Chủ đề này có 2 trả lời

[Junz]

Cho $a$, $b$, $c$ là 3 số nguyên dương. Chứng minh rằng:

$\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}\leq a+b+c+3$

[WhjteShadow]

Cho $a$, $b$, $c$ là 3 số nguyên dương. Chứng minh rằng:

$\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}\leq a+b+c+3$

1 kinh nghiệm quý báu là khi ta gặp phải các bất đẳng thức số học mà các Phương pháp cổ điển bó tay thì dùng quy nạp các bạn nhé
Ta sẽ dùng quy nạp chứng minh bài toán này:
Do $a,b,c\in N^{*}$ nên ta xét:
$\bullet$ Nếu $a=b=c=1$ thì $VT=3\leq 6=VP$ nên bất đẳng thức đúng
$\bullet$ Giả sử bất đẳng thức đúng với $a,b,c$.Lúc đó ta có:
$$\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}\leq a+b+c+3\,\,\,\,(*)$$
$\bullet$ Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với $a+1,b,c$.Tức là cần chứng minh:
$$\frac{1+\sqrt{a+1}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a+1}}\leq a+b+c+4$$
Nhưng do có $(*)$ nên ta chỉ phải chứng minh:
$$\frac{1+\sqrt{a+1}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a+1}}\leq \frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}+1$$
Và điều này đúng do:
$$\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a+1}}\leq \frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}$$
Và
$$\frac{1+\sqrt{a+1}}{1+\sqrt{b}}\leq \frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+1$$
$$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}\leq 1$$
$$\Leftrightarrow 1\leq (\sqrt{a+1}+\sqrt{a})(1+\sqrt{b})\,\,\,\, \text{(True)}$$

Vậy ta có điều phải chứng minh.Chú ý dấu bằng không xảy ra $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 25-09-2012 - 18:50

[Junz]

Hình như em viết sai đề thì phải. "Không âm" chứ không phải là "nguyên dương", nếu vậy thì dấu "$=$" xảy ra khi $a = b = c = 0$
Liệu còn cách nào khác nữa không ạ? Có thầy nói với em là dùng B.C.S và AM-GM vẫn ra được, nhưng thầy nói nó khá dài
------------------------
Tham khảo về cách đó tại đây em nhé:
http://diendantoanho...ac1b1cfrac1c1a/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 26-09-2012 - 19:34