Chủ đề này có 1 trả lời

[nucnt772]

BÀI TOÁN: Tìm tất cả các số thực $r\neq 1$ sao cho $r^{\frac{1}{r-1}}$ là số hữu tỉ.

[WhjteShadow]

BÀI TOÁN: Tìm tất cả các số thực $r\neq 1$ sao cho $r^{\frac{1}{r-1}}$ là số hữu tỉ.

Hình như bạn nhầm đề ? Bài này mình đã thấy trên mathlinks 1 lần và đề là $r$ hữu tỉ dương, nếu là số thực thì bài này quá khó @-)

Nếu là số hữu tỉ dương thì ta làm như sau:

Đặt $r=\frac{p}{q}$ ($p,q\in \mathbb{Z}^{+}$) ta có phương trình:

$$\left(\frac{p}{q}\right)^{q}=\left(\frac{a}{b}\right)^{p-q}$$

Với $(p;q)=(a;b)=1$. Mặt khác ta có $(p-q;q)=1$ nên $a=c^{q},b=d^{q}$, suy ra: $\frac{p}{q}=\left(\frac{c}{d}\right)^{p-q}$.

$\bullet$ Nếu $p>q$ ta có $p=c^{n},q=d^{n}$, và $n=c^{n}-d^{n}$ với $n=p-q$. Nhưng :

$$c^{n}\geq (d+1)^{n}\geq d^{n}+n$$

Nên suy ra $p=q+1$, $r=\frac{q+1}{q}$.

$\bullet$ Nếu $p<q$ thì tương tự ta có $r=\frac{q}{q+1}$

Vậy tóm lại $\boxed{r=\left(\frac{q+1}{q};\frac{q}{q+1}\right)}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 21-03-2013 - 22:48