Chủ đề này có 5 trả lời

[dot]

Nhà toán học Shinichi Mochizuki của ĐH Kyoto, Nhật Bản đã đưa ra một chứng minh dài 500 trang cho giả thuyết abc. Chứng minh hiện đang được kiểm chứng.

Nếu chứng minh của GS Mochizuki là đúng thì nó sẽ là một trong những thành tựu đáng kinh ngạc nhất của toán học trong thế kỷ 21.

Điều thú vị không chỉ là giả thuyết được giải quyết mà các kỹ thuật và hiểu biết được giới thiệu còn là những công cụ rất mạnh để giải quyết các vấn đề trong lý thuyết số.


http://www.nature.co...-primes-1.11378

Proof claimed for deep connection between primes
If it is true, a solution to the abc conjecture about whole numbers would be an ‘astounding’ achievement.
The usually quiet world of mathematics is abuzz with a claim that one of the most important problems in number theory has been solved.

Mathematician Shinichi Mochizuki of Kyoto University in Japan has released a 500-page proof of the abc conjecture, which proposes a relationship between whole numbers — a 'Diophantine' problem.

The abc conjecture, proposed independently by David Masser and Joseph Oesterle in 1985, might not be as familiar to the wider world as Fermat’s Last Theorem, but in some ways it is more significant. “The abc conjecture, if proved true, at one stroke solves many famous Diophantine problems, including Fermat's Last Theorem,” says Dorian Goldfeld, a mathematician at Columbia University in New York. “If Mochizuki’s proof is correct, it will be one of the most astounding achievements of mathematics of the twenty-first century.”

Like Fermat’s theorem, the abc conjecture refers to equations of the form a+b=c. It involves the concept of a square-free number: one that cannot be divided by the square of any number. Fifteen and 17 are square free-numbers, but 16 and 18 — being divisible by 42 and 32, respectively — are not.


The 'square-free' part of a number n, sqp(n), is the largest square-free number that can be formed by multiplying the factors of n that are prime numbers. For instance, sqp(18)=2×3=6.

If you’ve got that, then you should get the abc conjecture. It concerns a property of the product of the three integers axbxc, or abc — or more specifically, of the square-free part of this product, which involves their distinct prime factors. It states that for integers a+b=c, the ratio of sqp(abc)r/c always has some minimum value greater than zero for any value of r greater than 1. For example, if a=3 and b=125, so that c=128, then sqp(abc)=30 and sqp(abc)2/c = 900/128. In this case, in which r=2, sqp(abc)r/c is nearly always greater than 1, and always greater than zero.

Deep connection
It turns out that this conjecture encapsulates many other Diophantine problems, including Fermat’s Last Theorem (which states that an+bn=cn has no integer solutions if n>2). Like many Diophantine problems, it is all about the relationships between prime numbers. According to Brian Conrad of Stanford University in California, “it encodes a deep connection between the prime factors of a, b and a+b”.

Many mathematicians have expended a great deal of effort trying to prove the conjecture. In 2007, French mathematician Lucien Szpiro, whose work in 1978 led to the abc conjecture in the first place claimed to have a proof of it, but it was soon found to be flawed.

Like Szpiro, and also like British mathematician Andrew Wiles, who proved Fermat’s Last Theorem in 1994, Mochizuki has attacked the problem using the theory of elliptic curves — the smooth curves generated by algebraic relationships of the sort y2=x3+ax+b.

There, however, the relationship of Mochizuki’s work to previous efforts stops. He has developed techniques that very few other mathematicians fully understand and that invoke new mathematical ‘objects’ — abstract entities analogous to more familiar examples such as geometric objects, sets, permutations, topologies and matrices. “At this point, he is probably the only one that knows it all,” says Goldfeld.

Conrad says that the work “uses a huge number of insights that are going to take a long time to be digested by the community”. The proof is spread across four long papers1–4, each of which rests on earlier long papers. “It can require a huge investment of time to understand a long and sophisticated proof, so the willingness by others to do this rests not only on the importance of the announcement but also on the track record of the authors,” Conrad explains.

Mochizuki’s track record certainly makes the effort worthwhile. “He has proved extremely deep theorems in the past, and is very thorough in his writing, so that provides a lot of confidence,” says Conrad. And he adds that the pay-off would be more than a matter of simply verifying the claim. “The exciting aspect is not just that the conjecture may have now been solved, but that the techniques and insights he must have had to introduce should be very powerful tools for solving future problems in number theory.”

[E. Galois]

Nếu đó là sự thật, việc chứng minh được giả thuyết abc về số nguyên sẽ là một thành tích đáng kinh ngạc. [Thảo luận tại đây]

Thế giới toán học vốn thường yên tĩnh đã trở lên sôi động khi có tuyên bố rằng một trong những vấn đề quan trọng nhất trong lý thuyết số đã được giải quyết.




Nhà toán học Shinichi Mochizuki của ĐH Kyoto, Nhật Bản đã công bố một chứng minh dài 500 trang cho giả thuyết abc, trong đó đề xuất một mối quan hệ giữa các số nguyên - một vấn đề Diophantine

Shinichi Mochizuki

Giả thuyết abc, đề xuất độc lập bởi David Masser và Joseph Oesterle vào năm 1985, có thể nó không được quen thuộc với thế giới như Định lý Fermat lớn, nhưng trong một số cách, nó còn quan trọng hơn. "Giả thuyết abc, nếu chứng minh là đúng, tại một trong những đột phá giải quyết nhiều vấn đề Diophantine nổi tiếng, bao gồm cả Định lý Fermat lớn," Dorian Goldfeld, một nhà toán học tại Đại học Columbia ở New York nói. "Nếu chứng minh của Mochizuki là chính xác, nó sẽ là một trong những thành tựu đáng kinh ngạc nhất của toán học của thế kỷ 21."



Giống như Định lý Fermat lớn, giả thuyết abc đề cập đến phương trình có dạng $a + b = c$. Nó liên quan đến các khái niệm về số không chính phương: số không chia hết cho bình phương của bất kỳ số nào. $15$ và $17$ là những số không chính phương, nhưng $16$ và $18$ thì không phải vì chúng tương ứng chia hết cho $4^2$ và $3^2$.

Ta gọi Nhân tử không chính phương của số $n$, kí hiệu là $sqp (n)$, là số không chính phương lớn nhất có thể được tạo thành bằng cách nhân các ước nguyên tố của $n$. Ví dụ, $sqp (18) = 2 \times 3 = 6$

Khi đó ta có phỏng đoán abc. Nó liên quan đến một tính chất của tích ba số nguyên $a \times b \times c$, hay $abc$ - hoặc cụ thể hơn, nhân tử không chính phương của tích này, trong đó bao gồm cả các thừa số nguyên tố phân biệt. Giả thuyết nói rằng: nếu $a + b = c$ thì tỷ số $\frac{sqp (abc)^r}{c}$ luôn luôn có một số giá trị dương nhỏ nhất với bất kì $r>1$. Ví dụ, nếu $a = 3;b = 125$, thì $c = 128$, khi đó $sqp (abc) = 30$ và $\frac{sqp (abc)^2}{c} = \frac{900}{128}$. Trong trường hợp này, $r = 2, \frac{sqp (abc)^r}{c}$ là gần như luôn luôn lớn hơn 1, và luôn luôn lớn hơn không.

Sự kết nối
Có thể chỉ ra rằng giả thuyết này bao gồm nhiều vấn đề Diophantine khác, cả Định lý Fermat lớn (trong đó nêu rằng $a^n+b^n=c^n$ không có nghiệm là số nguyên nếu $n> 2$). Giống như nhiều vấn đề Diophantine, nó là tất cả về mối quan hệ giữa các số nguyên tố. Theo Brian Conrad của Đại học Stanford ở California, "nó mã hóa kết nối sâu sắc giữa những thừa số nguyên tố của $a, b, a+ b$".

Nhiều nhà toán học đã nỗ lực cố gắng để chứng minh giả thuyết. Trong năm 2007, nhà toán học Pháp Lucien Szpiro, mà công việc của ông vào năm 1978 đã dẫn đến những phỏng đoán abc và đã là người đầu tiên tuyên bố chứng minh được nó, nhưng sau đó đã sớm tìm thấy có những thiếu sót.

Giống như Szpiro, và cũng giống như nhà toán học người Anh Andrew Wiles, người đã chứng minh Định lý sau cùng của Fermat vào năm 1994, Mochizuki đã tấn công các vấn đề bằng cách sử dụng lý thuyết của các đường cong elliptic mịn đường cong được tạo ra bởi các mối quan hệ đại số của các loại $y^2 = x^3 + ax + b$.

Tuy nhiên, công việc của Mochizuki cho những nỗ lực trước đó dừng lại. Ông đã phát triển kỹ thuật mà rất ít nhà toán học hoàn toàn hiểu được và gọi là 'đối tượng' toán học mới - các thực thể trừu tượng tương tự như (ví dụ quen thuộc hơn) đối tượng hình học, tập hợp, hoán vị, tôp và ma trận. "Tại thời điểm này, ông ấy có lẽ là người duy nhất biết tất cả", ông Goldfeld nói.

Conrad nói rằng công việc "sử dụng một số lượng lớn những kiến thức sẽ mất một thời gian dài để được cộng đồng am hiểu". Chứng minh gồm 4 phần dài, mỗi phần lại dựa trên những tài liệu đồ sộ. "Nó có thể đòi hỏi sự đầu tư lớn thời gian để hiểu một chứng minh lâu dài và phức tạp, do đó, sự sẵn lòng của người khác để làm điều này, không chỉ dựa trên tầm quan trọng của thông báo mà còn trên hồ sơ theo dõi của các tác giả," Conrad giải thích.

Hồ sơ theo dõi của Mochizuki chắc chắn làm cho những nỗ lực đáng giá. "Ông đã chứng minh định lý cực kỳ sâu sắc trong quá khứ, và rất kỹ lưỡng bằng văn bản của mình, do đó, cung cấp rất nhiều sự tự tin", ông Conrad nhận định. "Khía cạnh thú vị là không chỉ là những phỏng đoán có thể đã được giải quyết, mà các kỹ thuật và kiến thức anh ta phải có để giới thiệu nên là những công cụ rất mạnh nhằm giải quyết các vấn đề trong lý thuyết số trong tương lai."

Theo http://www.nature.com

[Nxb]

Giả thuyết nói rằng: nếu $a + b = c$ thì tỷ số $\frac{sqp (abc)^r}{c}$ luôn luôn có một số giá trị dương nhỏ nhất với bất kì $r>1$. Ví dụ, nếu $a = 3;b = 125$, thì $c = 128$, khi đó $sqp (abc) = 30$ và $\frac{sqp (abc)^2}{c} = \frac{900}{128}$. Trong trường hợp này, $r = 2, \frac{sqp (abc)^r}{c}$ là gần như luôn luôn lớn hơn 1, và luôn luôn lớn hơn không.

Mình vẫn chưa hiểu đoạn này lắm. Có ai giải thích hộ được không

[L_Euler]

Mình vẫn chưa hiểu đoạn này lắm. Có ai giải thích hộ được không

$a=3,b=5^3,c=2^7$ nên nhân tử không chính phương của số $abc$ - tức là ước lớn nhất của $abc$ mà không phải là bội của bất kì 1 số chính phương nào - kí hiệu là $sqp(abc)=3x5x2=30$.

[Nxb]

$a=3,b=5^3,c=2^7$ nên nhân tử không chính phương của số $abc$ - tức là ước lớn nhất của $abc$ mà không phải là bội của bất kì 1 số chính phương nào - kí hiệu là $sqp(abc)=3x5x2=30$.

Cái đấy thì tất nhiên em hiểu. Cái em không hiểu là nội dung của giả thuyết cơ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 22-09-2012 - 08:28

[L_Euler]

Cái đấy thì tất nhiên em hiểu. Cái em không hiểu là nội dung của giả thuyết cơ

http://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture