Cho a,b,c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
P=$\frac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{2}}+\frac{(b+c)^{2}}{(b-c)^{2}}+\frac{(c+a)^{2}}{(c-a)^{2}}\geq 2$
P=$\frac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{2}}+\frac{(b+c)^{2}}{(b-c)^{2}}+\frac{(c+a)^{2}}{(c-a)^{2}}\geq 2$
Bắt đầu bởi pcfamily, 26-09-2012 - 20:22
#2
Đã gửi 26-09-2012 - 20:33
BlackSelena
-
- Hiệp sỹ
-
- 1549 Bài viết
$\mathbb{Sayonara}$
Bài mà sư phụ WS truyền lạiCho a,b,c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
P=$\frac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{2}}+\frac{(b+c)^{2}}{(b-c)^{2}}+\frac{(c+a)^{2}}{(c-a)^{2}}\geq 2$
Đặt $\frac{a+b}{a-b} = x, \frac{b+c}{b-c} = y, \frac{c+a}{c-a} = z$
Khi đó, ta có nhận xét sau:
$$(x+1)(y+1)(z+1) = (x-1)(y-1)(z-1) = \frac{8xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}$$
$\Leftrightarrow -2(xy+yz+xz) = 2$
Mặt khác, ta có $$(x+y+z)^2 \geq 0$$
$$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2 \geq -2(xy+yz+xz) = 2$$
Vậy ta có đpcm, đẳng thức xảy ra khi $xy+yz+zx=-1$ và $x+y+z=0$.Có nhiều bộ số $a,b,c$ thỏa mãn tính chất này như $(a;b;c)~(1;0.-1)$
_______________
P/s: lại để sư phụ can thiệp rồi =((
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 26-09-2012 - 22:33
- MyLoVeForYouNMT, ducthinh26032011, WhjteShadow và 3 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 26-09-2012 - 20:41
MyLoVeForYouNMT
-
- Thành viên
-
- 259 Bài viết
Thượng sĩ
BlackSelena xem lại dấu bằng nha, đôi một khác nhau mà, Dấu bằng xảy ra khi xy+yz+zx=-1 và x+y+z=0
- BlackSelena yêu thích
You may only be one person to the world
But you may also be the world to one person
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
