Chủ đề này có 1 trả lời

[yellow]

Viết phân số $\frac{77}{23}$ thành số thập phân, tìm chữ số thứ $2013$ sau dấu phẩy của nó.

[nguyenta98]

Viết phân số $\frac{77}{23}$ thành số thập phân, tìm chữ số thứ $2013$ sau dấu phẩy của nó.

Giải như sau:
Ta có $\dfrac{77}{23}=3+\dfrac{8}{23}$ cho nên ta chỉ xét phần thập phân của $\dfrac{8}{23}$
Đặt $\dfrac{8}{23}=0,(\overline{a_1a_2...a_n})$ với $A,(B)$ là $B$ là phần tuần hoàn
Suy ra $10^n.\dfrac{8}{23}=\overline{a_1a_2...a_n},(\overline{a_1a_2...a_n})$
Như vậy $(10^n-1).\dfrac{8}{23}=\overline{a_1a_2...a_n},(\overline{a_1a_2...a_n})-0,(\overline{a_1a_2...a_n})$
Suy ra $(10^n-1).\dfrac{8}{23}=\overline{a_1a_2...a_n}$
Như vậy thấy $VP$ là số nguyên nên $VT$ nguyên nên $10^n-1 \vdots 23$
Theo định lý Fermat nhỏ ta có $10^22-1 \vdots 23$
Ta có nhận xét quen thuộc thì $a^x-1 \vdots p$ và $a^y-1 \vdots 23$ với $x$ nhỏ nhất thì $y \vdots x$
Gọi $k$ là số nhỏ nhất thoả $10^k-1 \vdots 23$ theo nhận xét trên có $22 \vdots k \Rightarrow k=1,2,11,22$ nhưng $k=1,2$ dễ loại do đó $k=11$ hoặc $k=22$ nhưng bằng thử trực tiếp ta có $k=11$ bị loại
Suy ra $k=22$ do đó $22$ là số nhỏ nhất thoả mãn $10^n-1 \vdots 23$ như vậy nên phần tuần hoàn của phần thập phân sẽ bằng $\dfrac{10^22-1}{23}.8=\overline{a_1a_2...a_n}$ ta thấy ngay $\overline{a_1a_2...a_n}=434782608695652173913$
Mà $2013 \equiv 11 \pmod{23}$ nên chữ số thứ $23$ của số trên sẽ là chữ số thứ $11$ của số $\overline{a_1a_2...a_n}=434782608695652173913$ do đó chữ số ấy là $9$