Chủ đề này có 3 trả lời

[lth080998]

CM $3^{2^{4n+1}}+2\vdots 11$ với mọi n$\epsilon \mathbb{N}$

[Math Is Love]

CM $3^{2^{4n+1}}+2\vdots 11$ với mọi n$\epsilon \mathbb{N}$

Chứng minh bằng quy nạp(Cái này cũng cần dùng máy tính nhiều):
Với n=0;1 thì đúng.
Giả sử đúng với n=k,nghĩa là $3^{2^{4k+1}}+2\vdots 11$
Ta sẽ chứng minh đúng với n=k+1,tức là:
$3^{2^{4k+1+4}}+2\vdots 11$
Ta có:$3^{2^{4k+1+4}}=3^{2^{4k+1}.16}=(3^{2^{4k+1}})^{16}$
Vì $3^{2^{4k+1}}\equiv 9(mod11)$ nên ta sẽ chứng minh $9^{16}\equiv 9(mod11)$
Dễ thấy $9^{2}\equiv 3(mod11)\Rightarrow 9^{4}\equiv 9(mod 11)\Rightarrow (9^{4})^{4}\equiv 9^{4}(mod11)\equiv 9(mod11)$
Vậy với n=k+1 thì đúng.
Vậy theo nguyên lí quy nạp thì bài toán dc chứng minh

[Hoa Hồng Lắm Gai]

CM $3^{2^{4n+1}}+2\vdots 11$ với mọi n$\epsilon \mathbb{N}$

Một cách khác
$2^{4n+1} \equiv 16^n.2 \equiv 2$ (mod 5)
$\to 2^{4n+1}= 5k+2$ ($k \in N$)
Ta có $3^{2^{4n+1}}+2 \equiv 3^{5k+2}+2 \equiv 243^{k}.9+2 \equiv 0$ (mod 11)
Vậy $3^{2^{4n+1}}+2 \vdots 11$

[BlackSelena]

Một cách khác cũng xài quy nạp để chứng minh .
Với $n = 0$ ta thấy đúng.
Giả sử đúng với $n=k$, khi đó: $3^{2^{4k+1}} + 2 \vdots 11$
Ta sẽ chứng minh nó vẫn đúng với $n = k + 1$
Hay $3^{2^{4(k+1)+1}} + 2 \vdots 11$
Thật vậy, $3^{2^{4(k+1)+1}} + 2 = (3^{2^{4k+1}})^{16} - 2^{16} + 2^{16} + 2$
Ta có $(3^{2^{4k+1}})^{16} - 2^{16} \vdots 3^{2^{4k+1}} + 2 \vdots 11$ theo hằng đẳng thức và giả thiết quy nạp.
Mặt khác, $2^{16} + 2 = 2(2^{15} + 1) \vdots 11$
Vậy $3^{2^{4(k+1)+1}} + 2 \vdots 11$
Theo nguyên lí quy nạp, ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 15-09-2012 - 15:52