Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

1.2 - Tính đơn điệu của hàm số

chuyên đề ôn thi đh

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 43 trả lời

#1 leminhansp

leminhansp

    $\text{Hâm hấp}$

  • Hiệp sỹ
  • 606 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 10-09-2012 - 10:57

Trong đề thi các em gặp vấn đề này ở các bài toán chẳng hạn như:

 

Bài toán: Cho hàm số: $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( 2m-3 \right)x-5$. Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên trên $\left( 2,3 \right)$.

Để làm được bài toán này cần hiểu được:
- Đồng biến là gì?
- Để làm bài toán này cần thực hiện công việc gì?



A – Lý thuyết
1. Định nghĩa:
Kí hiệu: $K$ là một khoảng hoặc một đoạn, hoặc nửa khoảng v
à hàm số $\left( C\right): y= f \left( x \right)$ xác định trên $K$.
Hàm số $y=f \left( x \right)$ được gọi là đồng biến trên $K$ nếu $x$ tăng thì $y$ tăng mà $x$ giảm thì $y$ giảm, tức là:

$$\forall x_1,x_2 \in K : x_1<x_2 \Rightarrow f\left( x_1 \right)<f\left( x_2\right).$$
Ngược lại, $y=f\left( x \right)$ được gọi là nghịch biến trên $K$ nếu $x$ tăng thì $y$ giảm mà $x$ giảm thì $y$ tăng, tức là:

$$\forall x_1,x_2 \in K : x_1<x_2 \Rightarrow f\left( x_1 \right)>f\left( x_2\right).$$
$y=f\left( x \right)$ đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ thì ta nói chung là $y=f\left( x \right)$ đơn điệu trên $K$.
Chú ý:$K$ là một khoảng hoặc một đoạn, hoặc nửa khoảng.



2. Định lý: (Cách xét tính đơn điệu của hàm số):
Cho hàm số $\left( C\right)$ : $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $K$:
- $\left( C\right)$ đồng biến trên$K$ $\Leftrightarrow f'\left( x \right)\geq 0,\forall x\in K$ và chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm thuộc $K$.
- $\left( C\right)$ nghịch biến trên $K$ $\Leftrightarrow f'\left( x \right)\leq 0,\forall x\in K$ và chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm thuộc $K$.




Nhận xét:
1. Việc xét tính đơn điệu của hàm số được quy về việc xét dấu biểu thức đạo hàm của nó!
2. Với 3 loại hàm ta xét, có thể bỏ điều kiện “bằng 0 tại hữu hạn điểm thuộc $K$”
3. Trong ba loại hàm:
Hàm đa thức bậc 3:
$$y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{3}}+cx+d\Rightarrow y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c,\left( a\ne 0 \right)$$
Hàm đa thức bậc 4 trùng phương:
$$y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\Rightarrow y'=4a{{x}^{3}}+2bx=2x\left( 2a{{x}^{2}}+b \right),\left( a\ne 0 \right)$$
Hàm đa thức bậc nhất trên bậc nhất:
$$y=\frac{ax+b}{cx+d}\Rightarrow y'=\frac{ad-bc}{{{\left( cx+d \right)}^{2}}}$$


(dấu không phụ thuộc vào biến $x$)
Thì việc xét dấu biểu thức đạo hàm $y’$ hoặc là rất đơn giản hoặc là quy về bài toán tam thức bậc 2


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 24-05-2013 - 01:19

Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!

Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath
Website: Cungnhauhoctoan.com

#2 leminhansp

leminhansp

    $\text{Hâm hấp}$

  • Hiệp sỹ
  • 606 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 10-09-2012 - 11:31

B – Một số ví dụ:
Bắt đầu với một ví dụ đơn giản và các em cần chú ý cách trình bày


Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của hàm số sau: $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-2x+2.$
LG:
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
Ta có: $y'={{x}^{2}}-x-2$, $y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2=0\Leftrightarrow$$\left[ \begin{array}{l}x = -1\\x=2 \end{array} \right.$
Bảng xét dấu y’:
$$\begin{array}{|c|c|}
\hline \text{x} & -\infty \;\;\;\;\;\;\;\;\;-1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\infty\\
\hline \text{y'} &\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;\;-\;\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\; \\
\hline
\end{array}$$
Kết luận:
- Hàm số nghịch biến trên $\left( -1;2 \right)$
- Hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;-1 \right)$ và $\left( 2;+\infty \right)$


Chú ý: Khi kết luận tính đơn điệu các em không được viết, chẳng hạn:
“Hàm số nghịch biến trên $\left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)$”, hoặc “hàm số đồng biến $\forall x\ne a$”, hoặc “đồng biến trên tập xác định”
Viết như thế là sai về bản chất, nếu $y'>0,\forall x\ne a$ thì ta kết luận: hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;a \right)$ và $\left( a;+\infty \right)$


Ví dụ 2: Cho hàm số: $y=\frac{mx+4}{x+m}$. Tìm m để hàm số nghịch biến trên $\left( -1;1 \right)$.
Phân tích:
- Nhận dạng, thuộc dạng xét tính đơn điệu, như vậy cần tính y’ và xét dấu y’
- Đây là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, đạo hàm của nó có dấu không phụ thuộc vào x, tức là $y'>0,\forall x\in D$ hoặc $y'<0,\forall x\in D$, như vậy với điều kiện đầu tiên “hàm nghịch biến” ta cần:
$y'=\frac{{{m}^{2}}-4}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}<0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4<0$
- Khi đó ta có hàm số nghịch biến trên $\left( -\infty ;-m \right)$ và $\left( -m;+\infty \right)$
- Vậy làm thế nào để có hàm nghịch biến trên $\left( -1;1 \right)$? Tốt nhất các em thực hiện việc xét vị trí tương đối của ba điểm $1,-1,-m$ trên trục số các em sẽ nhận ra được để thỏa mãn điều kiện này thì $-m$ phải nằm ngoài 2 điểm $-1$ và 1, tức là $-m\notin \left( -1;1 \right)\Leftrightarrow m\notin \left( -1;1 \right)$.


Từ đó các em có lời giải:
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -m \right\}$
$y'=\frac{{{m}^{2}}-4}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}$
Để hàm số nghịch biến trên $\left( -1;1 \right)$ thì $y'<0,\forall x\in \left( -1;1 \right)$$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 < 0\\ -m\notin \left( -1;1 \right) \end{array} \right.$$\Leftrightarrow m\in \left( -2;-1 \right]\cup \left[ 1;2 \right)$
Vậy với $m\in \left( -2;-1 \right]\cup \left[ 1;2 \right)$ thì thỏa mãn điều kiện đề bài

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 16-09-2012 - 00:15

Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!

Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath
Website: Cungnhauhoctoan.com

#3 leminhansp

leminhansp

    $\text{Hâm hấp}$

  • Hiệp sỹ
  • 606 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 10-09-2012 - 13:05

Ví dụ 3: Cho hàm số:
$y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( 2m-3 \right)x-5$
Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên trên $\left( 2;3 \right)$.
Phân tích:
Với việc phân tích tương tự như trên ta nhận thấy rằng bài toán trên thực chất là bài toán sau:
Tìm $m$ để $y'={{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+2m-3\geq 0,\forall x\in \left( 2;3 \right)$
Với bài toán này thì các em có thể có các cách làm khác nhau.
LG:
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
$y'={{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+2m-3$
Để hàm số đồng biến trên $\left( 2;3 \right)$ thì $y'\geq 0,\forall x\in \left( 2,3 \right)$$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+2m-3\geq 0,\forall x\in \left( 2;3 \right)$

Cách 1: $\Delta '={{\left( m-1 \right)}^{2}}-2m+3={{m}^{2}}-4m+4={{\left( m-2 \right)}^{2}}$
Do đó:
Nếu $m=2$ thì $y'={{x}^{2}}+2x+1={{\left( x+1 \right)}^{2}}\geq 0,\forall x\in \left( 2;3 \right)$ (t/m)
Nếu $m\ne 2$ thì $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$, ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left\{ -1;-2m+3 \right\}$
Khi đó: $y'\geq 0\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;{{x}_{1}} \right]\cup \left[ {{x}_{2}};+\infty \right)$
Để $y'\geq 0,\forall x\in \left( 2;3 \right)$ thì $3\le{{x}_{1}}$ hoặc ${{x}_{2}}\le2$ (*)
TH1: ${{x}_{1}}=-1;{{x}_{2}}=-2m+3$ $\Rightarrow -1<-2m+3\Leftrightarrow m<2$ thì $\left( * \right)\Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}3 < -1\\-2m+3\le 2 \end{array} \right.\\ m<2 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\le m<2$
TH2: ${{x}_{1}}=-2m+3;{{x}_{2}}=-1$ $\Rightarrow -2m+3<-1\Leftrightarrow m>2$ thì $\left( * \right)\Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}3 \le -2m+3\\-1<2 \end{array} \right.\\ m>2 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow m>2$
Vậy với $m\ge \frac{1}{2}$ thì thỏa mãn điều kiện đề bài.

Cách 2:
${{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+2m-3\geq 0,\forall x\in \left( 2;3 \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+2m-3\geq 0,\forall x\in \left[ 2;3 \right]$ (do $y'$ liên tục tại $x=2$ và $x=3$)
$\Leftrightarrow g\left( x \right)=\frac{-{{x}^{2}}+2x+3}{2\left( x+1 \right)}\leq m,\forall x\in \left[ 2;3 \right]$
$\Leftrightarrow \underset{x\in \left[ 2;3 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)\leq m$
Xét: $g\left( x \right)=\frac{-{{x}^{2}}+2x+3}{2\left( x+1 \right)},$$g'\left( x \right)=\frac{-{{x}^{2}}-2x-1}{2{{\left( x+1 \right)}^{2}}}<0,$$\forall x\in \left[ 2;3 \right]$
$\Rightarrow g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left[ 2;3 \right]$ $\Rightarrow \underset{x\in \left[ 2;3 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=g\left( 2 \right)=\frac{1}{2}$
Vậy với $m\ge \frac{1}{2}$ thì thỏa mãn điều kiện đề bài.

Nhận xét:
- Cách thứ 2 có thể có một số em chưa quen, đó là điều dễ hiểu khi các em mới làm quen với phương pháp hàm số, nhưng chắc chắn các em sẽ thích và thấy nó khá dễ dàng khi tiếp xúc với nhiều lớp bài toán sử dụng phương pháp này hơn!
- Ở cách thứ nhất, trong nhiều trường hợp đối với bài toán dạng này các em sẽ không tính được ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ "đẹp" như bài toán trên, khi đó các em cần sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để giải quyết, ví dụ dưới đây là một minh họa:

Ví dụ 4: Cho hàm số: $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+\left( 3m+2 \right)x-5m+2$
Tìm $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;1 \right)$
LG:
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
$y'={{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+3m+2$
Để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;1 \right)$ thì $y'\leq 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$
$\Leftrightarrow f\left( x \right)={{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+3m+2\leq 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$
$\Leftrightarrow $ phương trình $f\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ sao cho ${{x}_{1}}\leq 0<1\leq {{x}_{2}}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_{1}\leq 0 <x_{2}\\ x_{1}<1\leq x_{2} \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x}_{1}{x}_{2}\leq 0\\ \left({x}_{1}-1 \right)\left( {x}_{2}-1 \right)\leq 0 \end{array} \right.$$\left\{ \begin{array}{l}3m+2\leq 0\\ m+2\leq \end{array} \right.$$\Leftrightarrow m\leq -2$

Nhận xét:
- $f\left( x \right)$ có hệ số $a=1>0$ nên trường hợp $f\left( x \right)=0$ vô nghiệm ($\Delta <0$) hoặc nghiệm kép ($\Delta =0$) không thỏa mãn bài toán (các em chú ý lại định lí dấu tam thức bậc 2)
- Hệ điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}\leq 0<{{x}_{2}}\\ {{x}_{1}}<1\leq {{x}_{2}} \end{array} \right.$ đã bao hàm điều kiện phương trình có hai nghiệm phân biệt. (Chú ý điều kiện phương trình có hai nghiệm trái dấu)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 11-10-2012 - 20:32

Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!

Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath
Website: Cungnhauhoctoan.com

#4 leminhansp

leminhansp

    $\text{Hâm hấp}$

  • Hiệp sỹ
  • 606 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 10-09-2012 - 13:33

Ví dụ 5: (ĐH QGHN – 2000)
Cho hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+mx+m$
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số chỉ nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1.
Phân tích:
Bài toán tương đương với:
Tìm m để $g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+6x+m$ chỉ mang dấu âm trên một đoạn có độ dài bằng 1.
Vấn đề cần phân tích là âm trên một đoạn có độ dài bằng 1, nếu chưa từng gặp thì các em sẽ có cảm giác khá lạ lẫm với kiểu câu hỏi như thế này.
Cùng suy nghĩ một chút nhé, khi xét dấu tam thức bậc hai có những khả năng nào?
- Nếu $\Delta \le 0$ thì $g\left( x \right)$ mang dấu âm trên những khoảng nào, và khoảng ấy có độ dài như thế nào?
- Tương tự nếu $\Delta >0$ thì sao?
Khi trả lời 2 câu hỏi này các em sẽ phát hiện ra rằng chỉ khi $\Delta \ge 0$ thì mới xuất hiện một đoạn “Trong khoảng hai nghiệm” có độ dài hữu hạn và độ dài của đoạn này là $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|$ (với ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm của $g\left( x \right)$)
Từ đó ta có điều kiện tương đương của bài toán là: $\left\{ \begin{array}{l}\Delta '=9-3m>0\\ \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=1 \end{array} \right.$ Và đến đây một phản xạ tự nhiên là ta sẽ nghĩ đến định lí Viet! Bài toán được giải quyết.
LG:
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
$y'=g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+6x+m,$ $\Delta '=9-3m$
Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì $y'\le 0$ trên một đoạn có độ dài bằng 1
Nếu $\Delta '\le 0$ thì $g\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}=\left( -\infty ;+\infty \right)$ (không thỏa mãn)
Nếu $\Delta '>0\Leftrightarrow m<3$, $g\left( x \right)$ có hai nghiệm ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ và $g\left( x \right)\le 0,\forall x\in \left[ {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right]$
Khi đó, để $y'\le 0$ trên một đoạn có độ dài bằng 1 thì
$\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=1\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=1\Leftrightarrow {{\left( -2 \right)}^{2}}-4.\frac{m}{3}=1\Leftrightarrow m=\frac{9}{4}$ (thỏa mãn)
Bài toán: Cho hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$. Tìm điều kiện để hàm số đồng biến trong một khoảng có độ dài $\ge k$
Cách giải: Điều kiện của bài toán được thỏa mãn khi $y'\ge 0$ trên một khoảng có độ dài $\ge k$, điều đó xảy ra khi và chỉ khi $a<0$ và phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt ($\Delta >0$) thỏa mãn
$\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\ge k$$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}\ge {{k}^{2}}$$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}\ge {{k}^{2}}$
Sử dụng định lí Viet và suy ra kết quả.

Sau đây sẽ là một ví dụ về hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất. (Loại hàm này sẽ không gặp trong câu I.2, nhưng vẫn có thể gặp trong phần riêng trong chương trình nâng cao)

Ví dụ 6: Cho hàm số: $y=\frac{{{x}^{2}}-\left( 3m+1 \right)x+5m-1}{x-m}$ .Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng $\left( 0;1 \right)$.
LG:
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}$
Hàm số xác định trên khoảng $\left( 0;1 \right)$ nếu $m\notin \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;0 \right]\cup \left[ 1;+\infty \right)$. Khi đó:
$y'=\frac{{{x}^{2}}-2mx+3{{m}^{2}}-4m+1}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}$
Để hàm số đồng biến trong khoảng $\left( 0;1 \right)$ thì $y'\ge 0$,$\forall x\in \left( 0;1 \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+3{{m}^{2}}-4m+1\ge 0$,$\forall x\in \left( 0,1 \right)$ (*)
Xét tam thức $f\left( x \right)={{x}^{2}}-2mx+3{{m}^{2}}-4m+1$, $\Delta '=-2{{m}^{2}}+4m-1$
- Nếu: $\Delta \le 0\Leftrightarrow -2{{m}^{2}}+4m-1\le 0\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;\frac{2-\sqrt{2}}{2}\right]\cup \left[ \frac{2+\sqrt{2}}{2};+\infty \right)$
Thì $f\left( x \right)\ge 0,$$\forall x\in \mathbb{R}$, khi đó kết hợp với điều kiện ban đầu thì (*)$\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;0 \right]\cup \left[ \frac{2+\sqrt{2}}{2};+\infty \right)$
- Nếu: $\Delta >0\Leftrightarrow $$m\in \left( \frac{2-\sqrt{2}}{2};\frac{2+\sqrt{2}}{2} \right)$ (1)
Thì $f\left( x \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ và $f\left( x \right)\ge 0,$$\forall x\in \left( -\infty ;{{x}_{1}} \right]\cup \left[ {{x}_{2}};+\infty \right)$
Do đó để $f\left( x \right)\ge 0,$$\forall x\in \left( 0;1 \right)$ thì $\left( 0;1 \right)\subset \left( -\infty ;{{x}_{1}} \right]\cup \left[ {{x}_{2}};+\infty \right)$ tức là: $1\le {{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ hoặc ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 0$

TH1: ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 0\Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}<0\\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}\ge 0 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}2m<0\\ 3{{m}^{2}}-4m+1\ge 0 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow m<0$ (Không t/m)

TH2: $1\le {{x}_{1}}<{{x}_{2}}$$\Leftrightarrow 0<{{x}_{1}}-1<{{x}_{2}}-1$ (**)
Đặt $t=x-1\Leftrightarrow x=t+1$, thế vào $f\left( x \right)$ ta được:
$g\left( t \right)={{\left( t+1 \right)}^{2}}-2m\left( t+1 \right)+3{{m}^{2}}-4m+1={{t}^{2}}+\left( 2-2m \right)t+3{m}^{2}-6m+2$

(**)$\Leftrightarrow 0\le {{t}_{1}}<{{t}_{2}}$ với ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ là nghiệm của $g\left( t \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{t}_{1}}+{{t}_{2}}>0\\ {{t}_{1}}{{t}_{2}}\ge 0 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}2m-2>0\\ 3m-6m+2\ge 0 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow $$m\ge \frac{3+\sqrt{3}}{3}$

Kết hợp với điều kiện (1) $\Rightarrow$ $m$ $\in$ $\left( \frac{3+\sqrt{3}}{3};\frac{2+\sqrt{2}}{2} \right)$
Kết luận: Vậy với $m\in \left( -\infty ;0 \right]\cup \left[ \frac{3+\sqrt{3}}{3};+\infty \right)$ thì thỏa mãn điều kiện đề bài!
Chú ý: Nhiều tài liệu trình bày lời giải bài toán trên rất ngắn gọi dựa vào định lí đảo dấu tam thức bậc hai, định lí này hiện không được giới thiệu trong SGK chương trình THPT, vì vậy các em cần chú ý.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 27-09-2012 - 01:12

Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!

Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath
Website: Cungnhauhoctoan.com

#5 leminhansp

leminhansp

    $\text{Hâm hấp}$

  • Hiệp sỹ
  • 606 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 10-09-2012 - 13:36

Xu hướng ra đề hiện nay thường không quá khó mà đánh vào tâm lí lười suy nghĩ của học sinh, đề bài thường dùng ngôn ngữ khác để ẩn đi nội dung của câu hỏi, vì vậy các em cần rèn luyện một tâm lí bình tĩnh vững vàng và không được lười biếng!
Với một số ví dụ như trên chắc chắn chưa thể giúp các em nắm chắc được các bài toán về tính đơn điệu vì vậy các em cần tự mình rèn luyện bằng cách làm các bài tập. một lời khuyên chân thành đó là dù bài tập dễ hay khó các em nên ít nhất một lần làm nó thật cẩn thận trình bày rõ ràng và làm ra đến kết kết quả cuối cùng!

Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hàm số: $y=\frac{1}{3}\left( m-1 \right){{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+\left( 3m-2 \right)x$. Tìm m để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Bài 2: Cho hàm số: $y=\frac{mx+5m-6}{x+m}$.
a. Tìm m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
b. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -2;-1 \right)$
c. Tìm m để hàm số đồng biến trên hai khoảng $\left( -\infty ;-4 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right)$
Bài 3: Cho hàm số: $y=\tfrac{-1}{3}{{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( m+3 \right)x-4$. Tìm m để hàm số đồng biến trên (0, 3)
Bài 4: Cho hàm số: $y={{x}^{3}}-2(m+1){{x}^{2}}+(12m+5)x+2$.
Tìm m đề hàm số đồng biến trên $( - \infty ; - 1]$ và $[2;+ \infty )$.
Bài 5: Cho hàm số $y=\tfrac{1}{3}\left( m+1 \right){{x}^{3}}+\left( 2m-1 \right){{x}^{2}}-\left( 3m+2 \right)x+m$.
Tìm m để khoảng nghịch biến của hàm số có độ dài bằng 4
Bài 6: Cho hàm số: $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+\left( 3m+2 \right)x-5m+2$
Tìm m để hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1.
Bài 7: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}-3m+1$. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 1;2 \right)$
Bài 8: Tìm m để hàm số$y=mx+\sin x+\tfrac{1}{4}\sin 2x+\tfrac{1}{9}\sin 3x$ tăng với mọi $x\in \mathbb{R}$
Bài 9: Cho hàm số: $y=\tfrac{2{{x}^{2}}+\left( 1-m \right)x+1+m}{x-m}$. Tìm m để hàm số đồng biến trên $\left( 1,+\infty \right)$
Tài liệu tham khảo:
[1] Trần Sĩ Tùng: 200 bài toán khảo sát hàm số - 2012
[2] Trần Phương: Bài giảng luyện thi Đại học
[3] Nguyễn Anh Dũng: Chuẩn bị trước kì thi - Tạp chí TH & TT
[5] Các bài thảo luận trên VMF.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 10-09-2012 - 14:27

Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!

Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath
Website: Cungnhauhoctoan.com

#6 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3823 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 15-09-2012 - 08:31

QUY ĐỊNH VỀ THẢO LUẬN

  • Tuân thủ Nội quy diễn đàn.
     
  • Khi hỏi bài tập cần nêu rõ nguồn (đề thi, bài trên lớp, trong sách...) và trình bày những suy nghĩ của mình về bài toán đó (đã làm được đến đâu, đề có chỗ nào chưa hiểu, chưa xử lí được điều kiện nào).
     
  • Khi giải bài (giúp các bạn khác) cố gắng đưa ra lời hướng dẫn hoặc đường hướng giải quyết bài toán hay phân tích rõ các giả thiết của bài toán và sử dụng các giả thiết ấy như thế nào... 

    Khuyến khích cả các bạn chưa có lời giải cuối cùng cũng tham gia thảo luận (chẳng hạn như "mình nghĩ phải làm thế này thế này, nhưng chỉ làm được đến đây thì chịu...", hay "BĐT ấy mình đánh giá được đến đây rồi bạn nào giúp mình đánh giá tiếp với...").
     
  • Bên cạnh các bài tập tự luyện, khuyến khích các bạn gửi những bài toán hay (kể cả các bạn đã làm được và chưa làm được) trong quá trình ôn tập mà các bạn gặp phải.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 24-05-2013 - 02:16

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#7 mathwin5i

mathwin5i

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-09-2012 - 11:58

Ví dụ 5: (ĐH QGHN – 2000)
Cho hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+mx+m$
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1.
Phân tích:
Bài toán tương đương với:
Tìm m để $g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+6x+m$ có mang dấu âm trên một đoạn có độ dài bằng 1.
Vấn đề cần phân tích là âm trên một đoạn có độ dài bằng 1, nếu chưa từng gặp thì các em sẽ có cảm giác khá lạ lẫm với kiểu câu hỏi như thế này.
Cùng suy nghĩ một chút nhé, khi xét dấu tam thức bậc hai có những khả năng nào?
- Nếu $\Delta \le 0$ thì $g\left( x \right)$ mang dấu âm trên những khoảng nào, và khoảng ấy có độ dài như thế nào?
- Tương tự nếu $\Delta >0$ thì sao?
Khi trả lời 2 câu hỏi này các em sẽ phát hiện ra rằng chỉ khi $\Delta \ge 0$ thì mới xuất hiện một đoạn “Trong khoảng hai nghiệm” có độ dài hữu hạn và độ dài của đoạn này là $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|$ (với ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm của $g\left( x \right)$)
Từ đó ta có điều kiện tương đương của bài toán là: $\left\{ \begin{array}{l}\Delta '=9-3m>0\\ \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=1 \end{array} \right.$ Và đến đây một phản xạ tự nhiên là ta sẽ nghĩ đến định lí Viet! Bài toán được giải quyết.
LG:
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
$y'=g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+6x+m,$ $\Delta '=9-3m$
Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì $y'\le 0$ trên một đoạn có độ dài bằng 1
Nếu $\Delta '\le 0$ thì $g\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}=\left( -\infty ;+\infty \right)$ (không thỏa mãn)
Nếu $\Delta '>0\Leftrightarrow m<3$, $g\left( x \right)$ có hai nghiệm ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ và $g\left( x \right)\le 0,\forall x\in \left[ {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right]$
Khi đó, để $y'\le 0$ trên một đoạn có độ dài bằng 1 thì
$\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=1\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=1\Leftrightarrow {{\left( -2 \right)}^{2}}-4.\frac{m}{3}=1\Leftrightarrow m=\frac{9}{4}$ (thỏa mãn)
Bài toán: Cho hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$. Tìm điều kiện để hàm số đồng biến trong một khoảng có độ dài $\ge k$
Cách giải: Điều kiện của bài toán được thỏa mãn khi $y'\ge 0$ trên một khoảng có độ dài $\ge k$, điều đó xảy ra khi và chỉ khi $a<0$ và phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt ($\Delta >0$) thỏa mãn
$\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\ge k$$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}\ge {{k}^{2}}$$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}\ge {{k}^{2}}$
Sử dụng định lí Viet và suy ra kết quả.

Sau đây sẽ là một ví dụ về hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất. (Loại hàm này sẽ không gặp trong câu I.2, nhưng vẫn có thể gặp trong phần riêng trong chương trình nâng cao)

Ví dụ 6: Cho hàm số: $y=\frac{{{x}^{2}}-\left( 3m+1 \right)x+5m-1}{x-m}$ .Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng $\left( 0;1 \right)$.
LG:
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}$
Hàm số xác định trên khoảng $\left( 0;1 \right)$ nếu $m\notin \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;0 \right]\cup \left[ 1;+\infty \right)$. Khi đó:
$y'=\frac{{{x}^{2}}-2mx+3{{m}^{2}}-4m+1}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}$
Để hàm số đồng biến trong khoảng $\left( 0;1 \right)$ thì $y'\ge 0$,$\forall x\in \left( 0;1 \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+3{{m}^{2}}-4m+1\ge 0$,$\forall x\in \left( 0,1 \right)$ (*)
Xét tam thức $f\left( x \right)={{x}^{2}}-2mx+3{{m}^{2}}-4m+1$, $\Delta '=-2{{m}^{2}}+4m-1$
- Nếu: $\Delta \le 0\Leftrightarrow -2{{m}^{2}}+4m-1\le 0\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;\frac{2-\sqrt{2}}{2}\right]\cup \left[ \frac{2+\sqrt{2}}{2};+\infty \right)$
Thì $f\left( x \right)\ge 0,$$\forall x\in \mathbb{R}$, khi đó kết hợp với điều kiện ban đầu thì (*)$\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;0 \right]\cup \left[ \frac{2+\sqrt{2}}{2};+\infty \right)$
- Nếu: $\Delta >0\Leftrightarrow $$m\in \left( \frac{2-\sqrt{2}}{2};\frac{2+\sqrt{2}}{2} \right)$
Thì $f\left( x \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ và $f\left( x \right)\ge 0,$$\forall x\in \left( -\infty ;{{x}_{1}} \right]\cup \left[ {{x}_{2}};+\infty \right)$
Do đó để $f\left( x \right)\ge 0,$$\forall x\in \left( 0;1 \right)$ thì $\left( 0;1 \right)\subset \left( -\infty ;{{x}_{1}} \right]\cup \left[ {{x}_{2}};+\infty \right)$ tức là: $1\le {{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ hoặc ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 0$

TH1: ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 0\Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}<0\\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}\ge 0 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}2m<0\\ 3{{m}^{2}}-4m+1\ge 0 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow m<0$ (Không t/m)

TH2: $1<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$$\Leftrightarrow 0<{{x}_{1}}-1<{{x}_{2}}-1$ (**)
Đặt $t=x-1\Leftrightarrow x=t+1$, thế vào $f\left( x \right)$ ta được:
$g\left( t \right)={{\left( t+1 \right)}^{2}}-2m\left( t+1 \right)+3{{m}^{2}}-4m+1={{t}^{2}}+\left( 2-2m \right)t+3{m}^{2}-6m+2$

(**)$\Leftrightarrow 0\le {{t}_{1}}<{{t}_{2}}$ với ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ là nghiệm của $g\left( t \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{t}_{1}}+{{t}_{2}}<0\\ {{t}_{1}}{{t}_{2}}\ge 0 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}2m-2<0\\ 3m-6m+2\ge 0 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow $$m\le \frac{3-\sqrt{3}}{3}$
Kết luận: Vậy với $m\in \left( -\infty ;0 \right]\cup \left[ \frac{2+\sqrt{2}}{2};+\infty \right)$ thì thỏa mãn điều kiện đề bài!
Chú ý: Nhiều tài liệu trình bày lời giải bài toán trên rất ngắn gọi dựa vào định lí đảo dấu tam thức bậc hai, định lí này hiện không được giới thiệu trong SGK chương trình THPT, vì vậy các em cần chú ý.

có một chút ý kiến thế này mọi người cùng thảo luận xem nhé.
Ở ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1.
Câu hỏi là: Nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 hay phải là nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 1.
Nếu hàm số luôn nghịch biến thì có được coi là nghịch biến trên đoạn có độ dài 1 không???

#8 thaonguyen_xanh_197

thaonguyen_xanh_197

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đã gửi 15-09-2012 - 12:17

theo mình nghĩ, đối với ví dụ 5 thì , nghịch biến ở đây không giới hạn phải đúng bằng 1, bởi vì nếu hàm số nghịch biến trên [0;2] thì hàm số vẫn nghịch biến trên đoạn [0;1]. Còn hàm số luôn nghịch biến với mọi x thì tất nhiên sẽ nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 >:)

#9 tkf

tkf

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

Đã gửi 15-09-2012 - 14:02

có một chút ý kiến thế này mọi người cùng thảo luận xem nhé.
Ở ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1.
Câu hỏi là: Nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 hay phải là nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 1.
Nếu hàm số luôn nghịch biến thì có được coi là nghịch biến trên đoạn có độ dài 1 không???


Theo như bài của thầy mình giảng thì cũng giống bài giảng trên đây.
XIn có ý kiến trả lời bạn :trên VD hàm số phải là nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 1
còn nếu hàm số luôn nghịch biến thì không được coi là nghịch biến trên đoạn có độ dài 1.

#10 leminhansp

leminhansp

    $\text{Hâm hấp}$

  • Hiệp sỹ
  • 606 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 15-09-2012 - 19:11

Ở ví dụ 5, đề bài hỏi như thế thì hiểu là nó có độ dài đúng bằng 1 các em nhé!
p/s: Cái này mình cũng tham khảo một số tài liệu đều hiểu như thế, em có thể đọc kĩ lại phần phân tích của mình ở ví dụ đó nhé!

Điều mình mong muốn khi các em đọc bài giảng này đó là học được cách phân tích một bài toán, đó là một thói quen sẽ rất hữu ích khi giải toán!


em xin lỗi chút đã spam:cho em hỏi các bài giảng có có file down không ạ,em xin cảm ơn nhiều


Các bạn có thể đọc tạm bản dưới đây, khi nào ban quản trị tổng hợp hết các bài giảng sẽ có bản đẹp hơn bao gồm cả phần thảo luận
Rất mong các bạn bên cạnh đọc bài giảng, làm bài tập hãy đóng góp thêm các bài tập hay mà các bạn gặp trong quá trình học thu lượm được nhé!
Có một vài sai sót đáng tiếc trong bài giảng đã được sửa, mong các bạn thông cảm!

File gửi kèm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 27-09-2012 - 01:28

Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!

Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath
Website: Cungnhauhoctoan.com

#11 minhson95

minhson95

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 514 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH Bách Khoa Hà Nội

Đã gửi 15-09-2012 - 20:47

B – Một số ví dụ:
Bắt đầu với một ví dụ đơn giản và các em cần chú ý cách trình bày

Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của hàm số sau: $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-2x+2.$
LG:
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
Ta có: $y'={{x}^{2}}-x-2$, $y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2=0\Leftrightarrow$$\left[ \begin{array}{l}x = -1\\x=2 \end{array} \right.$
Bảng xét dấu y’:
$$\begin{array}{|c|c|}
\hline \text{x} & -\infty \;\;\;\;\;\;\;\;\;-1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\infty\\
\hline \text{y'} &\;\;\;\;\;-\;\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;-\;\;\;\;\; \\
\hline
\end{array}$$
Kết luận:
- Hàm số đồng biến trên $\left( -1;2 \right)$
- Hàm số nghịch biến trên $\left( -\infty ;-1 \right)$ và $\left( 2;+\infty \right)$

Chú ý: Khi kết luận tính đơn điệu các em không được viết, chẳng hạn:
“Hàm số nghịch biến trên $\left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)$”, hoặc “hàm số đồng biến $\forall x\ne a$”, hoặc “đồng biến trên tập xác định”
Viết như thế là sai về bản chất, nếu $y'>0,\forall x\ne a$ thì ta kết luận: hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;a \right)$ và $\left( a;+\infty \right)$

Ví dụ 2: Cho hàm số: $y=\frac{mx+4}{x+m}$. Tìm m để hàm số nghịch biến trên $\left( -1;1 \right)$.
Phân tích:
- Nhận dạng, thuộc dạng xét tính đơn điệu, như vậy cần tính y’ và xét dấu y’
- Đây là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, đạo hàm của nó có dấu không phụ thuộc vào x, tức là $y'>0,\forall x\in D$ hoặc $y'<0,\forall x\in D$, như vậy với điều kiện đầu tiên “hàm nghịch biến” ta cần:
$y'=\frac{{{m}^{2}}-4}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}<0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4<0$
- Khi đó ta có hàm số nghịch biến trên $\left( -\infty ;-m \right)$ và $\left( -m;+\infty \right)$
- Vậy làm thế nào để có hàm nghịch biến trên $\left( -1;1 \right)$? Tốt nhất các em thực hiện việc xét vị trí tương đối của ba điểm $1,-1,-m$ trên trục số các em sẽ nhận ra được để thỏa mãn điều kiện này thì $-m$ phải nằm ngoài 2 điểm $-1$ và 1, tức là $-m\notin \left( -1;1 \right)\Leftrightarrow m\notin \left( -1;1 \right)$.

Từ đó các em có lời giải:
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -m \right\}$
$y'=\frac{{{m}^{2}}-4}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}$
Để hàm số nghịch biến trên $\left( -1;1 \right)$ thì $y'<0,\forall x\in \left( -1;1 \right)$$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 < 0\\ -m\notin \left( -1;1 \right) \end{array} \right.$$\Leftrightarrow m\in \left( -2;-1 \right)\cup \left( 1;2 \right)$
Vậy với $m\in \left( -2;-1 \right)\cup \left( 1;2 \right)$ thì thỏa mãn điều kiện đề bài


Mọi người cho em hỏi sao ở VD2 sao lại có "- Khi đó ta có hàm số nghịch biến trên $\left( -\infty ;-m \right)$ và $\left( -m;+\infty \right)$" và sao phải xét $-m\notin (-1,1)$ mà không phải là m

#12 thaonguyen_xanh_197

thaonguyen_xanh_197

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đã gửi 15-09-2012 - 21:00

mọi người có thể giải thích cho mình vì sao lại nghịch biến trên đoạn đúng bằng 1 không :(

#13 Oh Yeah

Oh Yeah

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trên Trời rơi xuống

Đã gửi 15-09-2012 - 21:09

B – Một số ví dụ:
Bắt đầu với một ví dụ đơn giản và các em cần chú ý cách trình bày

Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của hàm số sau: $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-2x+2.$
LG:
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
Ta có: $y'={{x}^{2}}-x-2$, $y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2=0\Leftrightarrow$$\left[ \begin{array}{l}x = -1\\x=2 \end{array} \right.$
Bảng xét dấu y’:
$$\begin{array}{|c|c|}
\hline \text{x} & -\infty \;\;\;\;\;\;\;\;\;-1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\infty\\
\hline \text{y'} &\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;\;-\;\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\; \\
\hline
\end{array}$$
Kết luận:
- Hàm số nghịch biến trên $\left( -1;2 \right)$
- Hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;-1 \right)$ và $\left( 2;+\infty \right)$

Thầy cho em hỏi có thể kết luận như thế này được không ạ:
- Hàm số nghịch biến trên $\left[ -1;2 \right]$
- Hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;-1 \right]$ và $\left[ 2;+\infty \right)$


#14 hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản trị
  • 863 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sao Hỏa
  • Sở thích:toán, toán và.... toán

Đã gửi 15-09-2012 - 21:56

Mọi người cho em hỏi sao ở VD2 sao lại có "- Khi đó ta có hàm số nghịch biến trên $\left( -\infty ;-m \right)$ và $\left( -m;+\infty \right)$" và sao phải xét $-m\notin (-1,1)$ mà không phải là m

M
Mình xin trình bày lại bài này

Cho hàm số: $y=\frac{mx+4}{x+m}$. Tìm m để hàm số nghịch biến trên $\left( -1;1 \right)$.

* TXĐ: $D=\mathbb{R} / \begin{Bmatrix} -m \end{Bmatrix}$

$y'=\frac{m^{2}-4}{(x+m)^{2}}$

Để hàm số nghịch biến trên $\left( -1;1 \right)$ thì:

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y'\leq 0\\ \begin{bmatrix} -m\leq -1\\ -m\geq 1 \end{bmatrix} \end{matrix}\right.$

Sở dĩ ta có điều kiện $\begin{bmatrix} -m\leq -1\\ -m\geq 1 \end{bmatrix}$ vì ta có TXĐ là $D=\mathbb{R} / \begin{Bmatrix} -m \end{Bmatrix}$ nên giả sử $-m \in (-1;1)$ thì đồ thị hàm số sẽ bị ngắt quãng tại vị trí $-m$, hàm không có liên tục

Đôi khi ngâm cứu Toán thấy cũng phê


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#15 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 15-09-2012 - 21:58

Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hàm số: $y=\frac{1}{3}\left( m-1 \right){{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+\left( 3m-2 \right)x$. Tìm m để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Ta có:
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
$$y=\frac{1}{3}\left( m-1 \right){{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+\left( 3m-2 \right)x\\
y'=(m-1)x^2+2mx+3m-2$$
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow y' \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}\Leftrightarrow (m-1)x^2+2mx+3m-2 \geq 0 , \forall x \in \mathbb{R}$
Xét $m=1$ thì ta được $(m-1)x^2+2mx+3m-2 \geq 0 , \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow 1+2x \geq 0 , \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow x \geq -\frac{1}{2} , \forall x \in \mathbb{R}$
(Vô lý)
Xét $m \neq 1$ thì ta được $(m-1)x^2+2mx+3m-2 \geq 0 , \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
m-1 > 0\\
\Delta' \leq 0
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow
m \geq 2$
Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow m \geq 2$
________________
P/s: Lần đầu làm dạng này !!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 15-09-2012 - 21:58

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#16 leminhansp

leminhansp

    $\text{Hâm hấp}$

  • Hiệp sỹ
  • 606 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 15-09-2012 - 22:27

Mọi người cho em hỏi sao ở VD2 sao lại có "- Khi đó ta có hàm số nghịch biến trên $\left( -\infty ;-m \right)$ và $\left( -m;+\infty \right)$" và sao phải xét $-m\notin (-1,1)$ mà không phải là m


Em xem lại một chút lí thuyết nhé
Khi đó ta có hàm số nghịch biến trên $\left( -\infty ;-m \right)$ và $\left( -m;+\infty \right)$: vì $y' \le 0$ với mọi $x$ khác $-m$
sao phải xét $-m\notin (-1,1)$ mà không phải là m: Bởi vì chú ý răng hàm số không xác định tại $-m$ (Chứ không phải $m$) nên nếu $-m$ thuộc $(-1;1)$ thì không thỏa đk hàm nghịch biến trên $(-1;1)$ (muốn nghịch biến trước hết phải xác định trên đó đã)
Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!

Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath
Website: Cungnhauhoctoan.com

#17 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 15-09-2012 - 23:07

Bài 2: Cho hàm số: $y=\frac{mx+5m-6}{x+m}$.
a. Tìm m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
b. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -2;-1 \right)$
c. Tìm m để hàm số đồng biến trên hai khoảng $\left( -\infty ;-4 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right)$

TXĐ: $D=\mathbb{R} /\{-m\}$
Xét hàm số $y=\frac{mx+5m-6}{x+m}$
Ta có $y'=\dfrac{(m-2)(m-3)}{(x+m)^2}$
a) Hàm số luôn nghịch biến trên $D$
$\Leftrightarrow y'<0, \forall x \in D$
$\Leftrightarrow 2 <m<3$
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -2;-1 \right)$
$\Leftrightarrow y'<0, \forall x \in \left( -2;-1 \right) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
2<m<3\\
-m \notin \left( -2;-1 \right)
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow 2<m<3$
c) Hàm số đồng biến trên hai khoảng $\left( -\infty ;-4 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right)$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
y'\geq0, \forall x \in \left( -\infty ;-4 \right)\\
y'\geq0, \forall x \in \left( 1;+\infty \right)
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
(m-2)(m-3)\geq 0\\
-m \notin \left( -\infty ;-4 \right)\\
-m \notin \left( 1;+\infty \right)

\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
-1 \leq m \leq 2\\
3 \leq m \leq 4
\end{matrix}\right.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 15-09-2012 - 23:17

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#18 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 15-09-2012 - 23:32

Bài 3: Cho hàm số: $y=\tfrac{-1}{3}{{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( m+3 \right)x-4$. Tìm m để hàm số đồng biến trên (0, 3)

Xét hàm số: $y=\dfrac{-1}{3}{{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( m+3 \right)x-4$
Ta có $y'=f(x)=-x^2+2(m-1)x+m+3$
Hàm số đồng biến trên $(0, 3) $
$\Leftrightarrow y' \geq 0 , \forall x \in (0,3) \Leftrightarrow y' \geq 0 , \forall x \leq 3 \Leftrightarrow f(3) \geq 0 \Leftrightarrow m \geq \frac{12}{7}$
(Do đồ thị hàm số $y'=f(x)$ là một parabol hướng xuống, đỉnh luôn ở phần trên của $Ox$)

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#19 tangbangtroi17

tangbangtroi17

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

Đã gửi 15-09-2012 - 23:51

Mình nghĩ ở VD3 ấy,nếu dùng cách 2 thì muốn tính max g(x) thì phải xét trên đoạn mới hợp lí tuy đề yêu cầu trên khoảng,đối với chương trình của chúng ta chỉ xét tính đơn điệu trên tập hữu hạn điểm thì phải.Mình xin trình bày lại cách 2 của ví dụ 3 như sau
TXĐ: D=R
Xet h/s trên đoạn 2;3 rồi tất cả như trên .đến lúc kết luận thì kết luận trên khoảng
Nó áp dụng cho bài 3 đó!

Mình nghĩ ở VD3 ấy,nếu dùng cách 2 thì muốn tính max g(x) thì phải xét trên đoạn mới hợp lí tuy đề yêu cầu trên khoảng,đối với chương trình của chúng ta chỉ xét tính đơn điệu trên tập hữu hạn điểm thì phải.Mình xin trình bày lại cách 2 của ví dụ 3 như sau
TXĐ: D=R
Xet h/s trên đoạn 2;3 rồi tất cả như trên .đến lúc kết luận thì kết luận trên khoảng
Nó áp dụng cho bài 3 đó!


Cảm ơn bạn, mình đã sửa lại!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 16-09-2012 - 15:34


#20 Dungnhi

Dungnhi

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-09-2012 - 00:41

TXĐ: $D=\mathbb{R} /\{-m\}$
Xét hàm số $y=\frac{mx+5m-6}{x+m}$
Ta có $y'=\dfrac{(m-2)(m-3)}{(x+m)^2}$
a) Hàm số luôn nghịch biến trên $D$
$\Leftrightarrow y'<0, \forall x \in D$
$\Leftrightarrow 2 <m<3$
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -2;-1 \right)$
$\Leftrightarrow y'<0, \forall x \in \left( -2;-1 \right) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
2<m<3\\
-m \notin \left( -2;-1 \right)
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow 2<m<3$
c) Hàm số đồng biến trên hai khoảng $\left( -\infty ;-4 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right)$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
y'\geq0, \forall x \in \left( -\infty ;-4 \right)\\
y'\geq0, \forall x \in \left( 1;+\infty \right)
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
(m-2)(m-3)\geq 0\\
-m \notin \left( -\infty ;-4 \right)\\
-m \notin \left( 1;+\infty \right)

\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
-1 \leq m \leq 2\\
3 \leq m \leq 4
\end{matrix}\right.$$

ở câu c Hàm số đồng biến trên hai khoảng $\left( -\infty ;-4 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right)$ thì có thể đưa về hàm số nghịch biến trên ( -4;1)đc ko mọi ng??? :)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh