Cho $x$,$y$ là các số nguyên dương thoả mãn phương trình:
$$2x^2+x=3y^2+y$$.
Chứng minh rằng: Các số $x-y$, $2x+2y+1$ và $3x+3y+1$ đều là các số chính phương.
Toán thủ ra đề
thanhluong
(Tru09)
Mở rộng 1: Cho $x$,$y$ là các số nguyên dương thoả mãn phương trình:
$$ nx^2 +x =(n+1)y^2 +y$$.
Chứng minh rằng: $(x-y) ,(nx+ny+1) ,[(n+1)x+(n+1)y+1] :\text{Đều là các số chính phương}$
Bài làm:
@~! – Ta sẽ chứng minh $(x-y):\text{Là số Chính phương}$ và $(nx+ny+1) :\text{Là số chính phương}$
Từ giả thiết ta có:
$nx^2+x =(n+1)y^2 +y$
$\Rightarrow nx^2 +x -ny^2 –y =y^2$
$\Rightarrow n(x^2-y^2) +(x-y) =y^2$
$\Rightarrow (x-y)(nx+ny+1) =y^2$-------$ (1)$
----Gọi $d$ là ước chung lớn nhất của $x-y$ và $nx+ny+1$
Từ $(1) \Rightarrow (x-y)(nx+ny+1) =y^2 \vdots d^2$
$\Rightarrow y \vdots d$
Mà $(x-y) \vdots d$
$\Rightarrow x \vdots d$
Do đó $ny \vdots d$ và $nx \vdots d$
Mà $(nx+ny+1) \vdots d$
$ \Rightarrow d=1$
Vế phải là $y^2 :\text{Là số chính phương}$ mà $(x-y;nx+ny+1)=1 \Rightarrow (x-y):\text{Là số Chính phương}$ và $(nx+ny+1) :\text{Là số chính phương}$
@~! ---Tiếp đến ta sẽ chứng minh $[(n+1)x+(n+1)y+1] :\text{Là số chính phương}$
Cũng từ giả thiết ta có:
$nx^2 +x =(n+1)y^2 +y$
$\Rightarrow –x^2 =(n+1)y^2 –(n+1)x^2 +y-x$
$\Rightarrow x^2 =(n+1)(x^2 –y^2) +(x-y)$
$\Rightarrow x^2 =(x-y)[(n+1)x+(n+1)y+1]$------$ (2)$
----Gọi d’ là ước chung lớn nhất của $x-y$ và $(n+1)x+(n+1)y+1$
Từ $(2) \Rightarrow (x-y)[(n+1)x+(n+1)y+1]= x^2 \vdots d’^2$
$\Rightarrow x \vdots d’$
Mà $(x-y) \vdots d’$
$\Rightarrow y \vdots d’$
Do đó $(n+1)y \vdots d'$ và $(n+1)x \vdots d'$
Mà $[(n+1)x+(n+1)y+1] \vdots d' $
$\Rightarrow d'=1$
Vế phải là $x^2 :\text{Là số chính phương}$ mà $(x-y;(n+1)x+(n+1)y+1)=1 \Rightarrow (x-y):\text{Là số Chính phương}$ và $[(n+1)x+(n+1)y+1] :\text{Là số chính phương}$
@!~--- Tóm Lại :
$\boxed{(x-y) ,(nx+ny+1) ,[(n+1)x+(n+1)y+1] :\text{Đều là các số chính phương}}$