Chủ đề này có 24 trả lời

[minhduc3001]

ta có: 2x^{2}+x=3y^{2}+y
\leftrightarrow 2\left ( x- \right y)\left ( x+ \right y )+\left ( x- \right y )= y^{2}
\leftrightarrow \left ( x- \right y )\left ( 2x+2y +\right1 )=y^{2}
Ta nhận thấy với mọi giá trị của y thì x luôn chẵn, vậy \left ( x- \right y ) và 2x + 2y+1 khác tính chẵn lẻ \rightarrow y^{2} chẵn. Vậy y^{2} chứa thừa số 2 với số mũ chẵn vì một số chính phương chỉ chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.
Trường hợp x -y chẵn. Giả sử ngược lại x-y không là số chính phương thì x-y chứa thừa số 2 với số mũ lẻ. \rightarrow 2x + 2y +1 chia hết cho 2(mâu thuẫn). \rightarrow x -y và 2x+2y+1 là số chính phương.
Trường hợp 2x + 2y+1 chẵn cũng chứng minh tương tự.
Vậy x -y và 2x+ 2y+ 1 là số chính phương.
Phần còn lại em xin trình bày sau.
----
Sai $\LaTeX$, lưu ý là công thức toán được đánh như sau:

$cong_thuc$

Điểm bài làm: 0
Tổng điểm: $S=52-(44-20)+3.0+0+0=28$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 28-09-2012 - 20:18

[Tru09]

Cho $x$,$y$ là các số nguyên dương thoả mãn phương trình:
$$2x^2+x=3y^2+y$$.
Chứng minh rằng: Các số $x-y$, $2x+2y+1$ và $3x+3y+1$ đều là các số chính phương.

Toán thủ ra đề
thanhluong

(Tru09)
Mở rộng 1: Cho $x$,$y$ là các số nguyên dương thoả mãn phương trình:
$$ nx^2 +x =(n+1)y^2 +y$$.
Chứng minh rằng: $(x-y) ,(nx+ny+1) ,[(n+1)x+(n+1)y+1] :\text{Đều là các số chính phương}$
Bài làm:
@~! – Ta sẽ chứng minh $(x-y):\text{Là số Chính phương}$ và $(nx+ny+1) :\text{Là số chính phương}$
Từ giả thiết ta có:
$nx^2+x =(n+1)y^2 +y$
$\Rightarrow nx^2 +x -ny^2 –y =y^2$
$\Rightarrow n(x^2-y^2) +(x-y) =y^2$
$\Rightarrow (x-y)(nx+ny+1) =y^2$-------$ (1)$
----Gọi $d$ là ước chung lớn nhất của $x-y$ và $nx+ny+1$
Từ $(1) \Rightarrow (x-y)(nx+ny+1) =y^2 \vdots d^2$
$\Rightarrow y \vdots d$
Mà $(x-y) \vdots d$
$\Rightarrow x \vdots d$
Do đó $ny \vdots d$ và $nx \vdots d$
Mà $(nx+ny+1) \vdots d$
$ \Rightarrow d=1$
Vế phải là $y^2 :\text{Là số chính phương}$ mà $(x-y;nx+ny+1)=1 \Rightarrow (x-y):\text{Là số Chính phương}$ và $(nx+ny+1) :\text{Là số chính phương}$
@~! ---Tiếp đến ta sẽ chứng minh $[(n+1)x+(n+1)y+1] :\text{Là số chính phương}$
Cũng từ giả thiết ta có:
$nx^2 +x =(n+1)y^2 +y$
$\Rightarrow –x^2 =(n+1)y^2 –(n+1)x^2 +y-x$
$\Rightarrow x^2 =(n+1)(x^2 –y^2) +(x-y)$
$\Rightarrow x^2 =(x-y)[(n+1)x+(n+1)y+1]$------$ (2)$
----Gọi d’ là ước chung lớn nhất của $x-y$ và $(n+1)x+(n+1)y+1$
Từ $(2) \Rightarrow (x-y)[(n+1)x+(n+1)y+1]= x^2 \vdots d’^2$
$\Rightarrow x \vdots d’$
Mà $(x-y) \vdots d’$
$\Rightarrow y \vdots d’$
Do đó $(n+1)y \vdots d'$ và $(n+1)x \vdots d'$
Mà $[(n+1)x+(n+1)y+1] \vdots d' $
$\Rightarrow d'=1$
Vế phải là $x^2 :\text{Là số chính phương}$ mà $(x-y;(n+1)x+(n+1)y+1)=1 \Rightarrow (x-y):\text{Là số Chính phương}$ và $[(n+1)x+(n+1)y+1] :\text{Là số chính phương}$
@!~--- Tóm Lại :
$\boxed{(x-y) ,(nx+ny+1) ,[(n+1)x+(n+1)y+1] :\text{Đều là các số chính phương}}$

[BlackSelena]

Mở rộng 1 của MSS01 - BlackSelena
Ta thay hệ số của $x^2$ thành $a$ và $y^2$ là $a+1$ với a nguyên.
Viết lại phương trình:
$ax^2 + x + (a+1)y^2+ y$
$\Leftrightarrow (x-y)(ax + ay + 1) = y^2$
Tới đây giải tương tự như bài gốc.
Gọi $gcd(x-y; ax + ay+1)= d$
$\Rightarrow y \vdots d$
$\Rightarrow x \vdots d$
$\Rightarrow ax + ay \vdots d$
$\Rightarrow 1 \vdots d$
Vậy $(x-y)$ và $(ax+ay+1)$ nguyên tố cùng nhau
Và áp dụng bổ đề em đã chứng minh trong bài giải, ta có $(ax+ay+1)$ cũng là số chính phương !!
___________
Mở rộng 2 của MSS01 - BlackSelena:
Ta thử tăng số bậc lên 3.
Phương trình là: $2x^3 + x = 3y^3 + y$
Biến đổi tương đương thành
$(x-y)(2x^2+2xy+y^2+1) = y^2$
Chứng minh:
Tương tự như MR1, ta chứng minh được $x,y \vdots d$
Và từ đó dễ dàng suy ra $1 \vdots d$
Từ đó suy ra 2 bộ nguyên tố cùng nhau, suy ra $2x^2+2xy+y^2+1$ là số chính phương.
____________
Mở rộng 3 của MSS01 - BlackSelena:
Ta tăng số bậc lên $n \equiv 0 \pmod{2}$
Phương trình trở thành $2x^n + n = 3y^n + y$
Biến đổi tương đương và khai triến theo nhị thức Newton
$\Leftrightarrow (x-y)(2x^{n-1} + 2x^{n-2}y + ....+ 2xy^{n-2} + 2y^{n-1} + 1) = y^n$
Vì $n$ chẵn nên $y^n$ là scp.
Và $x,y \vdots d$ nên những số có chứa $x,y$ trong nhân tứ thứ 2 của VT đều $\vdots d$
$\Rightarrow 1 \vdots d$ và tới đây làm tương tự như mở rộng 1,2 ta cũng có $)(2x^{n-1} + 2x^{n-2}y + ....+ 2xy^{n-2} + 2y^{n-1} + 1)$ là scp.

[E. Galois]

Trận đấu đã kết thúc, các toán thủ hãy nhận xét bài làm của nhau

[L Lawliet]

Điểm toán thủ ra đề:
$D_{rd}=4.(21-20)+2.14+2.15=62$
Mời các bạn tham gia trận tiếp theo tại đây.