Chủ đề này có 20 trả lời

[alibaba00]

Chứng minh rằng $\sqrt{2}$ là số vô tỉ
P/s:Đây là câu số học trong đề thi chuyên Quang Trung Bình Phước.Thật bấy ngờ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 15-09-2012 - 20:02

[funcalys]

Cách rộng rãi là giả sử viết được $\sqrt{2}=\frac{m}{n}$ dưới dạng tối giản, bình phương 2 vế r suy ra mâu thuẫn

[C a c t u s]

Chứng minh rằng $\sqrt{2}$ là số vô tỉ
P/s:Đây là câu số học trong đề thi chuyên Quang Trung Bình Phước.Thật bấy ngờ

Giả sử $\sqrt{2}$ là số hữu tỉ.
Khi đó ta có: $\sqrt{2}=\frac{m}{n} (m;n=1)$
$\Rightarrow 2=\frac{m^2}{n^2}$
$\Rightarrow 2n^2=m^2$
$\Rightarrow m \vdots n (2;1=1)$
$\Rightarrow$ Điều giả sử vô lý
$\Rightarrow \sqrt{2}$ là số vô tỷ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi C a c t u s: 15-09-2012 - 19:55

[L Lawliet]

Chứng minh rằng $\sqrt{2}$ là số vô tỉ
P/s:Đây là câu số học trong đề thi chuyên Quang Trung Bình Phước.Thật bấy ngờ

Giải:
Giả sử $\sqrt{2}$ là số hữu tỉ, tức là $\sqrt{2}$ có dạng: $\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$ với điều kiện $(a;b)=1$.
Bình phương hai vế và quy đồng ta được: $a^2=2b^2$.
Suy ra $a^2$ chia hết cho $2$ nên $a$ chia hết cho $2$ vì $(a;b)=1$. Đặt $a=2k$, thay vào phương trình đầu và rút gọn ta được: $2k^2=b^2$.
Lập luận tương tự ta được $b=2h$, kết hợp với điều giả sử ta được $Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 15-09-2012 - 19:59

[L Lawliet]

Nguồn là MS mà không ghi nguồn

Em thưa anh cái đấy là nick của bạn em sáng em làm đấy thằng đó là Trương Minh Quang lớp 10 chuyên Toán Tin Nguyễn Du nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 15-09-2012 - 20:12

[tinhyeutuoitre]

nhân đây cho lên bài toán mở rộng, cách làm hoàn toàn tương tự nhé
chứng minh rằng $\sqrt{a}$ là số vô tỉ nếu a là số tự nhiên không chính phương

[zhugeliang]

nhân đây cho lên bài toán mở rộng, cách làm hoàn toàn tương tự nhé
chứng minh rằng $\sqrt{a}$ là số vô tỉ nếu a là số tự nhiên không chính phương

Giả sử $\sqrt{a}$ là số tự nhiên, suy ra $\sqrt{a}=b (b\in \mathbb{N})$
$\Leftrightarrow a=b^{2}$
$\Leftrightarrow a$ là số tự nhiên chính phương
$\Leftrightarrow$ Mẫu thuẫn giả thiết
Vậy nếu $a$ là số tự nhiên không chính phương thì $\sqrt{a}$ là số vô tỉ.

[tinhyeutuoitre]

Giả sử $\sqrt{a}$ là số tự nhiên, suy ra $\sqrt{a}=b (b\in \mathbb{N})$
$\Leftrightarrow a=b^{2}$
$\Leftrightarrow a$ là số tự nhiên chính phương
$\Leftrightarrow$ Mẫu thuẫn giả thiết
Vậy nếu $a$ là số tự nhiên không chính phương thì $\sqrt{a}$ là số vô tỉ.

bạn làm sai rồi,theo bạn thì chỉ chứng minh được $\sqrt{a}$ không là số tự nhiên thế nếu nó bằng 4/5 thì sao?

[zhugeliang]

bạn làm sai rồi,theo bạn thì chỉ chứng minh được $\sqrt{a}$ không là số tự nhiên thế nếu nó bằng 4/5 thì sao?

Vì a vốn thuộc N nên căn a sẽ không cho số hữu tỉ dù a là số chính phương hay không.

[tinhyeutuoitre]

điều đó là đúng nhưng nó chỉ là 1 khẳng định chưa được chứng minh trong bài của bạn
mặc dù biết điều đó là đơn giản thôi nhưng tôi chỉ muốn nói bài làm của bạn còn chưa chặt.

[dinhthanhhung]

giả sử $\sqrt{a}=\frac{m}{n}$ sao cho $(m;n)=1$ và $m;n \in N^{*}$
$\Rightarrow a=\frac{m^{2}}{n^{2}}\Rightarrow an^{2}=m^{2}$$\Rightarrow m^{2}\vdots n^{2}\Rightarrow m\vdots n\Rightarrow (m;n)=n$
$\Rightarrow n=1 \Rightarrow a=m^{2}$ vô lý

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhthanhhung: 17-09-2012 - 21:24

[yellow]

nhân đây cho lên bài toán mở rộng, cách làm hoàn toàn tương tự nhé
chứng minh rằng $\sqrt{a}$ là số vô tỉ nếu a là số tự nhiên không chính phương

Giả sử $\sqrt{a}$ là số tự nhiên, suy ra $\sqrt{a}=b (b\in \mathbb{N})$
$\Leftrightarrow a=b^{2}$
$\Leftrightarrow a$ là số tự nhiên chính phương
$\Leftrightarrow$ Mẫu thuẫn giả thiết
Vậy nếu $a$ là số tự nhiên không chính phương thì $\sqrt{a}$ là số vô tỉ.

bạn làm sai rồi,theo bạn thì chỉ chứng minh được $\sqrt{a}$ không là số tự nhiên thế nếu nó bằng 4/5 thì sao?

giả sử $\sqrt{a}=\frac{m}{n}$ sao cho $(m;n)=1$ và $m;n \in N^{*}$
$\Rightarrow a=\frac{m^{2}}{n^{2}}\Rightarrow an^{2}=m^{2}$$\Rightarrow m^{2}\vdots n^{2}\Rightarrow m\vdots n\Rightarrow (m;n)=n$
$\Rightarrow n=1 \Rightarrow a=m^{2}$ vô lý

Giả sử $\sqrt{a}$ là số hữu tỉ thì nó viết được dưới dạng:
$\sqrt{a}=\frac{m}{n}$ với $m,n\in \mathbb{N}, n\neq 0, (m,n)=1$.
Do a không là số chính phương nên $\frac{m}{n}$ không là số tự nhiên, do đó $n>1$.
Ta có $m^2=an^2$. Vì a là số tự nhiên nên $m^2\vdots n^2$. Gọi $p$ là một ước nguyên tố nào đó của $n$, thế thì $m^2\vdots p$. Như vậy $p$ là ước nguyên tố của $m$ và $n$, trái với $(m,n)=1$.
Vậy $\sqrt{a}$ phải là số vô tỉ.

[Khanh 6c Hoang Liet]

Chứng minh rằng $\sqrt{2}$ là số vô tỉ
P/s:Đây là câu số học trong đề thi chuyên Quang Trung Bình Phước.Thật bấy ngờ

Giả sử $\sqrt{2}$ là hữu tỉ, ta có :
Đặt $\sqrt{2} = \frac{m}{n}$ với $n \neq 0$ và $\left ( m ; n \right ) = 1$.
Ta có :
$\sqrt{2} = \frac{m}{n}$
$\sqrt{2} = m : n$ $\Leftrightarrow 2 = m^2 : n^2$
$\Leftrightarrow m^2 = 2n^2$
$\Rightarrow m^2$ $\vdots$ $2$ $\leftrightarrow m$ $\vdots$ $2$
Đặt $m = 2k \left ( k \in \mathbb{N} \right )$
$\Rightarrow (2k)^2 = 2n^2 \Leftrightarrow 2^2.k^2 = 2n^2$
$4.k^2 = 2n^2$ $\Leftrightarrow 2k^2 = n^2 \Rightarrow n \vdots 2$
$\Rightarrow m \vdots 2$ và $n \vdots 2$
$\Rightarrow$ Giả sử trên là sai.
$\Rightarrow$ $\sqrt{2}$ là vô tỉ.

[Oral1020]

Mình làm cách này ngắn nè
Giả sử $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ $(a,b)=1$
$\Rightarrow 2=\frac{a^2}{b^2}$
$\Rightarrow a^2=2b^2$
$\Rightarrow 2b^2$ phải là số chính phương vì bằng $a^2$
Mà 2 không phải là số chính phương nên $2b^2$ không thể là số chính phương
$\Rightarrow$Điều giải sử không đúng
Vậy ta có $ĐPCM$

[Khanh 6c Hoang Liet]

Mình làm cách này ngắn nè
Giả sử $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ $(a,b)=1$
$\Rightarrow 2=\frac{a^2}{b^2}$
$\Rightarrow a^2=2b^2$
$\Rightarrow 2b^2$ phải là số chính phương vì bằng $a^2$
Mà 2 không phải là số chính phương nên $2b^2$ không thể là số chính phương
$\Rightarrow$Điều giải sử không đúng
Vậy ta có $Điều phải chứng minh$

Cách này cũng tương tự cách của mình mà !

[Oral1020]

Cách này cũng tương tự cách của mình mà !

Mình thấy bạn đặt cái gì tùm lum với lại nhìn thì cách mình đỡ rối hơn

[ilovelife]

Mình thấy bạn đặt cái gì tùm lum với lại nhìn thì cách mình đỡ rối hơn

Bài này có trong 1 topic của mình: n là số nguyên dương không chính phương. CM $\sqrt{n}$ là số vô tỉ
Mà cách này chính là cách của @Oral1020 nhưng được viết theo dạng tổng quát

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 19-11-2012 - 21:53

[Oral1020]

Bài này có trong 1 topic của mình: n là số nguyên dương không chính phương. CM $\sqrt{n}$ là số vô tỉ

Vậy sao bạn không giải bằng cách đó =))

[tramyvodoi]

Một cách khác chứng minh $\sqrt{2}$ là vô tỉ :
Giả sử $\sqrt{2}$ là hữu tỉ. Điều này có nghĩa là tồn tại hai số nguyên dương $m$ $;$ $n$ sao cho $\frac{m}{n} = \sqrt{2}$. $(1)$
Biến đổi đẳng thức trên, ta có : $\frac{m}{n} = \frac{2n - m}{m - n}$. $(2)$
Vì $\sqrt{2}$ $>$ $1$ $\Leftrightarrow$ từ $(1)$ suy ra $m > n$ $\Leftrightarrow m > 2n - m$. $(3)$
Từ $(2)$ và $(3)$ suy ra phân số $\frac{2n - m}{m - n}$ là phân số rút gọn của phân số $\frac{m}{n}$. $(4)$
Từ $(4)$ suy ra phân số $\frac{m}{n}$ không tối giản hay $\sqrt{2}$ là vô tỉ, ngược lại với điều giả sử ở đầu bài.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 20-11-2012 - 12:21

[linh00]

Bài này lớp 7 bạn ạ Sách phát triển 7 ấy