6 replies to this topic

[minhtuyb]

Xin một chút không gian của diễn đàn nhé. Có đứa bạn mình cần đề này nên up lên đây để send link cho nó, mình không biết chụp đề .

Thời gian: 90 phút

Câu 1: Cho hai đường thẳng song song $a$ và $b$. Trên $a$ có $10$ điểm phân biệt và trên $b$ có $n$ điểm phân biệt. Biết rằng có $2800$ tam giác mà các đỉnh của nó là $3$ trong số $n+10$ điểm đã cho. Tính $n$

Câu 2: Tìm $m$ để phương trình $(x^2-1)(x+3)(x+5)=m$ có $4$ nghiệm phân biệt $x_1;x_2;x_3;x_4$ thỏa mãn:
$$x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4+x_1x_2x_3x_4=0$$

Câu 3: Giải phương trình nghiệm nguyên:
$$3^x+1=(y+1)^2$$

Câu 4: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a^2+b}{b+c}+\dfrac{b^2+c}{c+a}+\dfrac{c^2+a}{a+b}\ge 2$$

Câu 5: Cho dãy số $x_1,x_2,x_3,...,x_n$ thoả mãn các điều kiện sau:
$$x_1=0; |x_2|=|x_1+1|; |x_3|=|x_2+1|;...;; |x_n|=|x_{n-1}+1|$$
Chứng minh rằng: $$\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\ge -\dfrac{1}{2}$$

@Phương: 3 sót nghiệm câu 3 ="=. Câu 2 tự nhiên 3 dở dở đi dùng Viet bậc 4, chả biết đc chấp nhận ko :-<.

Edited by minhtuyb, 21-09-2012 - 21:18.

[triethuynhmath]

Xin một chút không gian của diễn đàn nhé. Có đứa bạn mình cần đề này nên up lên đây để send link cho nó, mình không biết chụp đề .

Thời gian: 90 phút

Câu 1: Cho hai đường thẳng song song $a$ và $b$. Trên $a$ có $10$ điểm phân biệt và trên $b$ có $n$ điểm phân biệt. Biết rằng có $2800$ tam giác mà các đỉnh của nó là $3$ trong số $n+10$ điểm đã cho. Tính $n$

Câu này chắc dễ nhất đề đây nhỉ một chút kiến thức về tổ hợp là xong.
Ta có:
Đỉnh của $2800$ tan giác nằm trong $n+10$ điểm đã cho Nên các tam giác đó sẽ hoặc là có 2 đỉnh thuộc $a$,1 đỉnh thuộc $b$ hoặc là 1 đỉnh thuộc $a$,2 đỉnh thuộc $b$ ($a// b$)
Vậy tất cả các tam giác có thể lập được từ cả 2 trường hợp là: $C_{10}^{1}.C_{n}^{2}+C_{10}^{2}.C_{n}^{1}=2800\Leftrightarrow 10\frac{n!}{(n-2)!.2}+45.\frac{n!}{(n-1)!}=2800\Leftrightarrow 5n(n-1)+45n=2800\Leftrightarrow 5n^2+40n-2800=0\Leftrightarrow n =20(n >0)(Q.E.D)$

[Mai Xuan Son]

Bài 1 dùng tổ hợp,n=56
ko bít đúng hay sai nựa

Edited by tops2liz, 21-09-2012 - 22:32.

[Mai Xuan Son]

Xin lỗi nhé là 20 quên mất

[triethuynhmath]

Câu 3: Giải phương trình nghiệm nguyên:
$$3^x+1=(y+1)^2$$
@Phương: 3 sót nghiệm câu 3 ="=. Câu 2 tự nhiên 3 dở dở đi dùng Viet bậc 4, chả biết đc chấp nhận ko :-<.

Bạn thiếu nghiệm nào nhỉ?
PT $\Leftrightarrow y^2+2y=3^x\Leftrightarrow y(y+2)=3^x$
VỚi $x <0$ chắc chắn vô lí.
Với $x=0$ PT vô nghiệm nguyên
Với $x=1$ Ta có: $\begin{bmatrix} y=1 \\ y=-3 \end{bmatrix}$
Với $x \geq 2$ ta có: $y(y+2)=3^x=1.3^x=3^a.3^b=3^i.3^j=...(x \geq 2)\Rightarrow y,y+2\vdots 3$(Trường hợp $3^x.1$ Dễ dàng loại được)(Vô lí)
Vậy không tồn tại giá trị y nguyên với $x \geq 2$
Vậy PT có 2 nghiệm nguyên....

[minhtuyb]

Bạn thiếu nghiệm nào nhỉ?
PT $\Leftrightarrow y^2+2y=3^x\Leftrightarrow y(y+2)=3^x$
VỚi $x <0$ chắc chắn vô lí.
Với $x=0$ PT vô nghiệm nguyên
Với $x=1$ Ta có: $\begin{bmatrix} y=1 \\ y=-3 \end{bmatrix}$
Với $x \geq 2$ ta có: $y(y+2)=3^x=1.3^x=3^a.3^b=3^i.3^j=...(x \geq 2)\Rightarrow y,y+2\vdots 3$(Trường hợp $3^x.1$ Dễ dàng loại được)(Vô lí)
Vậy không tồn tại giá trị y nguyên với $x \geq 2$
Vậy PT có 2 nghiệm nguyên....

Thiếu nghiệm $y=-3$, khai căn quên nhét vào trị tuyệt đối...

[WhjteShadow]

Câu 4: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a^2+b}{b+c}+\dfrac{b^2+c}{c+a}+\dfrac{c^2+a}{a+b}\ge 2$$

Giờ mới thấy t0pic này của Tú
Ta có:
$$Q.e.D\Leftrightarrow \frac{a^2+b}{b+c}+a+\frac{b^2+c}{c+a}+b+\frac{c^2+a}{a+b}+c\geq 3$$
$$\Leftrightarrow \frac{a^2+b+a(b+c)}{b+c}+\frac{b^2+c+b(a+c)}{c+a}+\frac{c^2+a+c(a+b)}{a+b}\geq 3$$
$$\Leftrightarrow \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}+\frac{c+a}{a+b}\geq 3$$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng the0 $AM-GM$ 3 số.
Ta có ĐPCM.Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$ $\square$

Edited by WhjteShadow, 22-09-2012 - 16:28.