac{1}{c^4+a+b}\leq \frac{3}{a+b+c}$
$\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{a^4+b+c}-1+\frac{a+b+c}{b^4+c+a}-1+\frac{a+b+c}{c^4+a+b}-1\leq 0$
$\Leftrightarrow \frac{a-a^4}{a^4+b+c}+\frac{b-b^4}{b^4+c+a}+\frac{c-c^4}{c^4+a+b}\leq 0$

Ta có: $a^4+b+c\geq 3\sqrt[3]{a^3.abc}\geq 3a$ (Vì $abc\geq1$)
$\Rightarrow \frac{a-a^4}{a^4+b+c}\leq \frac{a-a^4}{3a}=\frac{1-a^3}{3}$
Tương tự: $\frac{b-b^4}{b^4+c+a}\leq\frac{1-b^3}{3}$
$\frac{c-c^4}{c^4+a+b}\leq\frac{1-c^3}{3}$
$\Rightarrow \frac{a-a^4}{a^4+b+c}+\frac{b-b^4}{b^4+c+a}+\frac{c-c^4}{c^4+a+b}\leq \frac{1-a^3}{3}+\frac{1-b^3}{3}+\frac{1-c^3}{3}$
Theo bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương, ta có: $a^3+b^3+c^3\geq 3abc\geq 3$ (Vì $abc\geq 1$)
$\Rightarrow (1-a^3)+(1-b^3)+(1-c^3)\leq 0$
$\Rightarrow \frac{1-a^3}{3}+\frac{1-b^3}{3}+\frac{1-c^3}{3}\leq 0$
Do đó: $\frac{a-a^4}{a^4+b+c}+\frac{b-b^4}{b^4+c+a}+\frac{c-c^4}{c^4+a+b}\leq 0$
Từ đó, ta có: $\frac{1}{a^4+b+c}+\frac{1}{b^4+c+a}+\frac{1}{c^4+a+b}\leq \frac{3}{a+b+c}$

10 điểm

S = 8 + 3x10 + 0 + 0 = 38

[namcpnh]

hihi, cho em hỏi bài cái!
bài này giải sai mà!

Sai ở đâu vậy bạn?Mình thấy đúng mà.

[ElenaIP97]

Ta có: $a^4+b+c\geq 3\sqrt[3]{a^3.abc}\geq 3a$ (Vì $abc\geq1$)
$\Rightarrow \frac{a-a^4}{a^4+b+c}\leq \frac{a-a^4}{3a}=\frac{1-a^3}{3}$

Sai ở đây này bạn. nếu $a^4>a$ thì dấu BĐT phải đổi chiều

[chagtraife]

hihi,mình cũng ra tới đây rồi ...bí! nên hơi bức xúc!!hihi

[CD13]

Ồ, xin lỗi CD13 đã không thấy chỗ này! E.Galois có thể điều chỉnh lại số điểm của thí sinh ElenaIP97 từ 10 điểm thành............4 điểm được không ạ!
Xin lỗi vì có sự sai sót này, (phát hiện ra chỗ này của Trọng mà không thấy ở đây!)