Đến nội dung

Hình ảnh

Cho a, b, c, d $\geq 0$ và $ab+bc+cd+da =1$ , chm BĐT


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
pidollittle

pidollittle

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 132 Bài viết
Chm bất đẳng thức sau với a, b, c, d $\geq 0$ và $ab+bc+cd+da =1$
$$\frac{a^{3}}{b+c+d}+\frac{b^{3}}{c+d+a}+\frac{c^{3}}{d+a+b}+\frac{d^{3}}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}$$
Nếu đc, các bạn có thể chỉ cho mình cách để tìm ra hướng giải đó .
:wub:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pidollittle: 20-09-2012 - 23:20


#2
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
Giả sử $a\geq b\geq c\geq d> 0$ Ta có 2 bộ số $\bigl(\begin{smallmatrix} a^{3},b^{3},c^{3},d^{3} \end{smallmatrix}\bigr)$ và ....là 2 bộ đơn điệu cùng chiều
Áp dụng bđt Chebyshev ta có VT$\geq \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}}{4}\left ( \frac{1}{b+c+d} +\frac{1}{a+c+d}+\frac{1}{a+b+d}+\frac{1}{a+b+c}\right )\geq \frac{\sum a^{3}}{4}.\frac{16}{3\left ( a+b+c+d \right )}= \frac{4\sum a^{3}}{3\left ( a+b+c+d \right )\left ( ab+bc+cd+ad \right )}$
Nhân ra rồi áp dụng AM-GM bạn ạ?
Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#3
DTH1412

DTH1412

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết

Chm bất đẳng thức sau với a, b, c, d $\geq 0$ và $ab+bc+cd+da =1$
$$\frac{a^{3}}{b+c+d}+\frac{b^{3}}{c+d+a}+\frac{c^{3}}{d+a+b}+\frac{d^{3}}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}$$
Nếu đc, các bạn có thể chỉ cho mình cách để tìm ra hướng giải đó .
:wub:

Bài này có trong cuốn '' Sáng tạo bất đẳng thức'' trang 8 đó bạn :icon9:

#4
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
2 cách khác nhau mà,đổi mới cách làm sáng tạo 1 chút?
Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#5
pidollittle

pidollittle

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 132 Bài viết
Thầy mình giải thế này :
Áp dụng AM-GM ta có :
$$\frac{a^{3}}{b+c+d}+\frac{b+c+d}{18}+\frac{a}{6}+\frac{1}{12}\geq \frac{2}{3}a$$
Làm tương tự đối với $\frac{b^{3}}{a+c+d},\frac{c^{3}}{d+a+b},\frac{d^{3}}{a+b+c}$
Cộng vế theo vế ta đc :
$$\frac{a^{3}}{b+c+d}+\frac{b^{3}}{c+d+a}+\frac{c^{3}}{d+a+b}+\frac{d^{3}}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}\geq \frac{2}{3}(a+b+c+d)-\frac{a+b+c+d}{6}-\frac{a+b+c+d}{6}-\frac{1}{3}$$
$$\Rightarrow VT\geq \frac{A+b+c+d}{3}-\frac{1}{3}$$
Áp dụng Cauchy ta có :
$$a+b+c+d\geq 2\sqrt{(a+b)(c+d)}=2\sqrt{ab+bc+cd+da}=2$$
$\Rightarrow$ đpcm
================
*** Nhưng mà mình ko hiểu tại sao lại chọn đc các số là 18, 6, 12 như ở trên và tại sao phải dùng AM-GM với 4 số mà ko phải với 3 số ? :unsure: Các bạn có thể giải thích ko ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pidollittle: 22-09-2012 - 22:48


#6
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết

Thầy mình giải thế này :
Áp dụng AM-GM ta có :
$$\frac{a^{3}}{b+c+d}+\frac{b+c+d}{18}+\frac{a}{6}+\frac{1}{12}\geq \frac{2}{3}a$$
Làm tương tự đối với $\frac{b^{3}}{a+c+d},\frac{c^{3}}{d+a+b},\frac{d^{3}}{a+b+c}$
Cộng vế theo vế ta đc :
$$\frac{a^{3}}{b+c+d}+\frac{b^{3}}{c+d+a}+\frac{c^{3}}{d+a+b}+\frac{d^{3}}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}\geq \frac{2}{3}(a+b+c+d)-\frac{a+b+c+d}{6}-\frac{a+b+c+d}{6}-\frac{1}{3}$$
$$\Rightarrow VT\geq \frac{A+b+c+d}{3}-\frac{1}{3}$$
Áp dụng Cauchy ta có :
$$a+b+c+d\geq 2\sqrt{(a+b)(c+d)}=2\sqrt{ab+bc+cd+da}=2$$
$\Rightarrow$ đpcm
================
*** Nhưng mà mình ko hiểu tại sao lại chọn đc điểm rơi là 18, 6, 2 như ở trên và tại sao phải dùng AM-GM với 4 số mà ko phải với 3 số ? :unsure: Các bạn có thể giải thích ko ?

Thì điểm rơi của bđt là $a=b=c=d = \frac{1}{2}$ mà anh.
Thay vào $\frac{a^3}{b+c+d}$ từ đó ta sẽ tìm được cách $AM-GM$ hợp lý.

#7
pidollittle

pidollittle

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 132 Bài viết
À, mình biết rồi. Bài này có thể dùng AM-GM với 3, 4, 5, .. số đều đc.
Thế này nhé ! (mình áp dụng với 3 số)
Ta có : $$\frac{a^{3}}{b+c+d}+\frac{b+c+d}{18}+\frac{1}{12}\geq \frac{1}{2}a$$
Làm tương tự vói các phân số còn lại rồi cộng lại ta dc :
$$VT\geq \frac{a+b+c+d}{2}-\frac{a+b+c+d}{6}-\frac{1}{3}=\frac{a+b+c+d}{3}-\frac{1}{3}$$
Kết quả giống y như cái trên ... :wub:




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh