Chủ đề này có 2 trả lời

[kurama]

Em mới học về giải tích 1 , đến phần giới hạn hàm số có chỗ VCB , VCL . Em có thắc mắc là tại sao có thể thay VCB tương đương vào vị trí tích, thương hoặc tổng của biểu thức tính giới hạn trong khi vào thay hiệu thì có lúc được , có lúc không được ạ ?
Chẳng hạn : tính $\lim_{x->0}\frac{x^{2}ln(1+4x)}{2x^{3}-3 tan^{4}x}$ thì cái chố $tan^{4}x$ thay tương đương bằng $x^{4}$ còn khi tính :
$\lim_{x->0}\frac{x-sinx}{x^{3}}$ thì chỗ $sinx$ lại không được thay bằng x ạ ?Vậy khi nào thay được và khi nào thì không ạ ? Mong mọi người giải đáp giúp em .

[vantho302]

Để hiểu rõ vấn đề này thì bạn cần hiểu rõ quan hệ tương đương:
Nếu hai hàm $f\left( x \right) \sim g\left( x \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = 1$
Ở đây $x \to {x_0}^ + ;x \to {x_0}^ - $
* Một chú ý rất quan trọng ở đây mà bạn thắc mắc là:
Nếu $\left\{ \begin{array}{l}
f \sim \varphi \\
g \sim \psi \\
\end{array} \right.$
Ta không suy ra được $f \pm g \sim \varphi \pm \psi $ đâu nhé!!!!!
Ví dụ:
Cho $f\left( x \right) = x + {x^2};g\left( x \right) = - x$ và $\varphi \left( x \right) = x + {x^3};\psi \left( x \right) = - x$
Khi đó ta sẽ có các tương đương như sau:
$f \sim \varphi $ và $g \sim \psi $ khi $x \to 0$
nhưng $f\left( x \right) + g\left( x \right) = {x^2}$ lại không tương đương với $\varphi \left( x \right) + \psi \left( x \right) = {x^3}$ khi $x \to 0$
Vì ta sẽ xét $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\varphi \left( x \right) + \psi \left( x \right)}}{{f\left( x \right) + g\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^3}}}{{{x^2}}} = 0 \ne 1$
Do đó nó là không tương đương. Đến đây chắc bạn đã hiểu rồi nhỉ
Bây giờ mình sẽ giải thích thắc mắc về $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x - \sin x}}{{{x^3}}}$ tại sao lại không thể thay $\sin x \sim x$
Ta sẽ xét các hàm tương đương như sau:
$\begin{array}{l}
f\left( x \right) = x;g\left( x \right) = \sin x \\
\varphi \left( x \right) = x;\psi \left( x \right) = x \\
\end{array}$
Ta có $f\left( x \right) \sim \varphi \left( x \right);g\left( x \right) \sim \psi \left( x \right);x \to 0$
$\begin{array}{l}
f\left( x \right) - g\left( x \right) = x - \sin x \\
\varphi \left( x \right) - \psi \left( x \right) = x - x = 0 \\
\end{array}$
bạn nghĩ $f\left( x \right) - g\left( x \right) \sim \varphi \left( x \right) - \psi \left( x \right)$ đúng hay sai. Để biết có tương đương với nhau hay không thì ta xét giới hạn sau:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\varphi \left( x \right) - \psi \left( x \right)}}{{f\left( x \right) - g\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{0}{{x - \sin x}} = 0 \ne 1$
Do đó sẽ không tương đương
Tiếp tục
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}\ln \left( {1 + 4x} \right)}}{{2{x^3} - 3{{\tan }^4}x}}$
Ta có ${2{x^3} - 3{{\tan }^4}x}$ tương đương với $2{x^3} - 3{x^4}$
Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{x^3} - 3{x^4}}}{{2{x^3} - 3{{\tan }^4}x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 - 3x}}{{2 - 3\frac{{{{\tan }^4}x}}{{{x^3}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 - 3x}}{{2 - 3x\frac{{{{\tan }^4}}}{{{x^4}}}}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 - 3x}}{{2 - 3x\frac{{{{\sin }^4}x}}{{{x^4}}}.\frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x}}}} = 1$
Vậy hai hàm trên là tương đương

[ltfourteen]

Vậy cho e hỏi có các cặp VCL tương đương không ạ? E có tìm trên mạng nhưng không thấy ạ.