Để mở đầu, mình xin được giới thiệu với các bạn một số bài toán
Bài 1.[ Thi thử lầ 4 THPT chuyên Lê Hồng Phong- Nam Định]
Cho các số thực $a,b,c$ thoả mãn $0<a,b,c\leq 1$. Chứng minh rằng
$$\left (1+\dfrac{1}{abc}\right )(a+b+c) \ge 3+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$$
Em xin mở màn t0pic ạ
Dự đoán dấu bằng xảy ra tại $a=b=c=1$ và mặt khác ta lại có giả thiết $0<a,b,c\leq 1$.Vì vậy $\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\geq 1$
Hay ta có:
$$\left(\frac{1}{a}-1\right).\left(\frac{1}{b}-1\right)+\left(\frac{1}{b}-1\right).\left(\frac{1}{c}-1\right)+\left(\frac{1}{c}-1\right).\left(\frac{1}{a}-1\right)\geq 0$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+3\geq 2.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$$
$$\Leftrightarrow a+b+c+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq 2.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+a+b+c-3\,\,\,(*)$$
Mà mặt khác the0 bất đẳng thức $AM-GM$ ta có: $\frac{1}{a}+a+\frac{1}{b}+b+\frac{1}{c}+c\geq 2+2+2=6$
Vậy nên $2.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+a+b+c-3\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+3\,\,\,\,\,(**)$
Từ $(*)$ và $(**)$ chúng ta có:
$$a+b+c+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+3$$
$$\Leftrightarrow \left(1+\frac{1}{abc}\right)(a+b+c)\geq 3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$
Vậy ta có Điều phải chứng minh.Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$ $\square$
Chia sẻ 1 chút:Em cũng rất m0ng 1 t0pic được lập ra đúng mục đích của những bạn THPT ham mê bất đẳng thức và những bạn học sinh đang ôn thi ĐH thế này.Những bài toán không quá khó,ý tưởng tr0ng sáng và phù hợp với bất đẳng thức thi ĐH hiện nay.Từ lâu việc làm bất đẳng thức đã được coi là "chơi" bởi vì độ đẹp và khó của nó.Các bạn có thể xem những bài đăng tr0ng ngay b0x BĐT THPT này.Rất nhiều bài phải dùng S.O.S,VornicuSchur,p q r....Những kiến thức đó quá xa với việc thi Đại học và thường làm hoang mang các bạn mới học bất đẳng thức.Phải chăng mọi người đang tự khen,tự sướng với những bài đó mà quên đi mục đích THPT học BĐT là để thi ĐH.......
Chúc t0pic thành công
Bài 3.Ch0 các số thực dương $a,b,c$ và $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
$$\frac{3}{a^2b+b^2c+c^2a}+\frac{4}{abc}\geq 5$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 10-09-2012 - 18:03