$$P=(x+y)^3-3xy(x+y)+5z^3=(8-2z)^3-3xy(8-2z)+5z^3$$Bài 15.[Dự bị khối A-2 -2009](Đã có trên diễn đàn nhưng chưa ai trả lời )
Cho $x,y,z\in [1;3]$ và $x+y+z=6$. Tìm GTLN của $P=x^3+2y^3+z^3$
$$\Leftrightarrow P=-3z^3+96z^2-384z+512-3xy(8-2z)$$
Ta có $(x-1)(y-1)\ge 0\Rightarrow xy\ge x+y-1=8-2z-1=7-2z$
$$xy(8-2z)\ge (7-2z)(8-2z)\Rightarrow -3xy(8-2z)\le -3(7-2z)(8-2z)$$
Do $z<4\Rightarrow 8-2z>0$
$P=-3z^3+96z^2-384z+512-3xy(8-2z)$
$\leq -3z^3+96z^2-384z+512-3(7-2z)(8-2z)\Rightarrow P\le -3z^3+84z^2-294z+344$
Từ giả thiết suy ra $2z\le 6\Rightarrow z\le 3 \Rightarrow 1\leq z\leq 3$
Xét hàm số $f(z)=-3z^3+84z^2-294z+344$ với $z\in [1;3]$
$f'(z)=-9c^2+168z-294; f'(z)=0 \Leftrightarrow -9z^2+168z-294=0\Leftrightarrow 3z^2-56z+98=0$
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z = \frac{{28 + 7\sqrt {10} }}{3} \notin [1;3]\\
z = \frac{{28 - 7\sqrt {10} }}{3}
\end{array} \right.\]
Vậy GTLN đạt được khi $z=3;x=1;y=2$
--------------------
Sa0 sai tùm lum thế a
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 13-09-2012 - 19:48