Chủ đề này có 6 trả lời

[E. Galois]

Câu 1. Biết rằng
$$ \frac{1+3+5+\cdots+(2n-1)}{2+4+6+\cdots+(2n)}=\frac{2011}{2012} $$
Hãy xác định $n$

Câu 2. Cho hình vuông $ABCD$, gọi $X$ là điểm sao cho $A$ và $X$ nằm về hai phía khác nhau của $CD$. Các đường thẳng $AX$ và $BX$ cắt $CD$ lần lượt ở $Y$ và $Z$. Biết diện tích của hình vuông $ABCD$ là $1$ và diện tích của tam giác $XYZ$ là $\frac{2}{3}$, hãy xác định độ dài $YZ$

Câu 3. Có $60$ điểm, trong đó $30$ điểm màu đỏ,$20$ điểm màu xanh dương và $10$ điểm màu xanh lá cây, được đánh dấu trên một đường tròn. Những điểm này phân chia vòng tròn thành $60$ cung. Mỗi cung được gán một số theo các màu sắc của các điểm đầu cuối của nó.
Một cung giữa một điểm màu đỏ và một điểm màu xanh lá cây được gán một số $1$
Một cung giữa một điểm màu đỏ và một điểm màu xanh dương được gán một số $2$,
Một cung giữa một điểm màu xanh dương và một điểm màu xanh lá cây được phân công một số $3$.
Các cung giữa hai điểm cùng màu được gán một con số $0$.
Giá trị lớn nhất có thể của tổng tất cả các số gán cho các cung là bao nhiêu?

Câu 4. Giả sử $p,k$ là hai số nguyên dương sao cho $p$ là số nguyên tố và $k>1$. Chứng minh rằng có nhiều nhất 1 cặp số nguyên dương $(x,y)$ sao cho: $x^k+px=y^k$

Câu 5. Cho tam giác $ABC$ có $AB\neq AC$, $H$ là trực tâm, $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp và $D$ là trung điểm $BC$. Phần kéo dài của $HD$ và $AO$ cắt nhau tại $P$. Chứng minh rằng hai tam giác $AHP$ và $ABC$ có cùng trọng tâm

Câu 6. Tìm tất cả các hàm số: $ f:\mathbb{N}\to\mathbb{R} $ thỏa mãn:
$$ f(km)+f(kn)-f(k)f(mn)\ge 1 , \forall k, m, n \in \mathbb{N} $$

Dịch từ http://www.artofprob...d=33&year=2012

[triethuynhmath]

Câu 1. Biết rằng
$$ \frac{1+3+5+\cdots+(2n-1)}{2+4+6+\cdots+(2n)}=\frac{2011}{2012} $$
Hãy xác định $n$

Ít nhất mình cũng làm được câu 1:
Dùng công thức của Gauss ta có:
$1+3+5+...+2n-1=\frac{(2n-1+1)(n)}{2}=n^2$
$2+4+6+...+2n=\frac{(2n+2)n}{2}=n^2+n$
Vậy Phương trình đã cho trở thành:
$\frac{n^2}{n^2+n}=\frac{2011}{2012}\Leftrightarrow \frac{n}{n+1}=\frac{2011}{2012}\Leftrightarrow 2012n=2011n+2011\Leftrightarrow n=2011(Q.E.D)$

[triethuynhmath]

Câu 5. Cho tam giác $ABC$ có $AB\neq AC$, $H$ là trực tâm, $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp và $D$ là trung điểm $BC$. Phần kéo dài của $HD$ và $AO$ cắt nhau tại $P$. Chứng minh rằng hai tam giác $AHP$ và $ABC$ có cùng trọng tâm

Dịch từ http://www.artofprob....d=33&year=2012

Trời không tin được.Sao bài hình lại quen thuộc thế này
Ta có:
Gọi giao điểm OA với (O) ngoại tiếp tam giác ABC là P' (P' khác A).Vậy AP' là đường kính
Ta có: Dễ dàng chứng minh $BHCP'$ là hbh.Vậy nên $HP'$ cắt $BC$ tại trung điểm mỗi đường.Mà $D$ là trung điểm $BC$ nên $H,P',D$ thẳng hàng và $D$ cũng là trung điểm $HP'$.Vậy $P'$ là giao điểm $HD$ với $OA$ hay $ P \equiv P'$.Vậy Tam giác $ABC$ và tam giác $APH$ có cùng trung tuyến $AD$ xuất phát từ đỉnh $A( D$ là trung điểm $BC$ là $PH$) nên 2 tam giác $ABC$ và $APH$ có cùng trọng tâm $(Q.E.D)$

[robin997]

Câu 6. Tìm tất cả các hàm số: $ f:\mathbb{N}\to\mathbb{R} $ thỏa mãn:
$$ f(km)+f(kn)-f(k)f(mn)\ge 1 , \forall k, m, n \in \mathbb{N} (*)$$

^^~
-Lấy $m=n=k=0$:
$(*)\Rightarrow f(0)^2-2f(0)+1 \leq 0 \Rightarrow f(0)=1$
-Lấy $m=n=k=1$
$(*)\Rightarrow f(1)^2-2f(1)+1 \leq 0 \Rightarrow f(1)=1$
-Lấy $m=n=0$ và $k\in N$
$(*)\Rightarrow f(k)\leq 1$ Hay $f(x)\leq 1 \forall x\in N(2)$
-Lấy $m=0$ ;$k=1$ và $n\in N$
$(*)\Rightarrow f(n) \geq f(1)=1$ Hay $f(x)\geq 1 \forall x\in N(1)$
Từ $(1)$ và $(2)$, ta có: $f(x)=1$

[nghiakvnvsdt]

Câu 5. Cho tam giác $ABC$ có $AB\neq AC$, $H$ là trực tâm, $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp và $D$ là trung điểm $BC$. Phần kéo dài của $HD$ và $AO$ cắt nhau tại $P$. Chứng minh rằng hai tam giác $AHP$ và $ABC$ có cùng trọng tâm

Lời giải khác cho câu 5:

Dễ CM A;O;P thẳng hàng và tứ giác BHCP là Hình bình hành
Xét tam giác AHP và tam giác ABC ta có
Vecto AA + Vecto HB + Vecto PC = Vecto 0
=> 2 tam giác AHP và tam giác ABC có cùng trọng tâm.

sao ko ai giải hết nữa vậy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 10-09-2012 - 17:46

[minhtuyb]

Câu 2. Cho hình vuông $ABCD$, gọi $X$ là điểm sao cho $A$ và $X$ nằm về hai phía khác nhau của $CD$. Các đường thẳng $AX$ và $BX$ cắt $CD$ lần lượt ở $Y$ và $Z$. Biết diện tích của hình vuông $ABCD$ là $1$ và diện tích của tam giác $XYZ$ là $\frac{2}{3}$, hãy xác định độ dài $YZ$

http://diendan.hocma...=171054&page=13

$S_{ABCD}=1\Leftrightarrow AB=BC=CD=DA=1$
-Dựa vào các cặp tam giác đồng dạng ta có:
$$\dfrac{S_{XHY}}{S_{ADY}}=\dfrac{S_{XHZ}}{S_{BZC}}=\dfrac{HX^2}{AD^2}\\ \Rightarrow HX^2=\dfrac{S_{XHY}+S_{XHZ}}{S_{ADY}+S_{BZC}}=\dfrac{S_{XYZ}}{1-S_{ABZY}}=\dfrac{\dfrac{2}{3}}{1-\dfrac{1+YZ}{2}}\\ \Rightarrow \dfrac{HX^2(1-YZ)}{2}=\dfrac{2}{3}\\\Leftrightarrow \dfrac{HX^2}{2}-HX.\dfrac{HX.YZ}{2}-\dfrac{2}{3}=0\\ \Leftrightarrow \dfrac{HX^2}{2}-HX.\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}=0\\ \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}HX=2 \text{(True)}\\ HX=-\dfrac{2}{3} \text{(False)}\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow YZ=\dfrac{2}{3}\ \square$$

[LeLinh97]

co ai giai bai 4 ko .minh dang rat can dap an bai nay