Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

ÔN THI ĐẠI HỌC 2012


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 95 trả lời

#21 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 12-09-2012 - 20:48

Bài 15.[Dự bị khối A-2 -2009](Đã có trên diễn đàn nhưng chưa ai trả lời :) )
Cho $x,y,z\in [1;3]$ và $x+y+z=6$. Tìm GTLN của $P=x^3+2y^3+z^3$

$$P=(x+y)^3-3xy(x+y)+5z^3=(8-2z)^3-3xy(8-2z)+5z^3$$
$$\Leftrightarrow P=-3z^3+96z^2-384z+512-3xy(8-2z)$$
Ta có $(x-1)(y-1)\ge 0\Rightarrow xy\ge x+y-1=8-2z-1=7-2z$
$$xy(8-2z)\ge (7-2z)(8-2z)\Rightarrow -3xy(8-2z)\le -3(7-2z)(8-2z)$$
Do $z<4\Rightarrow 8-2z>0$
$P=-3z^3+96z^2-384z+512-3xy(8-2z)$
$\leq -3z^3+96z^2-384z+512-3(7-2z)(8-2z)\Rightarrow P\le -3z^3+84z^2-294z+344$
Từ giả thiết suy ra $2z\le 6\Rightarrow z\le 3 \Rightarrow 1\leq z\leq 3$
Xét hàm số $f(z)=-3z^3+84z^2-294z+344$ với $z\in [1;3]$
$f'(z)=-9c^2+168z-294; f'(z)=0 \Leftrightarrow -9z^2+168z-294=0\Leftrightarrow 3z^2-56z+98=0$
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z = \frac{{28 + 7\sqrt {10} }}{3} \notin [1;3]\\
z = \frac{{28 - 7\sqrt {10} }}{3}
\end{array} \right.\]
Vậy GTLN đạt được khi $z=3;x=1;y=2$
--------------------
Sa0 sai tùm lum thế a :mellow:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 13-09-2012 - 19:48

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#22 BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 12-09-2012 - 22:42

Bài 13.[Đề thi thử THPT Uông Bí]
CH0 2 số dương $x,y$ thỏa mãn $12x^2+2y^2=5$.Chứng minh rằng:
$$x+y+\frac{1}{xy}\geq \frac{7}{2}$$

Dự đoán dấu bằng xảy ra khi $x=\frac{1}{2}, y = 1$
$x+y+\frac{1}{xy}$
$4x + \frac{1}{xy} + 2y - y - 3x$
$\geq (\frac{2}{\sqrt{y}} + \frac{2}{\sqrt{y}} + 2y) - \frac{y^2}{2} - \frac{1}{2} - \frac{6x^2}{2} - \frac{3}{4}$
$\geq 6 - \frac{1}{2} - \frac{3}{4} - \frac{5}{4} = \frac{7}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 12-09-2012 - 22:42

"I helped rehabilitate a part of the world. If I use this ability, maybe I can even help restore the rest of this depraved world."

#23 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 13-09-2012 - 04:47

Bài 16.
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a^2+b^2+c^2 =3$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a} \ge \dfrac{4}{a^2+7}+\dfrac{4}{b^2+7}+\dfrac{4}{c^2+7}$$
bài 17.
Cho $x,y,z >1$ và $xy+yz+zx \ge 2xyz$. Tìm GTLN của :
$$A=(x-1)(y-1)(z-1)$$

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#24 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-09-2012 - 11:57

Bài 16.
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a^2+b^2+c^2 =3$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a} \ge \dfrac{4}{a^2+7}+\dfrac{4}{b^2+7}+\dfrac{4}{c^2+7}$$
bài 17.
Cho $x,y,z >1$ và $xy+yz+zx \ge 2xyz$. Tìm GTLN của :
$$A=(x-1)(y-1)(z-1)$$

Bài 16.
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:
$$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{4}{2a+b+c}=\frac{8}{4a+2.b+2.c}$$
$$\geq \frac{8}{2(a^2+1)+b^2+1+c^2+1}=\frac{8}{a^2+7}$$
(Do $a^2+b^2+c^2=3$).Thiết lập các bất đẳng thức tương tự và cộng lại ta có:
$$\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a} \ge \dfrac{8}{a^2+7}+\dfrac{8}{b^2+7}+\dfrac{8}{c^2+7}$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a} \ge \dfrac{4}{a^2+7}+\dfrac{4}{b^2+7}+\dfrac{4}{c^2+7}$$
Ta có ĐPCM.ĐẲng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$ $\blacksquare$
Bài 17.
Do $x,y,z>1$ ta đặt $a+1=x,b+1=y,c+1=z$ thì $a,b,c>0$ và giả thiết trở thành:$(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)\geq 2(a+1)(b+1)(c+1)$ và ta cần tìm max của $abc$
Ta có giả thiết tương đương với:
$$ab+bc+ca+2(a+b+c)+3\geq 2(abc+ab+bc+ca+a+b+c+1)$$
$$\Leftrightarrow 1\geq 2abc+ab+bc+ca\geq 2abc+3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$$
$$\Leftrightarrow (2\sqrt[3]{abc}-1)(\sqrt[3]{abc}+1)^2\leq 0$$
Hay $\sqrt[3]{abc}\leq \frac{1}{2}\to abc\leq \frac{1}{8}$.
Vậy $(x-1)(y-1)(z-1)\leq \frac{1}{8}$.Dấu bằng xảy ra tại $x=y=z=\frac{3}{2}$
Bài 18.[Thi thử SPHN lần 1 - 2012]
Ch0 các số thực $a,b\in (0;1)$.Chứng minh rằng:
$$\frac{ab(1-a)(1-b)}{(1-ab)^2}<\frac{1}{4}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 13-09-2012 - 12:01

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#25 899225

899225

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 87 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Dĩ nhiên là ở Việt Nam
  • Sở thích:Toán học là ông vua của ngành khoa học

Đã gửi 13-09-2012 - 20:08

CodeCogsEqn (46).gif

#26 hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:TAEKWONDO

Đã gửi 13-09-2012 - 20:29

Bài 19: [Trích đề thi thử ĐH trường Thanh Thuỷ- Phú Thọ]
Cho $\dfrac{1}{4} \le x \le 1; y;z \ge 1;xyz=1$.
Chứng minh rằng: $$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z} \ge \frac{22}{15}$$
sr

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrunghieu22101997: 13-09-2012 - 21:15

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#27 899225

899225

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 87 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Dĩ nhiên là ở Việt Nam
  • Sở thích:Toán học là ông vua của ngành khoa học

Đã gửi 13-09-2012 - 21:08

Bạn ơi hình như đề sai hay sao ấy .
Nếu x=1, y=z=3 thì BĐT sai.

#28 899225

899225

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 87 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Dĩ nhiên là ở Việt Nam
  • Sở thích:Toán học là ông vua của ngành khoa học

Đã gửi 13-09-2012 - 21:15

Bài 20:
CodeCogsEqn (47).gif
Tìm min của CodeCogsEqn (48).gif
-------------------------
Nhớ đánh số bài.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 14-09-2012 - 12:17


#29 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-09-2012 - 16:52

Bài 20:
CodeCogsEqn (47).gif
Tìm min của CodeCogsEqn (48).gif

Bài toán này là khối A-2011.Đề bài thiếu $x=max(x;y;z)$
Lời giải:
Đặt $\frac{y}{x}=a,\frac{z}{y}=b,\frac{x}{z}=c$ thì ta có $abc=1$ và $2\geq \sqrt{bc}\geq 1$
Ta có $P=\frac{1}{2+3a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}$
Do bài toán là đối xứng với các biến $b,c$ nên ta dự đoán dấu bằng xảy ra tại $b=c$
ÁP dụng bổ đề quen thuộc với $\sqrt{bc}\geq 1$:
$$\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq \frac{2}{\sqrt{bc}+1}$$
Thi ta có:
$$P\geq \frac{1}{2+3a}+\frac{2}{\sqrt{bc}+1}=\frac{1}{2+3a}+\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}=f(a)$$
Với $a\in \left[\frac{1}{4};1\right]$
Tính đạo hàm của $f(a)$ ta thấy $f'(a)>0\,\,\forall a\in \left[\frac{1}{4};1\right]$
$\to f(a)\geq f \left(\frac{1}{4}\right)=\frac{34}{33}$
Vậy ta có $Min_P=\frac{33}{34}$.Dấu bằng xảy ra tại $(x;y;z)=(4;1;2)$ $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 17-09-2012 - 19:58

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#30 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-09-2012 - 21:00

Bài 19: [Trích đề thi thử ĐH trường Thanh Thuỷ- Phú Thọ]
Cho $\dfrac{1}{4} \le x \le 1; y;z \ge 1;xyz=1$.
Chứng minh rằng: $$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z} \ge \frac{22}{15}$$

Do $y,z\geq 1$ nên $yz\geq 1$.Vẫn áp dụng bổ đề:
$$\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq \frac{2}{1+\sqrt{yz}}=\frac{2\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$$
Vậy ta cần chứng minh:
$$\frac{1}{x+1}+\frac{2\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\geq \frac{22}{15}$$
Đặt $\sqrt{x}=a\,\,\,\,(\frac{1}{2}\leq a\leq 1)$.Thì ta cần chứng minh:
$$f(a)=\frac{1}{a^2+1}+\frac{2a}{1+a}\geq \frac{22}{15}$$
Ta có:
$$f'(a)=\frac{-2a}{(a^2+1)^2}+\frac{2}{(a+1)^2}=\frac{a(2a-1)(a^2+1)+2}{(a^2+1)^2(a+1)^2}$$
Do $a\leq \frac{1}{2}$ thì ta có $2a(1-2a)a(a^2+1)\leq \frac{(2a+1-2a)^2}{4}.\frac{3}{4}=\frac{3}{16}$
$\to a(1-2a)a(a^2+1)< 2\to f'(a)>0$
Vậy $f'(a)>0\,\,\,\,\forall a\in \left[\frac{1}{2};1\right]$ Hay $f(a)\geq f(\frac{1}{2})=\frac{22}{15}$
Vậy $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z} \ge \frac{22}{15}$
Ta có ĐPCM.Dấu bằng xảy ra tại $x=\frac{1}{4};y=z=2$ $\square$
Bài 21:
Ch0 các số thực dương $a,b,c$.Chứng minh bất đẳng thức sau:
$$\frac{\sqrt{a(a^2+ab+bc)}}{a+b}+\frac{\sqrt{b(b^2+bc+ca)}}{b+c}+\frac{\sqrt{c(c^2+ca+ab)}}{c+a}\leq \frac{3}{2}.\sqrt{a+b+c}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 17-09-2012 - 21:03

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#31 tim1nuathatlac

tim1nuathatlac

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 298 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:lt-vp

Đã gửi 30-09-2012 - 08:32

Bài 22 Cho x,y,z là 3 thực thuộc đoạn$\left [ 1;9 \right ]$ và $x=max\left \{ x,y,z \right \}$.Tìm GTLN và GTNN của biểu thức

$P=\frac{x}{x+2y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$

Bài 23 Cho a,b,c là các số thực dương. CMR $min\left \{ \frac{ab}{c^{2}}+\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ca}{b^{2}};\frac{a^{2}}{bc}+\frac{b^{2}}{ca}+\frac{c^{2}}{ab} \right \}\geq max\left \{ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a};\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \right \}$

Bài 24 ( ĐH khối A năm 2009 )
CMR vs mọi số thực dương x,y,z thỏa mãn $x\left ( x+y+z \right )=3yz$ ta cố

$\left ( x+y \right )^{3}+\left ( x+z \right )^{3}+3\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )\leq 5\left ( y+z \right )^{3}$


#32 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 30-09-2012 - 11:38

Bài 22 Cho x,y,z là 3 thực thuộc đoạn$\left [ 1;9 \right ]$ và $x=max\left \{ x,y,z \right \}$.Tìm GTLN và GTNN của biểu thức

$P=\frac{x}{x+2y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$

Bài này ý tưởng giống câu BĐT khối A 2011
Sử dụng bổ đề sau với $a,b$ dương và $ab\ge 1$ thì $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$
$$P=\frac{1}{1+\frac{2y}{x}}+\frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}\geq \frac{1}{1+\frac{2y}{x}}+\frac{2}{1+\sqrt{\frac{x}{y}}}$$
Đặt $t=\frac{x}{y}$ với $t\in [ 1;3]$
Ta khảo sát hàm $f(t)=\frac{1}{1+\frac{2}{t^2}}+\frac{2}{1+t}$ với $t\in [ 1;3]$
Hình như ra min bằng $\frac{29}{22}$ đạt được khi $x=9;y=1;z=3$ thì phải.
Bài này hình như không có max :S
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#33 tim1nuathatlac

tim1nuathatlac

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 298 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:lt-vp

Đã gửi 30-09-2012 - 16:10

Bài 24 ( ĐH khối A năm 2009 )
CMR vs mọi số thực dương x,y,z thỏa mãn $x\left ( x+y+z \right )=3yz$ ta cố

$\left ( x+y \right )^{3}+\left ( x+z \right )^{3}+3\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )\leq 5\left ( y+z \right )^{3}$


Ta giải bài này chỉ = kiến thức lớp 7

Biến đổi giả thiết $\left ( x+y \right )\left ( x+z \right )=4yz=\left ( y+z \right )^{2}-\left ( y-z \right )^{2}\leq \left ( y+z \right )^{2}$

$\Rightarrow 3\left ( x+y \right )\left ( x+z \right )\left ( z+y \right )\leq 3\left ( y+z \right )^{3}$

Như vậy cần cm $\left ( x+y \right )^{3}+\left ( x+z \right )^{3}\leq 2\left ( y+z \right )^{3}$

Thật vậy, ta có

$\left ( x+y \right )^{3}+\left ( x+z \right )^{3}=\left ( x+y+x+z \right )\left [ \left ( x+y \right )^{2}+\left ( x+z \right )^{2}-\left ( x+y \right )\left ( x+z \right ) \right ]$
$= \left ( x+y+x+z \right )\left ( y+z \right )^{2}$ (1)

Mặt khác $\left ( x+y+x+z \right )^{2}=4x^{2}+4x\left ( y+z \right )+\left ( y+z \right )^{2}=4x\left ( x+y+z \right )+\left ( y+z \right )^{2}=4\left ( y+z \right )^{2}-3\left ( y-z \right )^{2}\leq 4\left ( y+z \right )^{2}$

$\Rightarrow \left ( x+y+x+z \right )\leq 2\left ( y+z \right )$ (2)
Từ (1) và (2)$\Rightarrow Q.e.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tim1nuathatlac: 30-09-2012 - 16:14



#34 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 228 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 30-09-2012 - 18:52

Bài 5 Cho hai số dương $x,y$ thỏa mãn $12x^2+2y^2=5$

chứng minh rằng: \[x + y + \frac{1}{{xy}} \ge \frac{7}{2}\]

( Đề thi thử THPT Uông Bí )




Ta có: \[BDT \Leftrightarrow x + y + \frac{1}{{xy}} + \frac{1}{4}\left( {12{x^2} + 2{y^2} - 5} \right) \ge 0\]



\[ \Leftrightarrow \frac{3}{4}{\left( {2x - 1} \right)^2} + \frac{1}{2}{\left( {y - 1} \right)^2} + \frac{1}{2}\left( {\sqrt[3]{{4x}} + \sqrt[3]{{2y}} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{xy}}}}} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{4x}} - \sqrt[3]{{2y}}} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt[3]{{2y}} - \frac{1}{{\sqrt[3]{{xy}}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{{xy}}}} - \sqrt[3]{{4x}}} \right)}^2}} \right] \ge 0\]


Sao toàn thấy mấy cao thủ làm vậy?

#35 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 02-10-2012 - 00:50

Bài 25: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\le 3\sqrt{2}$. Chứng minh $$\frac{1}{\sqrt{8^a+1}}+\frac{1}{\sqrt{8^b+1}}+\frac{1}{\sqrt{8^c+1}}\ge 1$$
Trường THPT Gia Tĩnh Thanh Hóa 2012
Bài 26: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ac=7abc$. Tìm GTNN của $$S=\frac{8a^4+1}{a^2}+\frac{108b^5+1}{b^2}+\frac{16c^6+1}{c^2}$$
Chuyên Vĩnh Phúc lần 4 2012
Bài 27:Cho $x,y$ thực thỏa $1-y^2=x(x-y)$. Tìm Min,max của $$P=\frac{x^6+y^6-1}{x^3y+xy^3}$$
THPT Đồng Quan Hà Nội 2011
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#36 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 04-10-2012 - 12:28

Bài 28: Cho $x,y,z$ thực thỏa mãn $x+y+z=0$. Tìm min $Q=|2x-y|+|2y-z|+|2z-x|-\ln(\sqrt{14(x^2+y^2+z^2)}+1)$
Bài này khá giống Câu 6 khối A 2012
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#37 le_hoang1995

le_hoang1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Vân Nội

Đã gửi 04-10-2012 - 13:46

Bài 27:Cho $x,y$ thực thỏa $1-y^2=x(x-y)$. Tìm Min,max của $$P=\frac{x^6+y^6-1}{x^3y+xy^3}$$
THPT Đồng Quan Hà Nội 2011

Điều kiện $x,y$ khác $0$. $1=x^2+y^2-xy \geq xy$. Không tồn tại $min(xy)$ vì khi cho $x\rightarrow 0\Rightarrow y\rightarrow -1\Rightarrow xy \to 0$. Dùng tam thức bậc hai thì chặn được $|x|\leq \frac{2}{\sqrt{3}}\Rightarrow |xy|< \frac{4}{3}$
Đặt $xy=t$ với điều kiện $t \in(\frac{-4}{3};1]$ Ta có $x^3y+xy^3=xy(x^2+y^2)=xy(1+xy)=t(1+t)$
$x^6+y^6-1=(x^2+y^2)^3-3x^2y^2(x^2+y^2)-1=(1+xy)^3-3x^2y^2(1+xy)-1=(1+t)^3-3t^2(1+t)-1=-2t^3+3t$
$\Rightarrow P=\frac{-2t^3+3t}{t(t+1)}=\frac{-2t^2+3}{t+1}$
$P'=\frac{-2t^2-4t-3}{(t+1)^2}<0$. Suy ra P nghịch biến
$\Rightarrow P(t)\geq P(1)=\frac{1}{2}$
Vậy $minP=\frac{1}{2}$ khi $t=1\Rightarrow x=y=1$
Không tồn tại maxP

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 04-10-2012 - 13:48


#38 hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:TAEKWONDO

Đã gửi 04-10-2012 - 21:28

Bài 26: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ac=7abc$. Tìm GTNN của $$S=\frac{8a^4+1}{a^2}+\frac{108b^5+1}{b^2}+\frac{16c^6+1}{c^2}$$


Chứng minh
Từ giả thiết ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=7$
Áp dụng AM-GM và B.C.S ta có:
$$S=(8a^2+\frac{1}{2a^2})+(54b^3+54b^3+\frac{2}{94b^3}+\frac{2}{94b^3}+\frac{2}{94b^3})+(16c^4+\frac{1}{4c^4}+\frac{1}{4c^4})+(\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{3b^2}+\frac{1}{2c^2})\\ \ge 4+10+3+\frac{1}{2+3+2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2=24$$

Dấu = xảy ra khi $a=c=\frac{1}{2};b=\frac{1}{3}$

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#39 tim1nuathatlac

tim1nuathatlac

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 298 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:lt-vp

Đã gửi 05-10-2012 - 00:47

Bài 23 Cho a,b,c là các số thực dương. CMR $min\left \{ \frac{ab}{c^{2}}+\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ca}{b^{2}};\frac{a^{2}}{bc}+\frac{b^{2}}{ca}+\frac{c^{2}}{ab} \right \}\geq max\left \{ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a};\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \right \}$


Vì các số a, b, c có vai trò như nhau, nên bđt trên đúng tương đương vs bđt sau

$\frac{ab}{c^{2}}+\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ca}{b^{2}}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

$\frac{a^{2}}{bc}+\frac{b^{2}}{ca}+\frac{c^{2}}{ab}\geq \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}$

đây chính là cái lừa của đề, lừa chúng ta phải cm cả 4 bđt :icon6: :icon6:
P/s: 2 bđt trên thì 0k

Bài 29 Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}=\frac{1-16xyz}{4}$

Tìm GTNN của $P=\frac{x+y+z+4xyz}{1+4xy+4yz+4zx}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tim1nuathatlac: 05-10-2012 - 00:53



#40 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-10-2012 - 11:12

Bài toán 29 đã có tại đây :)
http://diendantoanhoc.net/index.php?/topic/76008-tr%E1%BA%ADn-chung-k%E1%BA%BFt-mss-2012-hi%E1%BB%87p-4-b%E1%BA%A5t-d%E1%BA%B3ng-th%E1%BB%A9c/
Bài 30:
Ch0 các số thực $a,b$ và số thực dương $c$ thỏa mãn $a^2+b^2+ab=3c^2$.Chứng minh rằng:
$$a^3+b^3+4abc\leq 6c^3$$

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh