Chủ đề này có 24 trả lời

[E. Galois]

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 21/09/2012, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Trận 5 có 20 toán thủ tham gia nên sau trận này, không toán thủ nào bị loại

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

3) Sau khi trận đấu kết thúc, toán thủ nào tự ý sửa bài làm của mình sẽ được 0 điểm

[E. Galois]

Cho $x$,$y$ là các số nguyên dương thoả mãn phương trình:
$$2x^2+x=3y^2+y$$.
Chứng minh rằng: Các số $x-y$, $2x+2y+1$ và $3x+3y+1$ đều là các số chính phương.

Toán thủ ra đề
thanhluong

[daovuquang]

Bài làm của daovuquang:
Bổ đề: Cho $a,b \in \mathbb{N}^*, (a;b)=1$. Biết $a.b$ là 1 số chính phương. CMR $a$ và $b$ đều là số chính phương.
Chứng minh: Giả sử $ab=c^2$.
Nếu khi phân tích thành thừa số nguyên tố, $a$ hoặc $b$ (ta cho là $a$) có thừa số nguyên tố $p$ với số mũ lẻ
$\Rightarrow b$ không chứa thừa số $p$ (do $(a;b)=1$)
$\Rightarrow c^2$ chứa thừa số $p$ với số mũ lẻ
$\Rightarrow$ vô lí (do $c^2$ là số chính phương).
Vậy $a$ và $b$ đều là số chính phương.

Quay trở về bài toán:
Theo gt, $2x^2+x=3y^2+y$
$\Leftrightarrow 2(x^2-y^2)+(x-y)=y^2$
$\Leftrightarrow (x-y)(2x+2y+1)=y^2$.
Giả sử $x-y$ và $2x+2y+1$ chia hết cho $d$ nào đó với $d \in N^*$ , $d>1$.
$\Rightarrow (x-y)(2x+2y+1) \vdots d^2$
$\Rightarrow y^2 \vdots d^2$
$\Rightarrow y\vdots d$
$\Rightarrow x \vdots d$ ( vì $(x-y)\vdots d$)
$\Rightarrow (2x+2y+1)\equiv 1\; (mod\; d)$
$\Rightarrow$ vô lí.
Vậy $x-y; 2x+2y+1$ nguyên tố cùng nhau.
Áp dụng bổ đề, ta suy ra $x-y$ và $2x+2y+1$ đều là số chính phương.
Tương tự, biến đổi gt thành $(x-y)(3x+3y+1)=x^2$.
Lí luận tương tự như trên, ta suy ra $3x+3y+1$ là số chình phương.
Kết luận: $x-y; 2x+2y+1$ và $3x+3y+1$ đều là số chính phương.
----
Điểm bài làm: 10
Tổng điểm: $S=52-(21-20)+3.10+10+0=91$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 28-09-2012 - 20:03

[daovuquang]

Mở rộng 1: Cho $x,y$ là các số nguyên dương thỏa mãn phương trình: $ax^2+x=(a+1)y^2+y\; (1)$ với $a$ là tham số. ($a \in \mathbb{N}^*$)
Chứng minh rằng: các số $x-y; ax+ay+1$ và $(a+1)x+(a+1)y+1$ đều là số chính phương.

Bài làm:
Ta có: $(1) \Leftrightarrow ax^2+x=ay^2+y+y^2$
$\Leftrightarrow a(x^2-y^2)+(x-y)=y^2$
$\Leftrightarrow (x-y)(ax+ay+1)=y^2$.
Giả sử $x-y$ và $ax+ay+1$ chia hết cho $d$ nào đó với $d \in \mathbb{N}^*$ , $d>1$.
$\Rightarrow (x-y)(ax+ay+1) \vdots d^2$
$\Rightarrow y^2 \vdots d^2$
$\Rightarrow y\vdots d$
$\Rightarrow x \vdots d$ ( vì $(x-y)\vdots d$)
$\Rightarrow (ax+ay+1)\equiv 1\; (mod\; d)$
$\Rightarrow$ vô lí.
Vậy $x-y; ax+ay+1$ nguyên tố cùng nhau.
Áp dụng bổ đề (ở bài gốc), ta suy ra $x-y$ và $ax+ay+1$ đều là số chính phương.
Tương tự, biến đổi gt thành $(x-y)[(a+1)x+(a+1)y+1]=x^2$.
Lí luận tương tự như trên, ta suy ra $(a+1)x+(a+1)y+1$ là số chính phương.
Kết luận: $x-y; ax+ay+1$ và $(a+1)x+(a+1)y+1$ đều là số chính phương.

[Tru09]

Bài làm:( Tru09)
@~! – Ta sẽ chứng minh $(x-y):\text{Là số Chính phương}$ và $(2x+2y+1) :\text{Là số chính phương}$
Từ giả thiết ta có:
$2x^2+x =3y^2 +y$
$\Rightarrow 2x^2 +x -2y^2 –y =y^2$
$\Rightarrow 2(x^2-y^2) +(x-y) =y^2$
$\Rightarrow (x-y)(2x+2y+1) =y^2$-------$ (1)$
----Gọi $d$ là ước chung lớn nhất của $x-y$ và $2x+2y+1$
Từ $(1) \Rightarrow (x-y)(2x+2y+1) =y^2 \vdots d^2$
$\Rightarrow y \vdots d$
Mà $(x-y) \vdots d$
$\Rightarrow x \vdots d$
Do đó $2y \vdots d$ và $2x \vdots d$
Mà $(2x+2y+1) \vdots d$
$ \Rightarrow d=1$
Vế phải là $y^2 :\text{Là số chính phương}$ mà $(x-y;2x+2y+1)=1$
$\Rightarrow (x-y):\text{Là số Chính phương}$ và $(2x+2y+1) :\text{Là số chính phương}$
@~! –Tiếp đến ta sẽ chứng minh $(3x+3y+1) :\text{Là số chính phương}$
Cũng từ giả thiết ta có:
$2x^2 +x =3y^2 +y$
$\Rightarrow –x^2 =3y^2 -3x^2 +y-x$
$\Rightarrow x^2 =3(x^2 –y^2) +(x-y)$
$\Rightarrow x^2 =(x-y)(3x+3y+1)$------$ (2)$
----Gọi $d’$ là ước chung lớn nhất của $x-y$ và $2x+2y+1$
Từ $(2) \Rightarrow (x-y)(3x+3y+1)= x^2 \vdots d’^2$
$\Rightarrow x \vdots d’$
Mà $(x-y) \vdots d’$
$\Rightarrow y \vdots d’$
Do đó $3y \vdots d'$ và $3x \vdots d'$
Mà $(3x+3y+1) \vdots d' $
$\Rightarrow d'=1$
Vế phải là $x^2 :\text{Là số chính phương}$ mà $(x-y;3x+3y+1)=1$
$\Rightarrow (x-y):\text{Là số Chính phương}$ và $(3x+3y+1) :\text{Là số chính phương}$
@!~--- Tóm Lại :
$\boxed{(x-y) ,(2x+2y+1) ,(3x+3y+1) :\text{Đều là các số chính phương}}$
----
Điểm bài làm: 10
Tổng điểm: $S=52-(21-20)+3.10+10+0=91$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 28-09-2012 - 20:05

[BlackSelena]

Bài làm của MSS01 - BlackSelena.
Bổ đề: cho $(a,b) = 1$ và
$ab= c^2$ khi đó $a,b$ là số chính phương.
* Chứng minh: gọi $p$ là ước nguyên tố của $c^2$. Khi đó $p$ là ước nguyên tố của $a$ hoặc $b$. Mà $p$ là ước nguyên tố của $c^2$ nên $p$ có dạng $2k$
$\Rightarrow a,b$ là số chính phương.
Quay trở lại bài toán :
$2x^2+x = 3y^2 + y$
$\Leftrightarrow 2x^2 + x - y - 2y^2 = y^2$
$\Leftrightarrow (x-y)(2x+2y+1) = y^2$
Ta sẽ chứng minh $gcd(x-y;2x+2y+1) = 1$
Gọi $gcd(x-y;2x+2y+1) = d$, khi đó vì $x,y$ nguyên dương nên $d$ nguyên dương.
Khi đó ta có $y^2 \vdots d^2 \Rightarrow y \vdots d$ do $y,d$ đều nguyên dương.
Mà $x-y \vdots d$ nên $\Rightarrow x \vdots d$
Vậy $x+ y \vdots d$, mà $2x+2y+ 1 \vdots d$
Nên $1 \vdots d$ vậy ta có $x-y$ và $2x+2y+1$ nguyên tố cùng nhau.
Áp dụng bổ đề trên,vậy mỗi số $(x-y)$ và $(2x+2y+1)$ đều là số chính phương.
Tương tự, ta xét pt đề bài cho
$2x^2+x = 3y^2 + y$
$\Leftrightarrow -x^2 = 3y^2 + y - x - 3x^2$
$\Leftrightarrow -x^2 = (y-x)(3x+3y+1)$
$\Leftrightarrow x^2 = (x-y)(3x+3y+1)$
Ta có: $x^2$ là scp, $x-y$ là scp đã chứng minh ở trên.
Vậy $3x+3y+1$ là số chính phương.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
----
Điểm bài làm: 10
Tổng điểm: $S=52-(22-20)+3.10+3.10+0=110$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 28-09-2012 - 20:07

[ConanTM]

Lời giải của toán thủ conanTM:
Trước hết ta phát biểu và chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề: Nếu (a, b) = 1 và ab = $c^2$ với a, b, c đều là số tự nhiên thì a và b đều là số chính phương.
Chứng minh bổ đề:
Đặt (a, c) = d. Khi đó: a=md và c = nd; (m, n) = 1. Do đó: mdb = $n^2d^2$ hay mb = $n^2d$
Suy ra:
mb chia hết cho $n^2$ và $n^2d$ chia hết cho b.
=> b chia hết cho $n^2$ (vì (m, n) = 1) và do đó $n^2$ chia hết cho b (vì khi đó (b, d) = (b, a) = 1).
Do vậy: b = $n^2$ và a = $\left ( \frac{c}{n} \right )^2 = d^2$. (đpcm).
Cách khác chứng minh bổ đề:
Đặt: a = $a_1^{p_1}.a_2^{p_2}...a_x^{p_x}.$ và b = $b_1^{q_1}.b_2^{q_2}...b_y^{q_y}.$ với $a_i,b_i$ là các số nguyên tố và $p_k,q_l$ là các số tự nhiên.
Khi đó: $a_1^{p_1}.a_2^{p_2}...a_x^{p_x}. b_1^{q_1}.b_2^{q_2}...b_y^{q_y} = c^2$ => $p_k,q_l$ là các số tự nhiên chẵn và do đó a, b đều là số chính phương.
Trở lại bài toán:
Từ giả thiết: $2x^2+x=3y^2+y$ ta suy ra:
$2x^2-2y^2+x-y=y^2\Rightarrow (x-y)(2x+2y+1)=y^2(1)$
$3x^2-3y^2+x-y=x^2\Rightarrow (x-y)(3x+3y+1)=x^2(2)$
Đặt: a = (x - y, 2x + 2y + 1) thì -2(x -y) + 2x + 2y + 1 = 4y + 1 chia hết cho a và y chia hết cho a (do (1)) => 1 chia hết cho a => a = 1.
Đặt: b = (x - y, 3x + 3y +1) thì 3(x -y) + 3x + 3y + 1 = 6x + 1 chia hết cho b và x chia hết cho b (do (2)) => 1 chia hết cho b => b = 1.
Áp dụng bổ đề ta có x - y, 2x + 2y + 1 và 3x + 3y + 1 đều là số chính phương (đpcm).
----
Điểm bài làm: 10
Tổng điểm: $S=52-(22-20)+3.10+10.10+0=180$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 28-09-2012 - 20:15

[ConanTM]

Mở rộng 1 của toán thủ conanTM:
Nếu x ,y là các số nguyên và m là số tự nhiên khác 0 thỏa mãn $mx^2+x=(m+1)y^2+y$ thì ta cũng có:
$(x-y)(mx+my+1)=y^2$ và $(x-y)[(m +1)x+(m +1)y+1)]=x^2$ và do vậy bằng chứng minh tương tự như trong lời giải của bài toán ở trên ta cũng có x - y, mx + my + 1 và (m +1)x + (m + 1)y + 1 đều là số chính phương.

[ConanTM]

Mở rộng 2 của toán thủ conanTM:
Nếu x, y, m, p là các số nguyên và m khác 0 thỏa mãn $mx^2+px=(m+1)y^2+py$ thì ta có:
$(x - y)(mx + my + p) =y^2$ và $(x - y)[(m +1)x + (m +1)y + p] =x^2$ và do vậy chứng minh tương tự như trong lời giải của bài toán ở trên ta cũng có:
x - y, mx + my + p và (m + 1)x + (m + 1)y + p đều là số chính phương.

[ConanTM]

Mở rộng 3 của toán thủ conanTM:
Cho x, y và a là các số nguyên khác 0 và x khác y thỏa mãn $2x^2+x=ay^2+y$ và x - y, 2x + 2y + 1 và ax + ay + 1 đều là số chính phương ta sẽ đi đánh giá về số nguyên a xem có thu được tính chất gì không. Theo các giả thiết ta có:
$(x - y)(2x + 2y + 1) = (a - 2)y^2$
$(x - y)(ax +ay + 1) = (a - 2)x^2$
Và từ đây với các lập luận gần như tương tự như trong lời giải của bài toán ở trên ta có khẳng định a - 2 là số chính phương hay a = $m^2+2$ với m là 1 số nguyên.

[ConanTM]

Mở rộng 4 của toán thủ conanTM:
Cho x, y, a và b là các số nguyên khác 0 và a > b, x khác y thỏa mãn $bx^2+x=ay^2+y$ và x - y, bx + by + 1 và ax + ay + 1 đều là số chính phương ta sẽ đi đánh giá về số nguyên a và b xem có thu được tính chất gì không. Theo các giả thiết ta có:
$(x - y)(bx + by + 1) = (a - b)y^2$
$(x - y)(ax + ay + 1) = (a - b)x^2$
Và từ đây với các lập luận gần như tương tự như trong lời giải của bài toán ở trên ta có khẳng định a - b là số chính phương hay a = $m^2+b$ với m là 1 số nguyên.

[ConanTM]

Mở rộng 5 của toán thủ conanTM:
Cho x, y, p, a và b là các số nguyên khác 0 và a > b, x khác y thỏa mãn $bx^2+px=ay^2+py$ và x - y, bx + by + p và ax + ay + p đều là số chính phương ta sẽ đi đánh giá về số nguyên a và b xem có thu được tính chất gì không. Theo các giả thiết ta có:
$(x - y)(bx + by + p) = (a - b)y^2$
$(x - y)(ax + ay + p) = (a - b)x^2$
Và từ đây với các lập luận gần như tương tự như trong lời giải của bài toán ở trên ta có khẳng định a - b là số chính phương hay a = $m^2+b$ với m là 1 số nguyên.

[nguoihungthamlang98]

Bài làm của MSS02:
Từ Phương trình ta có:
$\left\{\begin{matrix} x^2=(x-y)(3x+3y+1) \\ y^2=(x-y)(2x+2y+1) \end{matrix}\right.\Rightarrow (x-y)^2(3x+3y+1)(2x+2y+1)=(xy)^2\Rightarrow (3x+3y+1)(2x+2y+1)$ Chính phương.
Mặt khác ta có:
Gọi d là ước chung lớn nhất của $(3x+3y+1),(2x+2y+1)$ thì ta sẽ có: $3x+3y+1\vdots d\Rightarrow 6x+6y+2\vdots d,2x+2y+1\vdots d\Rightarrow 6x+6y+3\vdots d\Rightarrow 1\vdots d$
Vậy $(3x+3y+1,2x+2y+1)=0\Rightarrow (3x+3y+1)(2x+2y+1)$ chính phương thì $3x+3y+1,2x+2y+1$ chính phương nên $x-y$ cũng chính phương $(ĐPCM)$
----
Điểm bài làm: 10
Tổng điểm: $S=52-(23-20)+3.10+0+0=79$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 28-09-2012 - 20:22

[ConanTM]

Mở rộng 6 của toán thủ conanTM:
Cho x, y, p, a và b là các số nguyên khác 0 và a khác b, x khác y và bx + by + p, ax + ay + p cùng dấu, ax + ay + b khác 0 thỏa mãn $bx^2+x=ay^2+y$ . Khi đó theo các giả thiết ta có:
$(x - y)(bx + by + p) = (a - b)y^2$
$(x - y)(ax + ay + p) = (a - b)x^2$
Và từ đây không cần dùng tới bổ đề ta có một kết quả là: $\frac{bx+by+1}{ax+ay+1}$ là bình phương của một số hữu tỉ. (vì bằng $\left ( \frac{y}{x} \right )^2$)

[ConanTM]

Mở rộng 7 của toán thủ ConanTM:
Khi mở rộng BT từ mũ 2 lên mũ 4 ta thu được kết quả sau:
Cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn PT: $2x^4+x=3y^4+y$
Khi đó các số x - y, $2x^3+2x^2y+2xy^2+2y^3+1$ và $3x^3+3x^2y+3xy^2+3y^3+1$ đều là số chính phương.
Thật vậy: CM hoàn toàn tương tự như trên. Ta có:
( x - y)( $2x^3+2x^2y+2xy^2+2y^3+1$ ) = $y^4$ (*)
( x - y)( $3x^3+3x^2y+3xy^2+3y^3+1$ ) = $x^4$
Đặt: d = ( x - y, $2x^3+2x^2y+2xy^2+2y^3+1$) thì ta có:
$-2x^2(x - y)+ 2x^3+2x^2y+2xy^2+2y^3+1$ chia hết cho d và y cũng chia hết cho d (do (*)) => 1 chia hết cho d => d = 1.
Tương tự: ( x - y, $3x^3+3x^2y+3xy^2+3y^3+1$) = 1.
Và như vậy theo bổ đề nêu trên ta có các số x - y, $2x^3+2x^2y+2xy^2+2y^3+1$ và $3x^3+3x^2y+3xy^2+3y^3+1$ đều là số chính phương.
Mạnh dạn hơn ta sẽ mở rộng số mũ lên mũ 2n thì với chứng minh hoàn toàn tương tự như trên ta cũng có KQ sau:
Cho x, y và n là các số nguyên dương thỏa mãn PT: $2x^{2n}+x=3y^{2n}+y$
Khi đó các số x - y, $2x^{2n-1}+2x^{2n-2}y+...+2xy^{2n-2}+2y^{2n-1}+1$ và $3x^{2n-1}+3x^{2n-2}y+...+3xy^{2n-2}+3y^{2n-1}+1$đều là số chính phương.

[ConanTM]

Mở rộng 8 của toán thủ ConanTM:
Mở rộng BT từ hệ số 1 của x và y thành p, tuy nhiên cần phải có (x - y, p) = 1 thì ta sẽ thu được kết quả sau:
Cho x, y và p là các số nguyên dương thỏa mãn PT: $2x^2+px=3y^2+py$ với (x - y, p) = 1.
Khi đó các số x - y, $2x+2y+p$ và $3x+3y+p$ đều là số chính phương.
Thật vậy: Ta có:
( x - y)( 2x+2y+p) = $y^2$ (*)
( x - y)( 3x+3y+p ) = $x^2$
Đặt: d = ( x - y, $2x+2y+p$) thì ta có:
$-2(x - y)+ 2x+2y+p$ chia hết cho d và y cũng chia hết cho d
(do (*)) => p chia hết cho d, mà (x - y, p) = 1=> d = 1.
Tương tự: ( x - y, $3x+3y+p$) = 1.
Theo bổ đề nêu trên ta có các số các số x - y, $2x+2y+p$ và $3x+3y+p$ đều là số chính phương.

[ConanTM]

Mở rộng 9 của toán thủ ConanTM:
Kết hợp mở rộng các hệ số của x và y với mở rộng các hệ số của $x^2,y^2$, tuy nhiên cần phải có (x - y, p) = 1 thì ta sẽ thu được kết quả sau:
Cho x, y và p, q là các số nguyên dương thỏa mãn PT: $qx^2+px=(q+1)y^2+py$ với (x - y, p) = 1.
Khi đó các số x - y, $qx+qy+p$ và $(q + 1)x+(q + 1)y+p$ đều là số chính phương.
Thật vậy: Ta có:
( x - y)( qx+qy+p) = $y^2$ (*)
( x - y)( (q + 1)x+(q + 1)y+p ) = $x^2$
Đặt: d = ( x - y, $qx+qy+p$) thì ta có:
$-q(x - y)+ qx+qy+p$ chia hết cho d và y cũng chia hết cho d
(do (*)) => p chia hết cho d, mà (x - y, p) = 1=> d = 1.
Tương tự: ( x - y, $(q + 1)x+(q + 1)y+p$) = 1.
Theo bổ đề nêu trên ta có các số các số x - y, $qx+qy+p$ và $(q + 1)x+(q + 1)y+p$ đều là số chính phương.

[ConanTM]

Mở rộng 10 của toán thủ ConanTM:
Kết hơp mở rộng hệ số với mở rộng số mũ ta thu được kết quả sau với chứng minh hoàn toàn tương tự như trên:
Cho x, y, n, p, q là các số nguyên dương thỏa mãn PT: $qx^{2n}+px=(q + 1))y^{2n}+py$ với (x - y, p) = 1
Khi đó các số x - y, $qx^{2n-1}+qx^{2n-2}y+...+qxy^{2n-2}+qy^{2n-1}+p$ và
$(q + 1)x^{2n-1}+(q + 1)x^{2n-2}y+...+(q + 1)xy^{2n-2}+(q + 1)y^{2n-1}+p$đều là số chính phương.

[ConanTM]

Em xin bổ sung vào lời giải của em: Trong tất cả các mở rộng của em thì tất cả các số x, y, p, q, m, n, a, b,...nếu có ghi là số nguyên thì em xin thay là chúng đều là các số nguyên dương, vì chưa hết thời hạn gửi bài làm của toán thủ nên em nghĩ là được ạ.

[minhhieukaka]

Bài làm MSS 2013
Ta có:
$2x^{2}+x= 3y^{2}+y$
=>$(2x^{2}-2y^{2})+(x-y)=y^{2}$
<=> $2(x-y)(x+y)+(x-y)=y^{2}$
<=> $(x-y)(2x+2y+1)=y^{2}$ (*)
Gọi d là ước chung lớn nhất của (x-y) và (2x+2y+1)
=> d \ (x-y) và d \ (2x+2y+1) => $d^{2}$ \ (x-y)(2x+2y+1)
=> $d^{2}$ \ $y^{2}$ => d \ y mà d \ (x-y) => d\ x
Lại có d \ (2x+2y+1) => d\1
=> (x-y; 2x+2y+1) = 1
kết hợp với (*) ta có x-y và 2x+2y+1 là số chính phương
Cái tiếp theo chứng minh 3x+3y+1 là số chính phương
$2x^{2}+x= 3y^{2}+y$
=> $3x^{2}-3y^{2}+x-y= x^{2}$
<=> 3(x-y)(x+y)+(x-y) = $x^{2}$
<=> (x-y)(3x+3y+1) = $x^{2}$ (**)
Đặt d là ước chung lớn nhất của (x-y) và (3x+3y+1)
=> d \ (x-y) và d \ (3x+3y+1) => $d^{2}$ \ (x-y)(3x+3y+1)
=> $d^{2}$ \ $x^{2}$ => d \ x mà d \ (x-y) => d\ y
Lại có d \ (3x+3y+1) => d\1
=> (x-y; 3x+3y+1) = 1
kết hợp với (**) ta có 3x+3y+1 là số chính phương
Nói tóm lại x-y; 2x+2y+1 và 3x+3y+1 là số chính phương
______________________
Đã giải xong
----
Điểm bài làm: 10
Tổng điểm: $S=52-(44-20)+3.10+0+0=58$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 28-09-2012 - 20:19