Chủ đề này có 16 trả lời

[alibaba00]

Cho các số thực dương $a.b.c$ thỏa mãn $abc=ab+bc+ca$,thì:
$\frac{1}{a+2b+3c}+\frac{1}{2a+3b+c}+\frac{1}{3b+b+2c} \leqslant \frac{3}{16}$
Cho các số $a,b,c \geq 1$.Chứng minh rằng :$\frac{a}{\sqrt{b}-1}+\frac{b}{\sqrt{c}-1}+\frac{c}{\sqrt{a}-1} \geqslant12$
Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=1$.Chứng minh rằng:
$\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy} \geqslant 1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$
P/s:Mấy bài này mình thấy trong một topic rồi nhưng không hiểu.Các anh chi làm giúp em nhá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 14-09-2012 - 17:58

[Math Is Love]

Cho các số $a,b,c \geq 1$.Chứng minh rằng :$\frac{a}{\sqrt{b}-1}+\frac{b}{\sqrt{c}-1}+\frac{c}{\sqrt{a}-1} \geqslant12$
P/s:Mấy bài này mình thấy trong một topic rồi nhưng không hiểu.Các anh chi làm giúp em nhá

Xin chém bài này.
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarzt ta có:$\frac{a}{\sqrt{b}-1}+\frac{b}{\sqrt{c}-1}+\frac{c}{\sqrt{a}-1}\geqslant \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}^{2})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})-3}$
Đặt $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=x$
Vậy ta cần tìm min của $A=\frac{x^{2}}{x-3}$.
Cái này dùng miền giá trị hàm số ta được:$A^{2}-12A\geqslant 0$
$\Leftrightarrow A(A-12)\geqslant 0$
Vì $A\geqslant 0$ nên $\Rightarrow A\geqslant 12$
Vậy ta có đpcm.Dấu "=" xảy ra khi a=b=c và $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=6$$\Rightarrow a=b=c=4$

[triethuynhmath]

Cho các số $a,b,c \geq 1$.Chứng minh rằng :$\frac{a}{\sqrt{b}-1}+\frac{b}{\sqrt{c}-1}+\frac{c}{\sqrt{a}-1} \geqslant12$

Xin chém bài này.
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarzt ta có:$\frac{a}{\sqrt{b}-1}+\frac{b}{\sqrt{c}-1}+\frac{c}{\sqrt{a}-1}\geqslant \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}^{2})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})-3}$
Đặt $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=x$
Vậy ta cần tìm min của $A=\frac{x^{2}}{x-3}$.
Cái này dùng miền giá trị hàm số ta được:$A^{2}-12A\geqslant 0$
$\Leftrightarrow A(A-12)\geqslant 0$
Vì $A\geqslant 0$ nên $\Rightarrow A\geqslant 12$
Vậy ta có đpcm.Dấu "=" xảy ra khi a=b=c và $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=6$$\Rightarrow a=b=c=4$

Không cần phải dùng Cạuchy-Schwarz phức tạp như vậy đâu bạn à có cách rất dễ cho bài này:
Từ giả thiết dễ dàng có:
$2\sqrt{b}-1,2\sqrt{a}-1,2\sqrt{c} > 0$ Nên dùng Cauchy ta có:
$\frac{a}{\sqrt{b}-1}+\sqrt{b}-1\geq 2\sqrt{a}$
Đến đây có lẽ là ra rồi.THiết lập BĐT TƯơng tự công vế theo vế có : $A\geq 12(Q.E.D)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 14-09-2012 - 19:49

[triethuynhmath]

bạn thân mến theo mình khái niệm miền giá trị hàm số còn xa lạ với THCS

Làm gì có chuyện miền giá trị còn xa lạ với $THCS$ hả bạn Lớp 9 là đã biết rồi mà lúc học về phương trình bậc 2.Còn nếu ban cần cách khác thì mình đã post rồi.

[triethuynhmath]

Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=1$.Chứng minh rằng:
$\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy} \geqslant 1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$
P/s:Mấy bài này mình thấy trong một topic rồi nhưng không hiểu.Các anh chi làm giúp em nhá

Câu này nào:
Ta có: $\sum \sqrt{x+yz}=\sqrt {x(x+y+z)+yz}=\sqrt{x^2+x(y+z)+yz}\geq \sqrt{x^2+2\sqrtx{yz}+yz}=x+\sqrt{yz}$(Cauchy kết hợp giả thiết)
Thiết lập BĐT tương tự cộng vế theo vế sẽ có : $VT \geq x+y+z+\sum \sqrt{yz}=1+\sum \sqrt{yz}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 14-09-2012 - 20:05

[Mai Xuan Son]

bài 1 đúng đề ko vậy

[triethuynhmath]

Cho các số thực dương $a.b.c$ thỏa mãn $abc=ab+bc+ca$,thì:
$\frac{1}{a+2b+3c}+\frac{1}{2a+3b+c}+\frac{1}{3b+b+2c} \leqslant \frac{3}{16}$

Còn mỗi bài này:
Ta Áp dụng 1 BĐT Quá quen thuộc là $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}$
Áp dụng BĐT Trên ta có:
$\sum \frac{1}{a+2b+3c}=\frac{1}{a+c+2(b+c)}\leq \frac{1}{4(a+c)}+\frac{1}{8(b+c)}\leq \frac{1}{16a}+\frac{1}{16c}+\frac{1}{32b}+\frac{1}{32c}$
Thiết lập các bất đẳng thức tương tự cộng vế theo vế ta có:$VT\leq \frac{3}{16}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{3}{16}(\frac{ab+bc+ca}{abc})=\frac{3}{16}(Q.E.D)$

bài 1 đúng đề ko vậy

Đúng đề mà bạn sao bạn lại hỏi vậy?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 14-09-2012 - 19:56

[Waiting for you]

bài 1 đúng đề ko vậy

ĐỀ ĐÚNG LÀ
với a,b,c dương,ab+bc+ca=abc CM
$\frac{1}{a+3b+2c}+\frac{1}{b+3c+2a}+\frac{1}{c+3a+2b}\leq \frac{1}{6}$
cchứng minh(dùng BDT$\frac{1}{a+b}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

[Waiting for you]

Còn mỗi bài này:
Ta Áp dụng 1 BĐT Quá quen thuộc là $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}$
Áp dụng BĐT Trên ta có:
$\sum \frac{1}{a+2b+3c}=\frac{1}{a+c+2(b+c)}\leq \frac{1}{4(a+c)}+\frac{1}{8(b+c)}\leq \frac{1}{16a}+\frac{1}{16c}+\frac{1}{32b}+\frac{1}{32c}$
Thiết lập các bất đẳng thức tương tự cộng vế theo vế ta có:$VT\leq \frac{3}{16}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{3}{16}(\frac{ab+bc+ca}{abc})=\frac{3}{16}(Q.E.D)$
Đúng đề mà bạn sao bạn lại hỏi vậy?

vậy dấu bằng xảy ra khi nào bạn

[Mai Xuan Son]

Còn mỗi bài này:
Ta Áp dụng 1 BĐT Quá quen thuộc là $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}$
Áp dụng BĐT Trên ta có:
$\sum \frac{1}{a+2b+3c}=\frac{1}{a+c+2(b+c)}\leq \frac{1}{4(a+c)}+\frac{1}{8(b+c)}\leq \frac{1}{16a}+\frac{1}{16c}+\frac{1}{32b}+\frac{1}{32c}$
Thiết lập các bất đẳng thức tương tự cộng vế theo vế ta có:$VT\leq \frac{3}{16}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{3}{16}(\frac{ab+bc+ca}{abc})=\frac{3}{16}(Q.E.D)$
Đúng đề mà bạn sao bạn lại hỏi vậy?

vậy dấu = xảy ra khi nào vậy bạn

[triethuynhmath]

vậy dấu = xảy ra khi nào vậy bạn

vậy dấu bằng xảy ra khi nào bạn

Nói chung là hình như bài này không có dấu "=" xảy ra đâu Nhưng Nếu như $VT < \frac{3}{16}\Rightarrow VT \leq \frac{3}{16}$ Thôi mà BĐT đâu quá quan trọng việc dấu "=" xảy ra Khi nào tìm cực trị mới cần phải xét.Đề kêu như thê nào thì mình làm như vậy thôi chứ việc gì phải khổ sở đi tìm Max để có dấu "="?
Còn nếu bạn muốn tìm Max thì cũng ok thôi
$\frac{1}{a+2b+3c}=\frac{1}{a+b+b+c+c+c}\leq \frac{1}{36a}+\frac{1}{18b}+\frac{1}{12c}(Cauchy-Schwarz)$ Tương tự rồi cộng lại.

[Mai Xuan Son]

Dùng cái này hay hơn bạn nè
$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c})\cdot (a+b+b+c+c+c)\geq 6^2$
hay
$(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c})\cdot (a+2b+3c)\geq 36$
dấu = xảy ra khi a=b=c
sau đó cộng vế vs vế,ta có đpcm

p/s: đánh chậm qá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tops2liz: 14-09-2012 - 20:21

[triethuynhmath]

Dùng cái này hay hơn bạn nè
$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c})\cdot (a+b+b+c+c+c)\geq 6^2$
hay
$(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c})\cdot (a+2b+3c)\geq 36$
dấu = xảy ra khi a=b=c
sau đó cộng vế vs vế,ta có đpcm

Ơ Ơ Ơ 2 cái này với cái của mình... Là 1 mà Cauchy-Schwarz cũng là hệ quả từ Bunya thôi mà đâu có khác gì đâu bạn ==' Chia $a+2b+3c$ xuống là ra y chang của mình thôi đâu có hay hơn gì đâu?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 14-09-2012 - 20:22

[Mai Xuan Son]

tớ đánh chậm qá,ko bít cậu đăng lên

[Waiting for you]

Nói chung là hình như bài này không có dấu "=" xảy ra đâu Nhưng Nếu như $VT < \frac{3}{16}\Rightarrow VT \leq \frac{3}{16}$ Thôi mà BĐT đâu quá quan trọng việc dấu "=" xảy ra Khi nào tìm cực trị mới cần phải xét.Đề kêu như thê nào thì mình làm như vậy thôi chứ việc gì phải khổ sở đi tìm Max để có dấu "="?
Còn nếu bạn muốn tìm Max thì cũng ok thôi
$\frac{1}{a+2b+3c}=\frac{1}{a+b+b+c+c+c}\leq \frac{1}{36a}+\frac{1}{18b}+\frac{1}{12c}(Cauchy-Schwarz)$ Tương tự rồi cộng lại.

nói chung mnihf vẫn nghĩ đề mình là đúng(có trong tài iệu BDT của m. nguyễn tất thu)
còn về việc dấu bằng,mình không có ý tranh cãi lằng nhằng nhưng dấu bằng xảy ra hay không là rất quan trọng vì có nhũng lúc,đơn giản nó giúp ta xác định đúng điểm rơi,ít nhất là vậy thôi

[triethuynhmath]

nói chung mnihf vẫn nghĩ đề mình là đúng(có trong tài iệu BDT của m. nguyễn tất thu)
còn về việc dấu bằng,mình không có ý tranh cãi lằng nhằng nhưng dấu bằng xảy ra hay không là rất quan trọng vì có nhũng lúc,đơn giản nó giúp ta xác định đúng điểm rơi,ít nhất là vậy thôi

Đương nhiên đề của bạn là đúng?Mình đâu có nói nó sai nhưng mình nói đề kia cũng không phải là sai.Cả 2 đề đều đúng.Mình không nói về vấn đề điểm rơi hay là gì ở đây nhưng ở những bất đẳng thức không có dấu "=" không có nghĩa là nó sai.Mình mong bạn lưu ý như vậy.Chỉ vậy thôi.

[alibaba00]

Cho mình nói chút nhá.Hồi hôm qua mình đy học về,thì giải câu cuối là :
Ta có $\dfrac{a}{\sqrt{a}-1} \geqslant 4$ (Cái này thì ai cũng chứng minh được hết.)
Vậy ta có $\dfrac{a}{\sqrt{a}-1} +\dfrac{b}{\sqrt{b}-1}+\dfrac{c}{\sqrt{c}-1} \geqslant 12$
Lại Áp dụng $AM-GM$ cho 3 số đó.(Vế phải khi dùng $AM-GM$ là (*) ),suy ra:
$\dfrac{a}{\sqrt{a}-1} +\dfrac{b}{\sqrt{b}-1}+\dfrac{c}{\sqrt{c}-1} \geqslant (*) \geqslant 12$
Lại dùng $AM-GM$ cho VT(Vế trái này là ở tựa bài)
Suy ra DPCM