Chủ đề này có 1 trả lời

[c0n rua]

Cho hàm số $y = m{x^3} - 3m{x^2} + (2m + 1)x + 3 - m\,\,\,\,({C_m})$. Tìm các giá trị của $m$ sao cho hàm số có cực đại và cực tiểu. CMR khi đó đường thẳng nối 2 điểm cực đại cực tiểu của $({C_m})$ luôn đi qua 1 điểm cố định.

------

Lời nhắn từ BQT: Bạn phải đặt tiêu đề theo quy định! Những bài vi phạm sau sẽ bị xóa mà không có nhắc nhở! Cảm ơn

[Crystal]

Cho hàm số $y = m{x^3} - 3m{x^2} + (2m + 1)x + 3 - m\,\,\,\,({C_m})$. Tìm các giá trị của $m$ sao cho hàm số có cực đại và cực tiểu. CMR khi đó đường thẳng nối 2 điểm cực đại cực tiểu của $({C_m})$ luôn đi qua 1 điểm cố định.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các công việc sau.

1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại và cực tiểu.
2. Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị.
3. Chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định.

Hướng dẫn:

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

Ta có: $y' = 3m{x^2} - 6mx + 2m + 1$. Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

Điều này tương đương với phương trình $3m{x^2} - 6mx + 2m + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt.
\[ \Leftrightarrow \Delta ' = 9{m^2} - 3\left( {2m + 1} \right) = 3{m^2} - 2m - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 1\\
x < - \frac{1}{3}
\end{array} \right.\]

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị:

Thực hiện phép chia $y$ cho $y'$ ta được: $y = q\left( x \right)y' + r\left( x \right)$. khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $y = r\left( x \right)$.

Ta có: \[y = \frac{1}{3}\left( {x - 1} \right)\left( {3m{x^2} - 6mx + 2m + 1} \right) - \frac{2}{3}\left( {m - 1} \right)x - \frac{1}{3}m + \frac{{10}}{3}\]
Suy ra, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $d:y = - \frac{2}{3}\left( {m - 1} \right)x - \frac{1}{3}m + \frac{{10}}{3}$.

Viết $d$ thành: $3y = - 2mx + 2x - m + 10 \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)m + 3y - 10 = 0\,\,\,\,(1)$.

$d$ đi qua điểm cố định khi $(1)$ không phụ thuộc vào $m$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + 1 = 0\\
3y - 10 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - \frac{1}{2}\\
y = \frac{{10}}{3}
\end{array} \right.$.

Vậy đường thẳng $d$ luôn đi qua điểm cố định $M\left( { - \frac{1}{2};\frac{{10}}{3}} \right)$.