Chủ đề này có 1 trả lời

[pidollittle]

Nếu pt $x^{4}+ax^{3}+2x^{2}+bx+1=0$ có ít nhất 1 nghiệm thực thì $a^{2}+b^{2}\geq 8$

[nthoangcute]

Nếu pt $x^{4}+ax^{3}+2x^{2}+bx+1=0$ có ít nhất 1 nghiệm thực thì $a^{2}+b^{2}\geq 8$

Giả sử phương trình $x^{4}+ax^{3}+2x^{2}+bx+1=0$ có nghiệm $x_0$
Khi đó $x_0^{4}+ax_01^{3}+2x_0^{2}+bx_0+1=0$
Suy ra $ax^2+b=-\dfrac{x^4+2x^2+1}{x}$
Ta có $(ax^2+b)^2 \leq (a^2+b^2)(x^4+1)$
Suy ra $a^2+b^2 \geq \dfrac{(x^2+1)^4}{x^2(x^4+1)}=\dfrac{(x^2-1)^4}{x^2(x^4+1)}+8 \geq 8$
Suy ra đpcm