South Africa National Olympiad 2012
#1
Đã gửi 08-09-2012 - 16:53
$$ \frac{1+3+5+\cdots+(2n-1)}{2+4+6+\cdots+(2n)}=\frac{2011}{2012} $$
Hãy xác định $n$
Câu 2. Cho hình vuông $ABCD$, gọi $X$ là điểm sao cho $A$ và $X$ nằm về hai phía khác nhau của $CD$. Các đường thẳng $AX$ và $BX$ cắt $CD$ lần lượt ở $Y$ và $Z$. Biết diện tích của hình vuông $ABCD$ là $1$ và diện tích của tam giác $XYZ$ là $\frac{2}{3}$, hãy xác định độ dài $YZ$
Câu 3. Có $60$ điểm, trong đó $30$ điểm màu đỏ,$20$ điểm màu xanh dương và $10$ điểm màu xanh lá cây, được đánh dấu trên một đường tròn. Những điểm này phân chia vòng tròn thành $60$ cung. Mỗi cung được gán một số theo các màu sắc của các điểm đầu cuối của nó.
Một cung giữa một điểm màu đỏ và một điểm màu xanh lá cây được gán một số $1$
Một cung giữa một điểm màu đỏ và một điểm màu xanh dương được gán một số $2$,
Một cung giữa một điểm màu xanh dương và một điểm màu xanh lá cây được phân công một số $3$.
Các cung giữa hai điểm cùng màu được gán một con số $0$.
Giá trị lớn nhất có thể của tổng tất cả các số gán cho các cung là bao nhiêu?
Câu 4. Giả sử $p,k$ là hai số nguyên dương sao cho $p$ là số nguyên tố và $k>1$. Chứng minh rằng có nhiều nhất 1 cặp số nguyên dương $(x,y)$ sao cho: $x^k+px=y^k$
Câu 5. Cho tam giác $ABC$ có $AB\neq AC$, $H$ là trực tâm, $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp và $D$ là trung điểm $BC$. Phần kéo dài của $HD$ và $AO$ cắt nhau tại $P$. Chứng minh rằng hai tam giác $AHP$ và $ABC$ có cùng trọng tâm
Câu 6. Tìm tất cả các hàm số: $ f:\mathbb{N}\to\mathbb{R} $ thỏa mãn:
$$ f(km)+f(kn)-f(k)f(mn)\ge 1 , \forall k, m, n \in \mathbb{N} $$
Dịch từ http://www.artofprob...d=33&year=2012
- perfectstrong, namcpnh, funcalys và 4 người khác yêu thích
1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn
5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.
#2
Đã gửi 08-09-2012 - 17:14
Ít nhất mình cũng làm được câu 1:Câu 1. Biết rằng
$$ \frac{1+3+5+\cdots+(2n-1)}{2+4+6+\cdots+(2n)}=\frac{2011}{2012} $$
Hãy xác định $n$
Dùng công thức của Gauss ta có:
$1+3+5+...+2n-1=\frac{(2n-1+1)(n)}{2}=n^2$
$2+4+6+...+2n=\frac{(2n+2)n}{2}=n^2+n$
Vậy Phương trình đã cho trở thành:
$\frac{n^2}{n^2+n}=\frac{2011}{2012}\Leftrightarrow \frac{n}{n+1}=\frac{2011}{2012}\Leftrightarrow 2012n=2011n+2011\Leftrightarrow n=2011(Q.E.D)$
- namcpnh và BlackSelena thích
TRIETHUYNHMATH
___________________________
08/12/1997
#3
Đã gửi 08-09-2012 - 17:30
Trời không tin được.Sao bài hình lại quen thuộc thế nàyCâu 5. Cho tam giác $ABC$ có $AB\neq AC$, $H$ là trực tâm, $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp và $D$ là trung điểm $BC$. Phần kéo dài của $HD$ và $AO$ cắt nhau tại $P$. Chứng minh rằng hai tam giác $AHP$ và $ABC$ có cùng trọng tâm
Dịch từ http://www.artofprob....d=33&year=2012
Ta có:
Gọi giao điểm OA với (O) ngoại tiếp tam giác ABC là P' (P' khác A).Vậy AP' là đường kính
Ta có: Dễ dàng chứng minh $BHCP'$ là hbh.Vậy nên $HP'$ cắt $BC$ tại trung điểm mỗi đường.Mà $D$ là trung điểm $BC$ nên $H,P',D$ thẳng hàng và $D$ cũng là trung điểm $HP'$.Vậy $P'$ là giao điểm $HD$ với $OA$ hay $ P \equiv P'$.Vậy Tam giác $ABC$ và tam giác $APH$ có cùng trung tuyến $AD$ xuất phát từ đỉnh $A( D$ là trung điểm $BC$ là $PH$) nên 2 tam giác $ABC$ và $APH$ có cùng trọng tâm $(Q.E.D)$
- namcpnh và BlackSelena thích
TRIETHUYNHMATH
___________________________
08/12/1997
#4
Đã gửi 08-09-2012 - 18:03
^^~Câu 6. Tìm tất cả các hàm số: $ f:\mathbb{N}\to\mathbb{R} $ thỏa mãn:
$$ f(km)+f(kn)-f(k)f(mn)\ge 1 , \forall k, m, n \in \mathbb{N} (*)$$
-Lấy $m=n=k=0$:
$(*)\Rightarrow f(0)^2-2f(0)+1 \leq 0 \Rightarrow f(0)=1$
-Lấy $m=n=k=1$
$(*)\Rightarrow f(1)^2-2f(1)+1 \leq 0 \Rightarrow f(1)=1$
-Lấy $m=n=0$ và $k\in N$
$(*)\Rightarrow f(k)\leq 1$ Hay $f(x)\leq 1 \forall x\in N(2)$
-Lấy $m=0$ ;$k=1$ và $n\in N$
$(*)\Rightarrow f(n) \geq f(1)=1$ Hay $f(x)\geq 1 \forall x\in N(1)$
Từ $(1)$ và $(2)$, ta có: $f(x)=1$
- perfectstrong và BoFaKe thích
#5
Đã gửi 08-09-2012 - 19:26
Lời giải khác cho câu 5:Câu 5. Cho tam giác $ABC$ có $AB\neq AC$, $H$ là trực tâm, $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp và $D$ là trung điểm $BC$. Phần kéo dài của $HD$ và $AO$ cắt nhau tại $P$. Chứng minh rằng hai tam giác $AHP$ và $ABC$ có cùng trọng tâm
Dễ CM A;O;P thẳng hàng và tứ giác BHCP là Hình bình hành
Xét tam giác AHP và tam giác ABC ta có
Vecto AA + Vecto HB + Vecto PC = Vecto 0
=> 2 tam giác AHP và tam giác ABC có cùng trọng tâm.
sao ko ai giải hết nữa vậy.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 10-09-2012 - 17:46
- BoFaKe yêu thích
#6
Đã gửi 19-09-2012 - 11:55
$S_{ABCD}=1\Leftrightarrow AB=BC=CD=DA=1$Câu 2. Cho hình vuông $ABCD$, gọi $X$ là điểm sao cho $A$ và $X$ nằm về hai phía khác nhau của $CD$. Các đường thẳng $AX$ và $BX$ cắt $CD$ lần lượt ở $Y$ và $Z$. Biết diện tích của hình vuông $ABCD$ là $1$ và diện tích của tam giác $XYZ$ là $\frac{2}{3}$, hãy xác định độ dài $YZ$
http://diendan.hocma...=171054&page=13
-Dựa vào các cặp tam giác đồng dạng ta có:
$$\dfrac{S_{XHY}}{S_{ADY}}=\dfrac{S_{XHZ}}{S_{BZC}}=\dfrac{HX^2}{AD^2}\\ \Rightarrow HX^2=\dfrac{S_{XHY}+S_{XHZ}}{S_{ADY}+S_{BZC}}=\dfrac{S_{XYZ}}{1-S_{ABZY}}=\dfrac{\dfrac{2}{3}}{1-\dfrac{1+YZ}{2}}\\ \Rightarrow \dfrac{HX^2(1-YZ)}{2}=\dfrac{2}{3}\\\Leftrightarrow \dfrac{HX^2}{2}-HX.\dfrac{HX.YZ}{2}-\dfrac{2}{3}=0\\ \Leftrightarrow \dfrac{HX^2}{2}-HX.\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}=0\\ \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}HX=2 \text{(True)}\\ HX=-\dfrac{2}{3} \text{(False)}\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow YZ=\dfrac{2}{3}\ \square$$
- perfectstrong và HÀ QUỐC ĐẠT thích
#7
Đã gửi 28-11-2012 - 16:17
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh