Đến nội dung

Hình ảnh

$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n-1+x_{k}} \ge \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+S-x_{k}}$$

* * * * * 1 Bình chọn bđt 4.

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
Có lẽ đối với các bạn yêu thích BĐT thì bài toán sau sẽ là quá quen thuộc:
Bài toán 1: Cho $a,b,c>0$ có tích bằng 1.Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2} \ge \frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}$$
Lời giải dành cho bài toán 1 phải nói là rất nhiều,ấn tượng nhất là lời giải bằng cách cổ điển.
Và thật tình cờ,mình đã đọc được 1 bài toán cũng có hình thức giống hệt nhưng chỉ sai khác về mặt giả thuyết:
Bài toán 2: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn:$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=a+b+c$.Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2} \ge \frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}$$
Sau đây là tổng quát cho bài toán 2:
Tổng quát: Cho $x_1;x_2;...x_{n}>0$ thỏa mãn:$S=\sum_{k=1}^{n}x_{k}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}}$.Chứng minh rằng:
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n-1+x_{k}} \ge \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+S-x_{k}}$$
Vậy thực ra giữa 2 giả thuyết của 2 bài toán trên có liên hệ gì mà lại cho ra cùng 1 BĐT ? và liệu ta có thể tổng quát bài toán 1 theo hướng của bài toán 2 được hay không ? Mong nhận được đóng góp và ý kiến từ các bạn :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 08-09-2012 - 19:45

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Bài toán 1: Cho $a,b,c>0$ có tích bằng 1.Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2} \ge \frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}$$

Anh Phúc ơi anh có thể trình bày cách cổ điển đó ra được không ạ :) Em chỉ biết 1 cách rất rất rất rất là trâu bò:
Đặt $a+b+c=p\geq 3,ab+bc+ca=q\geq 3,abc=r=1$ thì ta có:
$$VT=\frac{12+4p+q}{9+4p+2q}$$
Và $$VP=\frac{p^2+4p+q+3}{p^2+2p+pq+q}$$
Vậy ta cần chứng minh
$$\frac{12+4p+q}{9+4p+2q}\geq \frac{p^2+4p+q+3}{p^2+2p+pq+q}$$
$$\Leftrightarrow (3q-5)p^2+(p-1)q^2+6pq\geq 24p+3q+27$$
Nhưng do $p,q\geq 3$ do $VT=(3q-5)p^2+(p-1)q^2+6pq\geq 4p^2+2q^2+6pq\geq 12p+6(q-1)p+6p+2q^2$
$$\geq 24p+3q+q^2+6p\geq VP$$
Vậy ta có ĐPCM. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#3
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
Bài 1 có thể xem ở đây :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 10-09-2012 - 07:03

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#4
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
Mình đã tình cờ đọc được một bài toán liên quan đến bài toán 2 ở trên,mong các bạn tham khảo :D
Bài toán 3 Cho $a_1;a_2;...;a_{n}>0$ thỏa mãn:
$$a_1+a_2+...+a_{n}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{n}}$$
Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{n-1+x_1}+\frac{1}{n-1+x_2}+...+\frac{1}{n-1+x_{n}} \le 1$$
Lời giải dành cho bài toán này là sử dụng phương pháp phản chứng.
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt 4.

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh