Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $D=(x^2+yz)(y^2+zx)(z^2+xy)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-09-2012 - 08:19

Bài toán 1.
Ch0 $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh rằng:
$$\frac{a^2+b+c}{(a+1)^2}+\frac{b^2+a+c}{(b+1)^2}+\frac{c^2+a+b}{(c+1)^2}\geq \frac{9}{4}$$
Bài toán 2.
Ch0 $x,y,z\geq 0$ và $x+y+z=2$ tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$D=(x^2+yz)(y^2+zx)(z^2+xy)$$

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#2 BoBoiBoy

BoBoiBoy

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Thái Bình
  • Sở thích:Sherlock Holmes;Football;Basketball

Đã gửi 17-09-2012 - 22:15

Bài toán 2.
Ch0 $x,y,z\geq 0$ và $x+y+z=2$ tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$D=(x^2+yz)(y^2+zx)(z^2+xy)$$

Không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y\geq z$
Ta có:$(x^2+yz)(y^2+xz)(z^2+xy)\leq (x^2+y^2)(y^2+xy)(y^2+xy)\leq \frac{(x^2+2xy+3y^2)^3}{27}$
$$=\frac{\left [(x+y)^2+2y^2 \right ]^3}{27}\leq \frac{\left [\frac{3}{2}(x+y)^2 \right ]^3}{27}$$(do $y\leq \frac{x+y}{2}$)
$=\frac{(x+y)^6}{64}\leq \frac{(x+y+z)^6}{64}=1$ (do $x+y+z=2$)
Dấu bằng xảy ra khi có 2 số bằng nhau;1 số bằng 0.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoBoiBoy: 17-09-2012 - 22:17

Hình đã gửi

#3 bdtilove

bdtilove

    Hạ sĩ

  • Biên tập viên
  • 91 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-09-2012 - 18:55

Không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y\geq z$
Ta có:$(x^2+yz)(y^2+xz)(z^2+xy)\leq (x^2+y^2)(y^2+xy)(y^2+xy)\leq \frac{(x^2+2xy+3y^2)^3}{27}$
$$=\frac{\left [(x+y)^2+2y^2 \right ]^3}{27}\leq \frac{\left [\frac{3}{2}(x+y)^2 \right ]^3}{27}$$(do $y\leq \frac{x+y}{2}$)
$=\frac{(x+y)^6}{64}\leq \frac{(x+y+z)^6}{64}=1$ (do $x+y+z=2$)
Dấu bằng xảy ra khi có 2 số bằng nhau;1 số bằng 0.

Lời giải của BoBoiBoy sai rồi!!
Chỗ sai là đây, lời giải đã sử dụng đánh giá: $ (x^2+yz)(y^2+xz)(z^2+xy)\leq (x^2+y^2)(y^2+xy)(y^2+xy)\leq $ Vì x và y Max cho x=y=1! Ta thu được: $ (x^2+y^2)(y^2+xy)(y^2+xy)=8 < 1??????????$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bdtilove: 19-09-2012 - 18:56


#4 BoBoiBoy

BoBoiBoy

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Thái Bình
  • Sở thích:Sherlock Holmes;Football;Basketball

Đã gửi 25-09-2012 - 14:52

Bài toán 2.
Ch0 $x,y,z\geq 0$ và $x+y+z=2$ tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$D=(x^2+yz)(y^2+zx)(z^2+xy)$$

Ta có:
$$\sum (x^2+yz)(y^2+xz)$$
$$=(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+3xyz(x+y+z)+\sum xy(x^2+y^2)$$
$$=(xy+yz+zx)^2+(xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2)$$
$$=(xy+yz+zx)(xy+yz+zx+x^2+y^2+z^2)$$
-Nếu $xy+yz+zx\le 1$.Ta có:
$$(xy+yz+zx- 1)(xy+yz+zx-3)\ge 0$$
$$\Leftrightarrow (xy+yz+zx)(4-xy-yz-zx)\le 3$$
$$\Leftrightarrow (xy+yz+zx)((x+y+z)^2-xy-yz-zx)\le 3$$
$$\Leftrightarrow (xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)\le 3$$
hay $$\sum (x^2+yz)(y^2+xz)\le 3$$
Mà $$\sum (x^2+yz)(y^2+xz) \ge 3\sqrt[3]{(x^2+yz)^2(y^2+xz)^2(z^2+xy)^2}$$
nên ta có BĐT cần chứng minh.
-Nếu $xy+yz+zx> 1$$\Rightarrow x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx=(x+y+z)^2-xy-yz-zx< 4-1=3$.
Ta có:
$$(x^2+yz)(y^2+xz)(z^2+xy)\le\frac{(x^2+yz+y^2+xz+z^2+xy)^3}{27}<1$$.
Vậy BĐT được chứng minh.Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1;z=0$ hoặc các hoán vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoBoiBoy: 25-09-2012 - 14:53

Hình đã gửi

#5 kobietlamtoan

kobietlamtoan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 112 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trưởng THPT chuyên Vĩnh Phúc

Đã gửi 25-09-2012 - 20:24

Ta có:
$$(x^2+yz)(y^2+xz)(z^2+xy)\le\frac{(x^2+yz+y^2+xz+z^2+xy)^3}{27}<1$$.

chỗ này mình k hiểu!
$x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx = (x+y+z)^2 - xy-yz-zx\geqslant (x+y+z)^2-\frac{(x+y+z)^2}{3} = \frac{8}{3}$
Nghiêm Văn Chiến 97

#6 BoBoiBoy

BoBoiBoy

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Thái Bình
  • Sở thích:Sherlock Holmes;Football;Basketball

Đã gửi 25-09-2012 - 20:41

chỗ này mình k hiểu!
$x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx = (x+y+z)^2 - xy-yz-zx\geqslant (x+y+z)^2-\frac{(x+y+z)^2}{3} = \frac{8}{3}$


-Nếu $xy+yz+zx> 1$$\Rightarrow x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx=(x+y+z)^2-xy-yz-zx< 4-1=3$.
Ta có:
$$(x^2+yz)(y^2+xz)(z^2+xy)\le\frac{(x^2+yz+y^2+xz+z^2+xy)^3}{27}<1$$.
Vậy BĐT được chứng minh.Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1;z=0$ hoặc các hoán vị.


Hình đã gửi




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh