Chủ đề này có 1 trả lời

[timmy]

Cho (O;R) và điểm P sao cho OP=$\frac{3R}{2}$.Đường tròn (P;PO) cắt (O) tại A,B.Đường thẳng OP cắt (O) tại I,K(PI<PK),cắt (P) tại C (C$\not\equiv$ O).AB cắt CK tại H.
a)CM CH.CO=CI.CK
b)Tính theo R chu vi và diện tích tam giác ACK
C)CM AI,AK là đường phân giác trong và phân giác ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC

[Junz]

a) Dễ thấy $\bigtriangleup OAC$ vuông tại $A$ và $OH \perp CK$
$\Rightarrow AC^2=CH.CO$ (1)

Ta có
$CI.CK = CI.(CI+KI) = CI^2 + CI.CK$
Mà $CK = 2OI$
$\Rightarrow CI.CK = CI^2 + CI.2OI = CI^2 + 2CI.OI + OI^2 - OI^2 = OC^2 - OI^2$
Mà $OI = OA^2$ ( vì $I$, $A \in (O)$ )
$\Rightarrow CI.CK = OC^2 - OA^2 = AC^2$ (2)

Từ (1) và (2)
$\Rightarrow CH.CO=CI.CK$

b) Dễ tính được $CK = 4R$
Mà $KI = 2R$
$\Rightarrow CI=2R$

Ta có
$AC^2=CI.CK$
$\Rightarrow AC^2=4R.2R=8R^2$
$\Rightarrow AC=2\sqrt{2}R$

Dễ chứng minh $\frac{AH}{AC}=\frac{OA}{OC}$

$\Rightarrow AH = \frac{AC.OA}{OC} = \frac{2\sqrt{2}R.R}{3R} = \frac{2\sqrt{2}R}{3}$

$\Rightarrow S_{KAC} = \frac{AH.CK}{2} = \frac{\frac{2\sqrt{2}R}{3}.4R}{2} = \frac{4\sqrt{2}R^2}{3} $

Ta có


$CH=\sqrt{AC^2 - AH^2}=\sqrt{(2\sqrt{2}R)^2 - \left ( \frac{2\sqrt{2}R}{3} \right )^2}= \frac{8R}{3}$
$\Rightarrow HK = \frac{4R}{3}$

$\Rightarrow AK = \sqrt{AH^2 + HK^2} = \sqrt{\left (\frac{2\sqrt{2}R}{3} \right )^2+\left ( \frac{4R}{3}^2 \right )} = \frac{2\sqrt{6}R}{3}$

Từ đó tính chu vi $\bigtriangleup KAC$

c) Dễ thấy $\angle KAB = \angle CAI$ ( cùng phụ với $\angle OAI$ )
mà $\angle KAB = \angle BAI$ ( $= \angle AKC$ )
$\Rightarrow \angle BAI = \angle CAI$
$\Rightarrow AI$ là tia phân giác $\angle BAC$

Gọi $Ax$ là tia đối tia $AC$
$\Rightarrow \angle xAK + \angle KAI + \angle CAI = 180^{\circ}$
Mà $\angle KAI = 90^{\circ}$
$\Rightarrow \angle xAK + \angle CAI = 90^{\circ}$
Lại có $\angle KAB + \angle BAI = 90^{\circ}$ và $\angle BAI = \angle CAI$ ( cmt )
$\Rightarrow \angle xAK = \angle KAB$
$\Rightarrow AK$ là tia phân giác ngoài của $\angle BAC$