Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * - 1 Bình chọn

$ \sqrt{a^2+2b}+\sqrt{b^2+2c}+\sqrt{c^2+2a} \ge 3\sqrt{3} $


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 bdtilove

bdtilove

    Hạ sĩ

  • Biên tập viên
  • 91 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-09-2012 - 10:30

Cho $ a, b, c \ge 0 $ thỏa mãn: $a+b+c=3 $. Chứng minh rằng:
$ \sqrt{a^2+2b}+\sqrt{b^2+2c}+\sqrt{c^2+2a} \ge 3\sqrt{3} $

#2 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-09-2012 - 20:01

Cho $ a, b, c \ge 0 $ thỏa mãn: $a+b+c=3 $. Chứng minh rằng:
$ \sqrt{a^2+2b}+\sqrt{b^2+2c}+\sqrt{c^2+2a} \ge 3\sqrt{3} $

Đặt $a=3x,b=3y,c=3z$ thì $x,y,z\geq 0$ và $x+y+z=1$.Viết lại ĐPCM thành:
$$\sqrt{3x^2+2y}+\sqrt{3y^2+2z}+\sqrt{3z^2+2x}\geq 3$$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$$3\sqrt{3x^2+2y}=\sqrt{[x^2+2(x^2+y)](1+8)}\geq x+4\sqrt{x^2+y}$$

Tương tự và cộng lại,để ý $x+y+z=1$ thì ta chỉ phải chứng minh:
$$\sqrt{x^2+y}+\sqrt{y^2+z}+\sqrt{z^2+x}\ge 2$$
Tèn ten lại ra bài toán quen thuộc này:
http://diendantoanho...t2/#entry353915
:))

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 18-09-2012 - 20:02

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#3 Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:K46- Toán1 Chuyên Sư Phạm
  • Sở thích:Nghe nhạc, đánh đàn guitar và làm BDT

Đã gửi 20-09-2012 - 19:26

Gộp 2 bài vào hơi dài , mình lại có cách khác ngắn hơn xíu
--------------------------------------
Và mình lại phải nhắc nhở bạn trình bày hẳn ra :))

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 20-09-2012 - 19:40

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#4 Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:K46- Toán1 Chuyên Sư Phạm
  • Sở thích:Nghe nhạc, đánh đàn guitar và làm BDT

Đã gửi 20-09-2012 - 19:40

Trước hết có bổ đề: a,b,c,d dương nếu a+b=c+d và \[
\left| {a - b} \right| \le \left| {c - d} \right|
\] . Áp dụng vào ta có:

\[
\sqrt {a^2 + 2b} + \sqrt {c^2 + 2a} \ge \sqrt {a^2 + 2c} + \sqrt {c^2 - 4c + 6}
\] Giả sử c=max{a,b,c}.c \[
\ge
\]
1
Khi đó: theo BDT mincoski:VT\[
\begin{array}{l}
\ge \sqrt {(b + a)^2 + 8c^2 } + \sqrt {c^2 - 4c + 6} = \sqrt {9c^2 - 6c + 9} + \sqrt {c^2 - 4c + 6} \\
= \sqrt {(3c - 1)^2 + 8} + \sqrt {(2 - c)^2 + 2} \ge \sqrt {(2c + 1)^2 + 18} \ge 3\sqrt 3 \\
\end{array}
\]. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.
Vậy ta có đpcm.

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh