Chủ đề này có 3 trả lời

[WhjteShadow]

Bài toán 1.
Ch0 các số thực $a,b$ thoả $1\leq a \leq 3$ và $a+b=11$.Tìm GTLN của biểu thức $D=ab$
Bài toán 2.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$ thoả $abc=1$.Chứng minh rằng:
$$a+b+c\geq \frac{1+a}{1+b}+\frac{1+b}{1+c}+\frac{1+c}{1+a}$$

[yellow]

Bài toán 2.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$ thoả $abc=1$.Chứng minh rằng:
$$a+b+c\geq \frac{1+a}{1+b}+\frac{1+b}{1+c}+\frac{1+c}{1+a}$$

Đặt $1 + a = x$ ; $1 + b = y$ ; $1 + c = z$
Do $a, b, c$ là các số thực dương nên $x, y, z$ dương
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
$x + y + z - 3 \geq \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}$
$<=> x + y + z \geq \frac{x^{2}z + y^{2}x + z^{2}y + 3xyz}{xyz}$
$<=> xyz(x + y + z) \geq x^{2}z + y^{2}x + z^{2}y + 3xyz$
$<=> xyz(x + y + z) - x^{2}z - y^{2}x - z^{2}y \geq 3xyz$ (1)
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức (1), bất đẳng thức (1) hiển nhiên đúng:
$xyz(x + y + z) - x^{2}z - y^{2}x - z^{2}y$
$<=> x^{2}z(y - 1) + y^{2}x(z - 1) + z^{2}y(x - 1)$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
$x^{2}z(y - 1) + y^{2}x(z - 1) + z^{2}y(x - 1) \geq 3xyz\sqrt[3]{(x-1)(y-1)(z-1)} = 3xyz\sqrt[3]{abc} = 3xyz$
$=> Đ.P.C.M$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yellow: 26-09-2012 - 15:55

[Secrets In Inequalities VP]

Bài toán 2.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$ thoả $abc=1$.Chứng minh rằng:
$$a+b+c\geq \frac{1+a}{1+b}+\frac{1+b}{1+c}+\frac{1+c}{1+a}$$

Ta có : $VT-VP+3= (a-\frac{1+a}{1+b}+1)+(b-\frac{1+b}{1+c}+1)+(c-\frac{1+c}{1+a}+1)$
$= \frac{b(a+1)}{b+1}+\frac{c(b+1)}{c+1}+\frac{a(c+1)}{a+1}\geq 3\sqrt[3]{abc}= 3$
$\rightarrow VT\geq VP$

p/s: Bất đẳng thức vẫn còn đúng với $abc\geq 1$

[Tru09]

Bài toán 1.
Ch0 các số thực $a,b$ thoả $1\leq a \leq 3$ và $a+b=11$.Tìm GTLN của biểu thức $D=ab$

Em xin chém bài 1 :
Ta có :
$24ab \leq \frac{(8a+3b)^2}{4} =\frac{(5a+33)^2}{4} \leq \frac{48^2}{4} =24^2$
$\Rightarrow ab \leq 24$
Dấu $"="$ sảy ra $\Leftrightarrow a=3 , b=8$