Chủ đề này có 3 trả lời

[be3tvb1]

Cho $a,b,c >0$ và $a+b+c=6$. CMR:
$\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}\geq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 10-09-2012 - 20:05

[nthoangcute]

Cho a,b,c >0 và a+b+c=6. CMR:
$\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}\geq 2$

Cách 1: Đặt $S=\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}$
$P=a(b^3+1)+b(c^3+1)+c(a^3+1)$
Khi đó $S^2P \geq (a+b+c)^3=216$ (BĐT Hölder)
Lại thấy $P=a(b^3+1)+b(c^3+1)+c(a^3+1)=ab^3+bc^3+ca^3+6 \leq 54$
Suy ra $S^2 \geq 4$ hay $S \geq 2$

[Trần Lê Văn]

có còn cách nào khác dùng bất đẳng thức Cô-si hay Bunhiacopski đc bạn? , nếu có thì mình cảm ơn nhiều lắm

[WhjteShadow]

Lại thấy $P=a(b^3+1)+b(c^3+1)+c(a^3+1)$ $=ab^3+bc^3+ca^3+6 \leq 54$

Việt làm sai chỗ màu đó rồi
Lời giải:
Ta có The0 bất đẳng thức $AM-GM$ thì:
$2\sqrt{b^3+1}=2.\sqrt{b+1}.\sqrt{b^2-b+1}\leq b^2+2$
Tương tự và cộng lại ta chỉ cần chứng minh:
$$\frac{2a}{b^2+2}+\frac{2b}{c^2+2}+\frac{2c}{a^2+2}\geq 2$$
$$\Leftrightarrow \left(a-\frac{2a}{b^2+2}\right)+\left(b-\frac{2b}{c^2+2}\right)+\left(c-\frac{2c}{a^2+2}\right)\leq 4$$
$$\Leftrightarrow \frac{ab^2}{b^2+2}+\frac{bc^2}{c^2+2}+\frac{ca^2}{a^2+2}\leq 4$$
Lại the0 $AM-GM$ ta có:$b^2+2=\frac{b^2}{2}+\frac{b^2}{2}+2\geq 3.\sqrt[3]{\frac{b^4}{2}}$
Vậy tóm lại ta cần chỉ ra:
$$\sqrt[3]{2}.(a.b^{2/3}+b.c^{2/3}+c.a^{2/3})\leq 12$$
Nhưng bất đẳng thức này đúng the0 $AM-GM$:
$3\sqrt[3]{2}.b^{2/3}\leq b+b+2\to \sqrt[3]{2}a.b^{2/3}\leq \frac{2ab+2a}{3}$
$\to \sqrt[3]{2}.(a.b^{2/3}+b.c^{2/3}+c.a^{2/3})\leq \frac{2}{3}.(ab+bc+ca+a+b+c)\leq 12$
Vậy ta có ĐPCM.Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=2$ $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 12-09-2012 - 22:28