Đặt $a=2x-y;b=2y-z;c=2z-x$. Ta có $a+b+c=0$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=5\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )-4\left ( xy+yz+zx \right )=7\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )$ (vì $x+y+z=0$).Bài 28: Cho $x,y,z$ thực thỏa mãn $x+y+z=0$. Tìm min $Q=|2x-y|+|2y-z|+|2z-x|-\ln(\sqrt{14(x^2+y^2+z^2)}+1)$
Bài này khá giống Câu 6 khối A 2012
Khi đó $Q=\left | a \right |+\left | b \right |+\left | c \right |-ln\left ( \sqrt{2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )} +1\right )$.
Mặt khác $a^{2}+b^{2}+c^{2}=-2\left ( ab+bc+ca \right )\leq 2\left ( \left | ab \right |+\left | bc \right |+\left | ca \right | \right )$ nên
$\left ( \left | a \right |+\left | b \right |+\left | c \right | \right )^{2}\geq 2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )$.
Suy ra $Q\geq t-ln\left ( t+1 \right )=f\left ( t \right )$ với $t=\left | a \right |+\left | b \right |+\left | c \right |\geq 0$.
$f'\left ( t \right )=\frac{1}{t+1}>0\Rightarrow Q\geq f\left ( 0 \right )=0$.
Vậy $Q_{min}=0$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=0$.