Chủ đề này có 2 trả lời

[lovecat95]

cho x,y,z>o; x+y+z=1
Tìm GTNN của:
$\frac{x^{3}}{x^{2}+yz}+\frac{y^{3}}{y^{2}+xz}+\frac{z^{3}}{z^{2}+xy}$
(chú thích : đây chính là đề thi thử của Khối chuyên Toán-đại học Vinh 2009)

[danganhaaaa]

cho x,y,z>o; x+y+z=1
Tìm GTNN của:
$\frac{x^{3}}{x^{2}+yz}+\frac{y^{3}}{y^{2}+xz}+\frac{z^{3}}{z^{2}+xy}$
(chú thích : đây chính là đề thi thử của Khối chuyên Toán-đại học Vinh 2009)

đặt biểu thức trên là P
xét $1-P=x+y+z-\frac{x^3}{x^2+yz}-\frac{y^3}{y^2+xz}-\frac{z^3}{z^2+xy}$
=$xyz(\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+xz}+\frac{1}{z^2+xy})$
lại có $\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+xz}+\frac{1}{z^2+xy}\leq \frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{xyz}}.(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}})$
suy ra $1-P\leq \frac{\sqrt{xyz}}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}})= \frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{2}\leq \frac{x+y+z}{2}= \frac{1}{2}$
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1/3
vậy min P=$\frac{1}{2}$ khi x=y=z=1/3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi danganhaaaa: 21-09-2012 - 23:31

[Ispectorgadget]

cho x,y,z>o; x+y+z=1
Tìm GTNN của:
$\frac{x^{3}}{x^{2}+yz}+\frac{y^{3}}{y^{2}+xz}+\frac{z^{3}}{z^{2}+xy}$
(chú thích : đây chính là đề thi thử của Khối chuyên Toán-đại học Vinh 2009)

Bài này dùng Cauchy ngược dấu
$$VT=\frac{x^{3}}{x^{2}+yz}+\frac{y^{3}}{y^{2}+xz}+\frac{z^{3}}{z^{2}+xy}=x-\frac{yxz}{x^2+yz}+y-\frac{xzy}{y^2+xz}+z-\frac{xyz}{x^2+xy}$$ $$\geq x+y+z-\frac{xyz}{2x\sqrt{yz}}-\frac{xyz}{2y\sqrt{yz}}-\frac{xyz}{2z\sqrt{xy}}\geq x+y+z-\frac{1}{2}(\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz})\geq \frac{x+y+z}{2}=\frac{1}{2}$$