[MHS2013] Trận 3 - Hàm số - cực trị - bất đẳng thức
#41
Đã gửi 12-09-2012 - 21:16
Mong rằng toán học bớt khô khan
Em ơi trong toán nhiều công thức
Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn
#42
Đã gửi 21-09-2012 - 17:13
#43
Đã gửi 21-09-2012 - 21:23
#44
Đã gửi 22-09-2012 - 12:35
#45
Đã gửi 22-09-2012 - 17:10
Xét bất đẳng thức $a^{4}\geq a$
$\Leftrightarrow a^{4}-a\geq 0$
$\Leftrightarrow a(a-1)(a^{2}+a+1)\geq 0(*)$
Do $\left\{\begin{matrix} a\geq 0\\ a^{2}+a+1> 0 \end{matrix}\right.$ nên để $(*)$ đúng $\Leftrightarrow a\geq 1$
Vậy bất đẳng thức $a^{4}\geq a$ đúng $\Leftrightarrow a\geq 1$ (đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a= 1$)
Khi đó ta có, với $a,b,c$ dương thì: $a^{4}+b+c\geq a+b+c$
$\Leftrightarrow \frac{1}{a^{4}+b+c}\leq \frac{1}{a+b+c}$ (Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=1$)
Với $a=1$ thì $a+b+c+1=4abc\Leftrightarrow b+c+2=4bc$
Theo $AM-GM$, ta có $b+c+2\geq 2\sqrt{bc}+2$ (đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow b=c$)
$\Leftrightarrow 4bc\geq 2\sqrt{bc}+2$ $(**)$
Đặt $t=\sqrt{bc};t\geq 0$
$(**)\Leftrightarrow 4t^{2}-2t-2\geq 0$
$\Rightarrow t\geq 1$
$\Leftrightarrow b=c=1$
Vậy tóm lại, với $b+c+2=4bc$ thì ta có $b+c+2\leq 2\sqrt{bc}+2$ (đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow b=c=1$)
Với $a+b+c+1=4abc$ thì $ \frac{1}{a^{4}+b+c}\leq \frac{1}{a+b+c}$ (Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$) $(x)$
Chứng minh tương tự, ta có:
$ \frac{1}{a+b^{4}+c}\leq \frac{1}{a+b+c}$ (Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$) $(y)$
$ \frac{1}{a+b+c^{4}}\leq \frac{1}{a+b+c}$ (Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$) $(z)$
Lấy $(x)+(y)+(z)\Leftrightarrow \frac{1}{a^{4}+b+c}+\frac{1}{b^{4}+c+a}+\frac{1}{c^{4}+a+b}\leq \frac{3}{a+b+c}$ (Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$)
Điểm bài 10
S = 50 + 3x10 + 0 + 0 = 80
Theo CD13 thì bài này không được 10 điểm: Lí do rất đơn giản là em đã tự xét $a^4 \ge a$ để dẫn đến $a\ge 1$, thiếu trường hợp còn lại $a^4<a$.
BGK nên xem lại kĩ bài này, bài này CD13 cho 4 điểm!
Cho em xin phúc khảo lại bài của em, như thầy CD13 nói (và bản thân em cũng cố tình không đề cập đến khi làm bài) là em thiếu trường hợp còn lại là $a^4<a$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 22-09-2012 - 17:10
Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.
Albert Einstein
(1879-1955)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?
và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống
#46
Đã gửi 22-09-2012 - 18:40
bài này giải sai mà!
Bài giải
Theo bất đẳng thức AM-GM cho 4 số dương, ta có: $a+b+c+1\geq 4\sqrt[4]{abc}$
$\Rightarrow 4abc\geq 4\sqrt[4]{abc}$
$\Rightarrow a^4b^4c^4\geq abc$
$\Rightarrow a^3b^3c^3\geq 1$
$\Rightarrow abc\geq 1$
Bất đẳng thức phải chứng minh: $\frac{1}{a^4+b+c}+\frac{1}{b^4+c+a}+\frac{1}{c^4+a+b}\leq \frac{3}{a+b+c}$
$\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{a^4+b+c}-1+\frac{a+b+c}{b^4+c+a}-1+\frac{a+b+c}{c^4+a+b}-1\leq 0$
$\Leftrightarrow \frac{a-a^4}{a^4+b+c}+\frac{b-b^4}{b^4+c+a}+\frac{c-c^4}{c^4+a+b}\leq 0$
Ta có: $a^4+b+c\geq 3\sqrt[3]{a^3.abc}\geq 3a$ (Vì $abc\geq1$)
$\Rightarrow \frac{a-a^4}{a^4+b+c}\leq \frac{a-a^4}{3a}=\frac{1-a^3}{3}$
Tương tự: $\frac{b-b^4}{b^4+c+a}\leq\frac{1-b^3}{3}$
$\frac{c-c^4}{c^4+a+b}\leq\frac{1-c^3}{3}$
$\Rightarrow \frac{a-a^4}{a^4+b+c}+\frac{b-b^4}{b^4+c+a}+\frac{c-c^4}{c^4+a+b}\leq \frac{1-a^3}{3}+\frac{1-b^3}{3}+\frac{1-c^3}{3}$
Theo bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương, ta có: $a^3+b^3+c^3\geq 3abc\geq 3$ (Vì $abc\geq 1$)
$\Rightarrow (1-a^3)+(1-b^3)+(1-c^3)\leq 0$
$\Rightarrow \frac{1-a^3}{3}+\frac{1-b^3}{3}+\frac{1-c^3}{3}\leq 0$
Do đó: $\frac{a-a^4}{a^4+b+c}+\frac{b-b^4}{b^4+c+a}+\frac{c-c^4}{c^4+a+b}\leq 0$
Từ đó, ta có: $\frac{1}{a^4+b+c}+\frac{1}{b^4+c+a}+\frac{1}{c^4+a+b}\leq \frac{3}{a+b+c}$
10 điểm
S = 8 + 3x10 + 0 + 0 = 38
#47
Đã gửi 22-09-2012 - 18:43
hihi, cho em hỏi bài cái!
bài này giải sai mà!
Sai ở đâu vậy bạn?Mình thấy đúng mà.
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#48
Đã gửi 22-09-2012 - 22:41
Sai ở đây này bạn. nếu $a^4>a$ thì dấu BĐT phải đổi chiềuTa có: $a^4+b+c\geq 3\sqrt[3]{a^3.abc}\geq 3a$ (Vì $abc\geq1$)
$\Rightarrow \frac{a-a^4}{a^4+b+c}\leq \frac{a-a^4}{3a}=\frac{1-a^3}{3}$
#49
Đã gửi 22-09-2012 - 23:21
#50
Đã gửi 23-09-2012 - 11:30
Xin lỗi vì có sự sai sót này, (phát hiện ra chỗ này của Trọng mà không thấy ở đây!)
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh