II – Các dạng toán thường gặp1. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị và 1 đường thẳng cắt nhau thỏa mãn một số tính chất nhất địnhTrong đề thi ĐH một số năm gần đây, thường có câu phụ của bài toán khảo sát, yêu cầu tìm điều kiện của tham số để đồ thị và 1 đường thẳng cắt nhau thỏa mãn một số tính chất nhất định. Đối với các bài toán ấy, cách làm chung là ta xét phương trình $(*)$, biến đổi nó về dạng bậc hai và sử dụng định lý Viète. Ta hãy bắt đầu với 1 ví dụ đơn giản
Ví dụ 1.1. Xác định $m$ để đồ thị $\left ( C \right )$ của hàm số $y = (x – 1)(x^2 + mx + m)$ cắt trục $Ox$ tại 3 điểm phân biệt.
Giải
Hoành độ giao điểm của đồ thị $\left ( C \right )$ và trục $Ox$ là nghiệm của phương trình :
$$(x – 1)(x^2 + mx + m) = 0$$
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} + mx + m = 0 \ \ \ \ (1.1)\end{array} \right.\].
Đồ thị $\left ( C \right )$ và trục $Ox$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $(1.1)$ có hai nghiệm phân biệt khác 1. Điều này tương đương với:$$\left\{ \begin{array}{l}1 + m + m \neq 0\\m^2 - 4m > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \neq - \frac{1}{2}\\ \left [ \begin{array}{l} m < 0 \\ m > 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l}
-\frac{1}{2} \neq m < 0 \\ m > 4\end{array} \right.$$
Ví dụ 1.2. Cho hàm số $y = 2x^3 – 3x^2 – 1$ có đồ thị $\left ( C \right )$.a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.b) Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A(0;-1)$ và có hệ số góc bằng $k$. Tìm $k$ để $d$ cắt $\left ( C \right )$ tại 3 điểm phân biệt.Giảib) Đường thẳng $d$ có phương trình: $y = kx – 1$.Hoành độ giao điểm của $\left ( C \right )$ và $d$ là nghiệm của phương trình:$$2x^3 – 3x^2 – 1 = kx – 1$$$$\Leftrightarrow x(2x^2 – 3x – k) = 0 \Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l}x = 0\\2{x^2} - 3x - k = 0 \ \ \ \ (1.2) \end{array} \right.$$
$\left ( C \right )$ và $d$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $(1.2)$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Điều này tương đương với:$$\left\{ \begin{array}{l}k \neq 0\\9 + 8k > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow -\frac{9}{8} < k \neq 0$$.Ví dụ 1.3. Cho hàm số $y = x^3 – (2m + 3)x^2 + (2m^2 – m + 9)x – 2m^2 + 3m – 7$ ($m$ là tham số) có đồ thị là $(C_m)$. Tìm $m$ để $(C_m)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ không nhỏ hơn 1.
Phân tích:
Ngoài việc tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm, ta còn cần tìm điều kiện để ba nghiệm không vượt quá 1. Dễ thấy, $x=1$ là một nghiệm của phương trình đó. Để hai nghiệm $x_1,x_2$ cùng lớn hơn 1 thì $x_1+x_2>2$ và $(x_1-1).(x_2-1)>0$
GiảiHoành độ giao điểm của đồ thị $(C_m)$ và trục hoành là nghiệm của phương trình:
$$x^3 – (2m + 3)x^2 + (2m^2 – m + 9)x – 2m^2 + 3m – 7 = 0$$
$$\Leftrightarrow (x-1)\left [ x^2-2(m+1)x+ 2m^2-3m+7 \right ]=0$$
$$\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}x=1\\ x^2-2(m+1)x+ 2m^2-3m+7=0, \ \ \ \ (1.3)\end{matrix}\right.$$
Yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình $(1.3)$ có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1. Điều này tương đương với:
$$\left\{\begin{matrix}\Delta '&>0\\x_1+x_2&>2 \\(x_1-1).(x_2-1) &>0\end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-m^2+5m-6&>0\\2(m+1)&>2 \\ 2m^2-5m+6&>0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2<m<3\\m>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 2<m<3$$
Ví dụ 1.4. Cho hàm số $y = x^3 – 3mx^2 + 3(2m – 1)x$ có đồ thị là $\left ( C \right )$. Tìm $m$ để $\left ( C \right )$ cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
Phân tích:
Dễ thấy phương trình hoành độ giao điểm chắc chắn có nghiệm là $x=0$. Do đó có 2 trường hợp thỏa mãn điều kiện bài toán:
TH1: Ba hoành độ giao điểm lần lượt là $-a;0;a,(a>0)$. Trong trường hợp này hai nghiệm khác $0$ của phương trình đối nhau. Tức là tổng của chúng bằng $0$
TH2: Ba hoành độ giao điểm lần lượt là $0;a;2a,(a>0)$ hoặc $-2a,-a,0, (a>0)$. Trong trường hợp này hai nghiệm khác $0$ của phương trình có 1 nghiệm gấp đôi nghiệm kia.
GiảiHoành độ giao điểm của $\left ( C \right )$ và trục $Ox$ là nghiệm của phương trình:
$$x^3 – 3mx^2 + 3(2m – 1)x = 0$$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 3mx + 3(2m - 1) = 0 \ \ \ \ (1.4) \end{array} \right.$$.
Yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi xảy ra 1 trong 2 trường hợp sau:
TH1 : phương trình $(1.4)$ có hai nghiệm khác 0 và hai nghiệm đó đối nhau. Điều này tương đương với:
$$\left\{ \begin{array}{l}3m = 0\\2m - 1 \neq 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 0$$
TH2: phương trình $(1.4)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ khác 0 và $x_1 = 2x_2.$ Điều này tương đương với:
$$\left\{ \begin{array}{l}9{m^2} - 12(2m - 1) > 0\\2m - 1 \neq 0\\{x_1} + {x_2} = 3{x_2}\end{array} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{m^2} - 12(2m - 1) > 0\\2m - 1 \neq 0\\3m = 3{x_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{m^2} - 12(2m - 1) > 0\\2m - 1 \ne 0\\ - 2{m^2} + 6m - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \frac{{3 \pm \sqrt 3 }}{2}$$.
KL: $m = 0$ hoặc $m = \frac{{3 \pm \sqrt 3 }}{2}$.
Ví dụ 1.5. Cho $K(1;3), \left ( C \right )$ là đồ thị của hàm số $y = x^3 + 2mx^2 + (m + 3)x + 4$ và đường thẳng $d: y = x + 4$. Tìm $m$ để $d$ cắt $\left ( C \right )$ tại 3 điểm phân biệt $A(0;4), B, C$ sao cho $\Delta KBC$ có diện tích bằng $8\sqrt 2 $.
Phân tích:
Ta biết rằng $S_{\Delta KBC} = \frac{1}{2}.BC.d_{K,BC}$. Mà $d_{K,BC}$ dễ dàng tính được. Từ đó ta tính được độ dài $BC$. Độ dài này hoàn toàn phụ thuộc vào hoành độ của $B,C$ (cũng chính là 2 nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm). Ta dễ dàng liên hệ với định lý Viète.
GiảiHoành độ giao điểm của $d$ và $\left ( C \right )$ là nghiệm của phương trình:
$$x^3 + 2mx^2 + (m + 3)x + 4 = x + 4$$
$$ \Leftrightarrow x(x^2 + 2mx + m + 2) = 0 \Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l}
x = 0\\{x^2} + 2mx + m + 2 = 0 \ \ \ \ (1.5)\end{array} \right.$$
Điều kiện cần và đủ để $\left ( C \right )$ và $d$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt là phương trình $(1.5)$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Điều này tương đương với:
$$\left \{ \begin{array}{l}m + 2 \neq 0\\m^2 - m - 2 > 0\end{array} \right. (1.5')$$
Với điều kiện $(1.5')$, ta có hai giao điểm $B(x_B; x_B + 4)$ và $C(x_C; x_C + 4)$. Gọi $KH$ là đường cao của tam giác $KBC$. Khi đó:
$$KH = d_{(K, BC)} = \frac{{\left| {1 - 3 + 4} \right|}}{{\sqrt {1 + 1} }} = \sqrt{2}$$
Từ đó, ta có:
$$BC = \frac{2S_{\Delta KBC}}{KH} = 16$$
$$BC = 16 \Leftrightarrow \sqrt2 |x_B – x_C | = 16 \Leftrightarrow (x_B – x_C)^2 = 128 \Leftrightarrow m^2 – m – 34 \Leftrightarrow m = \frac{1 \pm \sqrt {137}}{2}$$.
KL: nghiệm của bài toán là: $m = \frac{{1 \pm \sqrt {137}}}{2}$
Ví dụ 1.6. Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y=x^{3}-3(m+1)x^{2}+3mx-m+1=0$ cắt $Ox$ tại $3$ điểm phân biệt trong đó có ít nhất $1$ điểm có hoành độ âm.
Phân tích:
Trực tiếp tìm điều kiện để 1 phương trình có 3 nghiệm phân biệt, có ít nhất 1 nghiệm âm e là hơi khó. Ta sẽ tìm điều kiện để phương trình có 3 nghiệm không âm. Khi đó, yêu cầu của bài toán chính là phần bù của điều kiện vừa tìm.
Do hệ số của $x^3$ dương nên ta có 2 trường hợp sau:
Trong cả hai trường hợp trên, $y(0) \leq 0$ và $y_{CD}, y_{CT}$ trái dấu, thêm nữa, các điểm cực đại, cực tiểu đều dương. Như vậy ta đã tạm hình dung ra điều kiện cần giải quyết.
GiảiYêu cầu của bài toán tương đương với Tìm $m$ phương trình
$$x^{3}-3(m+1)x^{2}+3mx-m+1=0 \ \ \ \ (1.6)$$
có $3$ nghiệm phân biệt trong đó có ít nhất $1$ nghiệm âm.
Ta có:
$$y'=3x^2-6(m+1)x+3m; y = \frac{1}{3}y'(x-m-1)-2(m^2+m+1)x+m^2+1$$
$y'$ là tam thức bậc hai có:
$$\Delta = 9(m^2+m+1)>0$$
Vậy phương trình $y'=0$ luôn có hai nghiệm $x_1;x_2$
Điều kiện cần và đủ để phương trình $(1.6)$ có 3 nghiệm phân biệt là
$$y(x_1).y(x_2) < 0 \Leftrightarrow (m+1)(m^3-m^2-m-3) > 0 \ \ \ (1.6a)$$
Với điều kiện $(1.6a)$, phương trình $(1.6)$ có 3 nghiệm không âm khi và chỉ khi:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y(0) \leq 0}\\{{x_1}.{x_2} > 0}\\{{x_1} + {x_2} > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- m + 1 \leq 0\\m > 0\\2\left( {m + 1} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \geq 1\\m > 0\\m > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m \geq 1\]
Vậy yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi:
$$\left\{\begin{matrix} m &< 1\\ (1.6a) \end{matrix}\right. \ \ \ (1.6b)$$
Xét hàm số $g(m) = m^3-m^2-m-3$, bằng cách lập bảng biến thiên của hàm số:
$$\begin{array}{|c|ccccccccc|}
\hline
m & -\infty & \; & - \dfrac{1}{3} & \; & \; & 1 &\; &\; +\infty\\
\hline
g'\left( m \right) & \; & + & 0 & - & \; & 0 \; & + &\; \\
\hline
& \;& \; & \; - \frac{{76}}{{27}} & \; & \; & \; & \; & \; +\infty \\
g\left( m \right) & \; & \nearrow& \; & \searrow & \; & \; & \nearrow & \; \\
& -\infty\; & \; & \; & \; & \; & -4 & \; \\
\hline
\end{array}$$
ta có:
$$g(m) < 0, \forall m \leq 1$$
Từ đó, ta có
$$(1.6b) \Leftrightarrow -1 < m < 1$$
Ví dụ 1.7. Cho đường thẳng $(d):y=x+m$ và đồ thị $(G):y=\frac{2x+1}{x-1}$
a) CMR: Với mọi $m$,$(d)$ luôn cắt $(G)$ tại 2 điểm phân biệt $E,F$.Tìm tập hợp các trung điểm của đoạn $EF$ khi $m$ thay đổi
b) Xác định $m$ để đoạn $EF$ ngắn nhất
Phân tích:
a) Ta chỉ cần chứng minh phương trình hoành độ giao điểm luôn có 2 nghiệm phân biệt là xong
b) Ta sẽ biểu diễn độ dài $EF$ qua $m$. Muốn vậy, cần dùng định lý Vi-et
Giải
a) Hoành độ giao điểm (nếu có) của $(G)$ và $(d)$ là nghiệm của phương trình:
$$\dfrac{2x+1}{x-1} = x+m,\,\,\,\, (1.7a)$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \neq 1\\x^2+(m-3)x-m-1=0,\,\,\, (1.7b)\end{matrix}\right.$$
Ta có:
$$\Delta = m^2-2m+10>0$$
Nên phương trình $(2)$ có 2 nghiệm phân biệt. Dễ thấy $x=1$ không phải là nghiệm của $(1.7b)$. Từ đó, phương trình $(1.7a)$ có 2 nghiệm phân biệt. Vậy $(G)$ và $(d)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt:
$$E\left ( e;e+m \right ),F\left ( f;f+m \right )$$
trong đó $e,f$ là các nghiệm của $(1.7b)$. Ta có:
$$e+f=-m+3$$
Trung điểm của $EF$ là: $H\left ( \frac{e+f}{2}; \frac{e+f}{2}+m \right )$ hay: $H\left ( \frac{3-m}{2}; \frac{m+3}{2}\right )$. Vậy quỹ tích cần tìm là đường thẳng: $y=3-x$
b) Ta có:
$$EF=\sqrt{2(e-f)^2}=\sqrt{2(e+f)^2-8ef} = \sqrt{2(3-m)^2+8(m+1)}=\sqrt{2(m^2-2m+13}$$
Vậy
$$minEF=\sqrt{24} \Leftrightarrow m = 1$$